随机过程习题第2章.docx
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随机过程习题第2章
2.1设(t)是一马尔可夫过程,又设t1t2
tntn1
tnk。
试证明:
tn/tn1(xn/xn1)
tn/tn1,,tnk(xn/xn1,,xnk)
即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。
证明:
首先,由条件概率的定义式得
ftn/tn1,,tnk(Xn/Xn1,
tnk(xn,xn1,,xnk)
tnk(xn1,,xnk)
根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开,并化简得
tn/tn1,,tnk(xn/xn1,,xnk)
tnk/tnk1(xnk/xnk1)
ftnk/tnk1(xnk/xnk1)
tn2/tn1(xn2/xn1)ftn1(xn1)
tn1/tn(xn1/xn)ftn(xn)
tn1(xn1)
于是,
tn,tn1(xn,xn1)ftn1(xn1)
2.2试证明对于任何一个马尔可夫过程,
如“现在”的(t)值为已知,则该过程的“过
去”和“将来”是相互统计独立的,即如果有t1t2t3,其中t2代表“现在”,W代
表“过去”,t3代表“将来”,若(t2)X2为已知值。
试证明:
t1,t3/t2(Xi,X3/X2)ft1/t2(Xi/X2)ft3/t2(X3/X2)
证明:
首先,由条件概率的定义式得
MX?
)如呼牛
ft2(X2)
然后,根据马尔可夫性将上式中的分子展开,并化简得
r“,、ft3/t2(X3/x2)ft2/t1(x2/x1)ft1(x1)
ft2(X2)
t3/t2(X3/X2)
ft2(X2)
ft1,t3/t2(x1,X3/x2)
2.3若(t)是一马尔可夫过程,t1t2tmtm1tm2。
试证明:
ftm1,tm2/t1,t2,,tm(xm1,xm2/x1,x2,,xm)ftm1,tm2/tm(xm1,xm2/xm)
证明:
首先,利用性质:
P{AB|C}P{A|BC}P{B|C}得
ftm1,tm2/t1,t2,,tm(xm1,xm2/x1,x2,,xm)
ftm2/t1,t2,tm,tm1(xm2/x1,x2,,xm,xm1)ftm1/t1,t2,,tm(xm1/x1,x2,,xm)
于是,由马尔可夫性得
ftm1,tm2/t1,t2,,tm(xm1,xm2/x1,x2,,xm)
ftm2/tm1,tm(xm2/xm1,xm)ftm1/tm(xm1/xm)
再利用性质P{A|BC}P{B|C}P{AB|C}得
ftm1,tm2/t1,t2,,tm(xm1,xm2/x1,x2,,xm)=ftm1,tm2/tm(xm1,xm2/xm)
2.4若有随机变量序列1,
2,,n,
,且,,,,
12n
之间相互统计独立,n的
概率密度函数为fn(xn)
fn(xn),
E[n]0(n1,2,
)。
定义另一随机变量序列
{n}如下:
1
2
1
12
3
123
n
12n
试证明:
(1)序列1,2
n,具有马尔可夫性;
2)E[n/1
y1,2y2,
n1
yn1]E[n/n1yn1]yn1
(1)证明:
由于1,2
相互统计独立,其n维联合概率密度函数为
12n(y1,y2,,yn)f1(y1)f2(y2)fn(yn)
于是,
.(为也,,Xn)f1(x1)f2(x2x1)fn(xnxn1)
n/n1,,2,1(xn/Xn1,X2,X1)
f1(x1)f2(X2x1)fn(xn1xn2)fn(xnxn1)
fn(Xn1fn(xnxn1)
由于
n1n(xn1,xn)
dXn2
2n(X1,X2,,Xn)dX1dX2
fn(Xn
xn1)
f1(X1)f2(X2X1)
fn(Xn1
xn2)dx1dx2dxn2
n1(xn
1)
dXn2
2)dx1dx2dxn2
n1(X1,X2,,Xn1)dX1dX2
f1(x1)f2(x2x1)fn(xn1xn
所以,
(xn/xn1)fn(xn
xn1)
因此
n/n1,,2,1
(Xn/Xn1X2,X1)
n/n1(Xn/Xn1)
所以,序列
具有马尔可夫性。
(2)证明:
根据条件均值的定义得
E[n/1
y1,2
y2,
n1
yn1]
ynf
n/n1,2,
1(y
n/yn1
y2,yJdyn
ynf
n/n1(yn/
yn
1阳
E[n/
n1yn1]
于是,
由给定的关系
n1
2
n
和E[
n]0
E[n/1
y1,2
y2,,n
1
yn1]
E[nyn1]yn1
2.5设有随机过程(n)(n=1,2,3,…),它的状态空间I:
{x:
