《角的概念的推广》教案新人教B版.docx

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《角的概念的推广》教案新人教B版

数学：

1.1.1《角的概念的推广》教案（新人教B版必修4）

1.1.1角的概念的推广

一、学习目标：

1、掌握用"旋转"定义角的概念，理解并掌握"正角""负角""象限角""终边相同的角"的含义

2、掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法

3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；

二、教学重点、难点

重点：

理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.

难点：

终边相同的角的表示.

三、教学方法：

讲授法、讨论法、媒体课件演示

四、内容分析：

本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确"规定"的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.

五、教学过程：

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图复习引入

1、角的概念[0o,360o]

2、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。

1、初中是如何定义角的？

从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形

这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于"狭隘"

2、生活中很多实例会不在该范围

体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o

经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？

这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？

（运动）

1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。

2、为引入正角与负角的概念做好准备。

新概念产生

1．角的概念的推广

⑴"旋转"形成角

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

突出"旋转"注意：

"顶点""始边""终边"

⑵．"正角"与"负角""0角"

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210o，β=-150o，γ=660o，

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：

角或可以简记成

⑶意义

用"旋转"定义角之后，角的范围大大地扩大了

1?

角有正负之分如：

?

=210?

?

=?

150?

?

=660?

2?

角可以任意大

实例：

体操动作：

旋转2周（360?

×2=720?

）3周（360?

×3=1080?

）

3?

还有零角

一条射线，没有旋转

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．

1、教师用多媒体演示角的形成。

2、教师指导学生依定义分别作出大小和方向不同的角，并指出角的"顶点""始边""终边"

3、教师设计以下问题组织学生讨论思考回答：

（1）正角与负角有何本质区别？

（2）正角与负角的实际意义有何不同？

（3）角的概念推广以后应该包括哪些角？

4、教师应注意指明：

正角与负角是具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负。

1、使学生通过亲手作图获取对新概念的直观印象。

2、促使学生从本质上认识角的形成以及角的分类。

3、通过观察旋转绝对量的变化学习角的加减运算。

4、让学生清楚角的正负规定纯系习惯。

新概念形成

2．"象限角"

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：

30?

、390?

、?

330?

是第Ⅰ象限角，300?

、?

60?

是第Ⅳ象限角，585?

、1180?

是第Ⅲ象限角，?

2000?

是第Ⅱ象限角等

提出问题，学生讨论回答：

（1）在坐标系中表示角时，对角的顶点与角的始边有什么要求？

（2）你对"角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限"这句话是怎么理解的？

（3）分别举出几个第一、二、三、四象限角的例子。

学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对于新概念的理解与掌握。

新概念形成

3．终边相同的角

⑴观察：

390?

，?

330?

角，它们的终边都与30?

角的终边相同

⑵探究：

终边相同的角都可以表示成一个0?

到360?

的角与个周角的和：

390?

=30?

+360?

?

330?

=30?

?

360?

30?

=30?

+0×360?

1470?

=30?

+4×360?

?

1770?

=30?

?

5×360?

⑶结论：

所有与?

终边相同的角连同?

在内可以构成一个集合：

即：

任何一个与角?

终边相同的角，都可以表示成角?

与整数个周角的和

⑷注意以下四点：

（1）

（2）?

是任意角；

（3）与?

之间是"+"号，

如-30o，应看成+（-30o）；

（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360o的整数倍

引导学生观察分析：

（1）终边相同的角有何特点？

（相差整数个周角）。

（2）试表示出与30?

终边相同的角。

（3）用集合表示终边相同的角请注意以下问题：

①；②?

是任意角；

③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360?

