数值分析实验报告一.docx
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数值分析实验报告一.docx
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数值分析实验报告一
数学与信息工程学院
实验报告
课程名称:
计算方法
实验室:
7404
实验台号:
班级:
姓名:
实验日期:
2014年2 月26日
实验名称
插值
实验目的
和要求
1、掌握用插值法求Lagrange多项式的原理。
2、掌握牛顿插值的原理。
3、掌握三次样条插值的原理。
实验内容和步骤:
实验内容:
题目:
一:
LagrangeInterpolation
1、Asetofdataisgiveninthefollowingtable.
x
1.1275
1.1503
1.1735
1.1972
y
0.1191
0.13954
0.15932
0.17903
ConstructtheLagrangeinterpolatingpolynomialsforthedataandfindtheapproximationoff(1.1300).
2、Itisknownthatthevaluesofacontinuousfunctionf(x)atx=-1,0,2,3are-4,-1,0,3respectively.UseLagrangeinterpolationtoapproximatef(1.5).
二、Newtoninterpolating
1、Asetofdataisgiveninthefollowingtable.
x
0
1
2
3
y
-4
9
8
-1
Asathird-orderpolynomialinterpolationNewton,calculateandestimatetheerrorf
(2).
2、Itisknownthatthevaluesofacontinuousfunctionf(x)atx=-1,0,2,3are-4,-1,0,3respectively.Asathird-orderpolynomialinterpolationNewton,calculateandestimatetheerrorf(1.5).
三、Cubicsplineinterpolating
1、Itisknownthat:
:
x=[0.0020.020.22];y=[12.2048.2583.65100.05];
Afteracubicsplineinterpolation,seekinginterpolationequation
x=Yvalueof0.05,andcanoutputinterpolationfunctiongraphplot.
2、FindRungefunctionf(x)=1/(1+25*x^2)intheintervaltotake[-1,1]n=10equidistantnodes,respectively,forpolynomialinterpolationcubicsplineinterpolation
实验步骤:
一:
LagrangeInterpolation
实验编程
1、
function[p,p0]=Lagrange(x,y,x0)
symst;
if(length(x)==length(y))
n=length(x);
else
disp('x和y的维数不相等!
');
return;
end
p=0;
fori=1:
n
L=1;
forj=1:
i-1
L=L*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
forj=i+1:
n
L=L*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
L=L*y(i);
p=p+L;
end
p=simplify(p);
p0=subs(p,'t',x0)
2、
functionyy=lagrintp(x,y,xx)
n=length(x);m=length(y);
ifm~=n
error('向量x与y的长度不一致')
end
S=0;
fork=1:
n
p=1;
forj=1:
n
ifj~=k
p=conv(p,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));
end
end
S=S+p*y(k);
end
yy=poly2sym(S)
y0=subs(yy,'x',xx)、
运行结果
1、
x=[1.1275,1.1503,1.1735,1.1972];
y=[0.1191,0.13954,0.15932,0.17903];xx=1.1300
xx=
1.1300
>>[p,p0]=Lagrange(x,y,xx)
p0=
0.1214
p=
27860105170630848797610275747343008803497967616/3822827640777534360304749273426415198149377125*t^3-37425864565595797687052923708808415378062366998528/1433560365291575385114280977534905699306016421875*t^2+47789743161595379034331175308666219401166290300174336/1493292047178724359494042684932193436777100439453125*t-768434895259372065514920456687547254460361992044544/58119825396162079378335859558855478857437744140625
p0=
0.1214
2、
>>lagrintp([-1,0,2,3],[-4,-1,0,3],1.5)
yy=
5/12*x^3-5/4*x^2+4/3*x-1
y0=
-0.4063
ans=
5/12*x^3-5/4*x^2+4/3*x-1
二、Newtoninterpolating
实验编程:
建立差商表:
functionD=divdiff(x,y)
n=length(y);
iflength(x)~=n
fprintf('出错信息:
节点向量与函数值向量的维数不相等.');
end
D=zeros(n,n);
D(:
1)=y(:
);
forj=2:
n;
fori=j:
n
D(i,j)=(D(i,j-1)-D(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));
end
求m次牛顿差值多项式
function[D,yy]=newton(x,y,xx,m)
n=length(y);
iflength(x)~=n
error('xandyarenotcompatible');
end
ifnargin<4
m=n-1;
end
D=divdiff(x,y);
symst
s=D(1,1);w=1;
fori=1:
m
w=w*(t-x(i));
s=D(i+1,i+1)*w+s;
end
fprintf('所求的%d次牛顿插值多项式为:
\nN(t)',m);
display(collect(s,'t'))
ifnargin<3
return;
end
yy=eval(subs(s,'xx','t'));
fprintf('\n且N(%d)=%10.4d\n',xx,yy);
end
运行结果
1、
>>newton(0:
3,[-4,9,8,-1],2,3)
所求的3次牛顿插值多项式为:
N(t)
=
-4+t^3-10*t^2+22*t
且N
(2)=0008
ans=
-4000
91300
8-1-70
-1-9-41
2、
>>newton([-1,0,2,3],[-4,-1,0,3],1.5,3)
所求的3次牛顿插值多项式为:
N(t)
=
-1+5/12*t^3-5/4*t^2+4/3*t
且N(1.500000e+000)=-4.0625e-001
ans=
-4.0000000
-1.00003.000000
00.5000-0.83330
3.00003.00000.83330.4167
三、Cubicsplineinterpolating
实验编程:
1、>>clearall
x=[0.0020.020.22];
y=[12.2048.2583.65100.05];
X=0:
0.01:
2;
Y=interp1(x,y,X,'spline');%三次样条插值
y1=Y(find(X==0.05))%插值方程在x=0.05处的Y值
plot(x,y,'b.',X,Y,'r')
legend('插值前','三次样条插值后')
2、>>x=-1:
0.0001:
1;
y=1./(1+25*x.^2);
x1=-1:
0.2:
1;
y1=interp1(x,y,x1,'spline');
plot(x1,y1,'o',x,y)
gridon
xlabel('x')
ylabel('y')
y1
实验结果:
1、
y1=
94.2221
2、
y1=
Columns1through8
0.038461538461540.058823529411760.100000000000000.200000000000000.500000000000001.000000000000000.500000000000000.20000000000000
Columns9through11
0.100000000000000.058823529411760.03846153846154
实验结果分析:
1、对于牛顿差值,求不同阶次的牛顿多项式的结果是不一样的,对于特定值的函数值的结果也不同。
2、三次样条插值虽然过程比较复杂,但是运用更广。
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- 关 键 词:
- 数值 分析 实验 报告