0 (1)为(0,1)间均匀分布的随机变 的参数T为离散的,T=n(n=1,2,3,…)。 设 量,即 (1)的概率密度为 (1), (2),…,(m)的联合概率密度为 f1,2,,m(x1,x2,,xm)f (1), (2),,(m)(x1,x2,,xm) 1 (0xmxm1X11) x1x2xm1 f1,2,,m(X1,X2,,Xm)0,其它Xj值 (1)求⑵的边际概率密度f2(x2); (2)试问该过程是否为马尔可夫过程; (3)求转移概率密度f2|1(x2|X1),,fm|m1(xm|Xm1)。 31 ⑷求P{ (1)—,(3)-}o 43 (1)解: 由给出的 (1), (2),…,(m)的联合概率密度函数可知 (0x2x11) x1 其分布区域如右图加黑部分所示 因此, (2)的边际概率密度函数为 f2(X2) 1丄dX1 X2X1 Inx2 (0 X21) 其它Xi值 (2)证明: 因为 xm) m|1,2. m1(xmIx1,x2 xm1) f1,2,,m(x1,X2, 1,2,,m1(x1,X2,,Xm1)Xm1 (0 显然,fm|1,2,m1只与Xm1有关,所以该过程是马尔可夫过程。 (3)解: 由 (2)得 其中,0 (4)解: 由给出的 (1),⑵,…,(m)的联合概率密度函数可知 1 (0X3X2X11) f1,2,3(X1,X2,X3)X1X2 0,其它值 于是, X1 f1,3(X1,X3)xf(X1,X2,X3)dX2 X3 X1-^dx2 X3X1X2 X1 X3 1 —Inx2 X1 1X1 In1,(0X3X11) X1X3 0,其它值 所以, 31 P{ (1)-,⑶3} 1/33/41Xl In—dX1dX3 0X3X1X3 2.6设有一参数离散、状态连续的随机过程(n),n1,2,,它的状态空间为 I: x;x0,又 (1)的概率密度函数为 eX1x10 J(X1)^(勺) 0其它知值 (1), (2),,(m)的m维联合概率密度为 f1,2,,m(X1,X2,,Xm)X1X2Xm1exp[(XmXm1Xm1Xm2X2X1X1)] (X10,x20,,xm0) f1,2,,m(x1,x2,,xm)0其它xi值 (1)求边际概率密度f1,2,,m1(x1,X2,,xm1) (2)求 (2)的概率密度; (3)说明该过程是马尔可夫过程,并求其转移概率密度ftm/tm1(xm/xm1) (1)解: 由m维联合概率密度可得m-1维联合概率密度 X2X1X1)]dXm f1,2,,m1(x1,x2,,心1) 0X1X2Xm1exp[(XmXm1XmMm2 ⑵解: 同 (1)理可求得: 所以, x20 0,其它X2值 (3)解: 由条件概率的定义可得 fm/1,2,,m1(Xm/X1,X2,,Xm1)必巴Xm1eXp(XmXm1) f1,2,,m1(x1,X2,,Xm1) 由此可见,当m-1时刻的状态确定时,m时刻的状态与以前时刻的状态无关。 所以,该过程为马尔可夫过程。 其转移概率密度为 2.7有三个黑球和三个白球。 把六个球任意等分给甲乙两个袋中,并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态,则有四种状态: 0,1,2,3。 现每次从甲、乙两袋中各取 一球,然后互相交换,即把从甲袋取出的球放入乙袋,把从乙袋取出的球放入甲袋,经过n次交换,过程的状态为(n)(n=1,2,3,4,…)。 (1)试问此过程是否为马尔可夫链; (2)计算它的一步转移概率矩阵。 (1)证明: 显然,该过程由当前状态转移到另一个状态的转移概率只与当前状态和转 移到的状态有关,与其它时刻的状态无关。 因此,该过程是为马尔可夫链。 (2)解: 以甲袋中的白球数i作为该过程的状态。 当i0和3时,过程状态由i转移到j概率为 2 3 「(ji 1) ■勺■ P{(n1)j|(n)i}23T (j i) .2 1 i —J (ji 1) 3 0, 其它j值 当i=0时,poi1,poj 步转移概率矩阵为: 0 1 0 0 1 4 4 0 9 9 9 P 0 4 4 - 9 9 9 0 0 1 0 2.8设{(n)}是一马尔可夫链,它的状态转移空间为 阵为 (1)计算概率P{(0)0, (1)1, (2)1}; ⑵计算p0? o (1)解: 由马尔可夫性可得 P{(0)0, (1)1, (2)1}P{ (2)1| (1)1}P{ (1)1|(0)0}P{(0)0} 其中, 13 1 1 0, ⑴ 1, ⑵ 1} —一 — 16 34 4 3 0 1 3 0 5 7 1 — — — — — — 4 4 4 16 16 4 1 1 1 1 1 7 16 13 3 3 3 3 3 36 36 36 1 3 0 1 3 1 13 31 4 4 4 4 12 48 48 P{ (2)1| (1)1}PT1 (1)3 P{ (1)1|(0)0}P01- 4 于是 P{(0) (2)解: 二步转移概率矩阵为 1 4 护)1 3 0 所以, 另一种解法是根据切普曼 010 P1p0p 010 (1)试求口2),并证明P (2)旳; (2)求口n),n1。 (1)证明: P (2)和P(4)分别为 0 1 0 0 1 0 1 p 0 p p (2) 1p 0 p 1p 0 p 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 p 0 p p(4) 口2)护)0 10010010 1p 0p1p0p1p0p 所以, p (2)口4) ⑵解: 实际上, 一步转移概率矩阵 P可以经过行列变换为 1p0p1p0p 1p0p 0 0 i 1 0 0 1 1p p 0 由此可见,这是一个周期为2的马尔可夫链。 