的整数倍。

从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题。

讲解范例

例1在0o到360o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角

解：

⑴∵-120o=-360o+240o，

∴240o的角与-140o的角终边相同，它是第三象限角．

⑵∵640o=360o+280o，

∴280o的角与640o的角终边相同，它是第四象限角．

⑶∵-950o12'=-3360o+129o48'，

∴129o48'的角与-950o12'的角终边相同，它是第三象限角．

例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：

解：

（1）

S中在-360o～720间的角是

-1×360o+60o=-280o；

0×360o+60o=60o；

1×360o+60o=420o．

（2）

S中在-360o～720间的角是

0×360o-21o=-21o；

1×360o-21o=339o；

2×360o-21o=699o．

（3）

S中在-360o～720o间的角是

-2×360o+363o14'=-356o46'；

-1×360o+363o14'=3o14'；

0×360o+363o14'=363o14'．

1、选例1的第一小题板书来示范解题的步骤，其他例题请几个学生板演，，其他学生在下面自己完成，针对板演同学所出现的步骤上的问题及时给予更正，教师要适时引导学生做好总结归纳。

2、例2可以组织学生讨论，然后让学生回答，互相更正，对出现的错误进行纠正讲解，并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法。

1、例1主要让学生学会如何在0o到360o范围内，找出与某个角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角。

2、例4主要想解决：

所有与?

终边相同的角连同?

在内可以构成一个集合：

即：

任何一个与角?

终边相同的角，都可以表示成角?

与整数个周角的和。

在这里：

①；②?

是任意角；

③终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360?

的整数倍。

课堂练习

1．锐角是第几象限的角？

第一象限的角是否都是锐角？

小于90o的角是锐角吗？

0o～90o的角是锐角吗？

（答：

锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90o的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0o～90o的角可能是零角，故它也不一定是锐角．）

总结有关角的集合表示．

锐角：

{θ|0o＜θ＜90o}，

0o～90o的角：

{θ|0o≤θ≤90o}；

小于90o角：

{θ|θ＜90o}．

2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）420o，

（2）-75o，（3）855o，（4）-510o．

（答：

（1）第一象限角，

（2）第四象限角，（3）第二象限角，（4）第三象限角）

课堂练习的目的是对本节课的内容进行综合回顾，教师可以放手让学生自行解决，然后教师加以点拨。

归纳小结

从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结。

本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分"终边相同"和"角相等"；"轴线角""象限角"和"区间角"；"小于90o的角""第一象限角""0o到90o的角"和"锐角"的不同意义.

请学生在教师的叙述回顾中再现本节的核心内容。

课后作业

1.下列命题中正确的是（）

A.终边在y轴非负半轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若β＝α＋ｋ·360o（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同

2.与120o角终边相同的角是（）

A.－600o＋k·360o，ｋ∈ＺB.－120o＋k·360o，ｋ∈Ｚ

C.120o＋（2k＋1）·180o，ｋ∈ＺD.660o＋k·360o，ｋ∈Ｚ

3.若角α与β终边相同，则一定有（）

A.α＋β＝180oB.α＋β＝0o

C.α－β＝ｋ·360o，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360o，ｋ∈Z

4.与1840o终边相同的最小正角为，与－1840o终边相同的最小正角是.

5.今天是星期一，100天后的那一天是星期，100天前的那一天是星期.

6.钟表经过4小时，时针与分针各转了（填度）.

7.在直角坐标系中，作出下列各角

（1）360o

（2）720o（3）1080o（4）1440o

8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0o到90o的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90o的角｝．

求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.

9.将下列各角表示为α＋ｋ·360o（ｋ∈Ζ，0o≤α＜360o）的形式，并判断角在第几象限.

（1）560o24′

（2）－560o24′（3）2903o15′

（4）－2903o15′（5）3900o（6）－3900o

本次作业主要涉及以下重要内容：

1、正角、负角、象限角的基本概念；

2、终边相同的角的概念及终边相同的角的集合表示法。

这些内容对以后的学习有很重要的作用，请同学们认真落实完成。

通过作业让学生巩固以下三点：

1、角的概念推广后的范围；

2、弄清角的分类；

3、终边相同的角的集合表示法。