所以,当n为奇数时 010 P(n)1p0p 010 n为偶数时 1p0p P(n)010 1p0p p1p P(0p1) 1pp 试用数学归纳法证明 证明: 当n=1时,显然是成立的。 假设 nk 1成立,即 1 1 k1 1 1 k1 — (2p 1) — (2p 1) p(k1)2 2 2 2 1 1 1)k1 1 1 1)k1 2 (2p 2 2 (2p 2 p(k)p(k1)p 则当nk时 所以结论成立。 2.11设有马尔可夫链,它的状态空间为 I: {0,1},它的一步转移概率矩阵为 P的两个特征值和对应的特 Q Q1ab a b 1 1 1b ab a b 与矩阵P存在如下关系 10 1 0 Q1PQ Q1Q 01ab 0 1 ab 1a b a 并且 (Q1PQ)nQ1PQQ1PQQ1PQQ1PnQ 于是得 1 P(n)Q 01 0n Q1 ab a(1 a b)nb aa(1 a b)n b a b(1 b n ab) a ab(1 b a b)n a b a b [方法二]: 利用矩阵的特征值、特征矢量: 首先,由下面的等价关系 PXXPPXPX2XP(n)XnX 可知n是P(n)的特征值,P的特征向量是P(n)的特征向量。 因此,可由P的所有特 解得P1,P2,P3,P4的值与方法一的结果相同 [方法三]: 利用母函数: 首先,转移概率矩阵对应的母函数为 p(n)sn(I Ps) 1(1a)s as G(s) n1 bs1 (1b)s 1 1(1b)s as (1 2 ab)s2(2 ab)s 1bs1 (1a)s 将矩阵G(s)的第一行第一列元素展开成s的级数为 ab abab 其中,sn项的系数就是P(n)的第一行第一列元素,即 P1 同理可得p2,p3,p4 2.12天气预报问题。 其模型是: 今日是否下雨依赖于前三天是否有雨(即一连三天有 雨;前面两天有雨,第三天是晴天;…),问能否把这个问题归结为马尔可夫链。 如 果可以,问该过程的状态有几个? 如果过去一连三天有雨,今天有雨的概率为0.8; 过去三天连续为晴天,而今天有雨的概率为0.2;在其它天气情况时,今日的天气与昨日相同的概率为0.6。 求这个马尔可夫链的转移矩阵。 解: 此问题本来不是马尔可夫链,但是通过将连续三天的天气情况定义为一个状态, 则可以认为是一个马尔可夫链。 每天的天气状况分为有雨(用“1”表示)和无雨(用“0”表示)两种情况,所以该马尔可夫链有23=8中状态。 将连续四天的天气情况 用丫和N表示。 例如,前三天有雨,第四天无雨,则表示为YYYN。 根据题意可知,如果过去一连三天有雨,今天有雨的概率为0.8;过去三天连续 为晴天,而今天有雨的概率为0.2;即 P{1111}=0.8,P{0001}=0.2, 在其它天气情况时,今日的天气与昨日相同的概率为0.6,即 P{0011}=P{0111}=P{1011}=0.6 P{1100}=P{0000}=P{0100}=P{1000}=0.6 于是可得其它的概率值为 P{0000}=1-P{0001}=0.8, P{0010}=1-P{0000}=0.2,P{0101}=1-P{0100}=0.4 因此,概率转移矩阵为 0.8 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0 0.4 0.6 0 0 0 0 0 0.4 0.6 1 00000000 ⑵⑴ (1)111 oop01p10236 另一种方法是利用母函数 由下面的关系 可得 ⑴ oo 试求f0(01), 解: p1q1 0 P(n)0p2 q2 q30 p3 f (2), f00, f(3),f (1),f (2),f(3)。 f00,f01,f01,f01。 f0(10)p0(10) p1 f0(11)p0(11) q1 f0(02)p0(11)p1(10)p0(12)p2(10) q100q30 f0(12)p0(10)p0(11)p0(12)p2(11) p1q100 p1q1 f(3)f00 p0(11)p1(11)p1(10)p0(11)p1(12)p2(10) (1) (1) (1)p02p21p10 p0(12)p2(12)p2(10) q1p20q1q2q3000 0p3q3 q1q2q3 f(3) 01 p0(10)p0(10)p0(11)p0(10)p0(12)p2(11) (1) (1) (1)p02p20p01 p0(12)p2(12)p2(11) p1p1q1p1000q3 q10p3 2 0p12q1 1aa P(0a1,0b1) b1b 试求P(n)(利用矩阵的特征值、特征矢量方法计算)解: 解算此题有以下三种方法: [方法一]: 禾I」用矩阵的相似变换: 首先,容易解得矩阵 征向量分别为
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