初二数学练习6.docx

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初二数学练习6

星海学校双楠校区2013年暑期

（3L个性化一对一名师培优精讲）

学科：

数学年级：

八年级姓名：

郑逸帆老师：

熊老师第六讲2013.07.13（8:

00—10:

00）

【教学标题】函数专项

【教学目标】

1、理解函数概念和函数中变量的取值范围的意义

2、熟练掌握一次函数的定义、图像和性质

3、理解一次函数与二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）的联系

4、能用函数思想方法思考、探索、解答问题

【教学内容】

一次函数是函数大家族中的主要成员之一，是研究两个变量和学习其它函数的基础，它的表达式简单，性质也不复杂，但在我们的日常生活中的应用却十分广泛，与其它函数的联系也十分密切，许多实际问题只要我们注意细心观察，认真分析，及时将问题转化为一次函数模型，再得用一次函数的性质即可求解．

一、一次函数概念、图像和性质：

1．一次函数的定义

　　一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。

注：

一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）

k不为零

x指数为1

b取任意实数

　特别地，当b=0时，一次函数y=kx（常数k≠0）也叫做正比例函数．由此可见，正比例函数是一次函数的特例。

2．一次函数的图象

　　一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是经过（0，b）和（-

，0）两点的一条直线，通常也称直线y=kx+b。

3．一次函数y=kx+b（k≠0）有下列性质（增减性）：

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

（2）当k＜0时，y随x的增大而减少，这时函数的图象从左到右减小。

4．直线y=kx+b（k≠0）中，k、b决定着直线的位置：

（1）必过点：

（0，b）和（-

，0）

（2）走向：

k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限

直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限

直线经过第二、三、四象限

（3）倾斜度：

|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（4）图像的平移：

当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

（5）正比例函数与一次函数之间的关系：

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

二、思想方法：

1、函数思想：

所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来，其两个变量之间是一个对应的关系。

确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式。

2、数形结合思想：

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。

3、待定系数法：

待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法．它是方程思想的具体运用。

用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：

“一设二列三解四还原”。

就是说，一设：

设出一次函数解析式的一般形式y＝kx+b（k≠0）；二列：

根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组；三解：

解这个方程组，求出k、b的值；四还原：

将已求得k和b的值代入设出一次函数解析式，写出一次函数的解析式。

4、方程思想：

方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．方程思想是最重要的一种数学思想，在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活。

三、考点分析：

考点1、　确定自变量的取值范围

确定函数解析式中的自变量的取值范围，只需保证其函数有意义即可。

例1（盐城市）函数y＝

中，自变量x的取值范围是。

考点2、函数图象

把一个函数的自变量x与对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做函数函数图象。

例2（泉州市）小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家．如图1中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用时间t（分）之间的关系（　　　）

考点3、　判断图象经过的象限

例3（十堰市）已知直线l经过第一、二、四象限，则其解析式可以为＿＿＿＿＿＿＿

（写出一个即可）．

考点4、　求一次函数的表达式，确定函数值

要确定一次函数的解析式，只需找到满足k、b的两个条件即可。

一般地，根据条件列出关于k、b的二元一次方程组，解出k与b的值，从而就确定了一次函数的解析式。

另外，对于实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约。

例4（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x（吨）与应付水费（元）的函数关系如图2．

（1）求出当月用水量不超过5吨时，y与x之间的函数关系式；

（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少?

考点5、　比较大小

利用一次函数的性质可以比较函数值的大小，具体地应由k的符号决定。

例5（青岛市）点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝－4x+3图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）

A．y1＞y2B．y1＞y2＞0C．y1＜y2D．y1＝y2

考点6、　图象与坐标轴围成的面积问题

对于一次函数y＝kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是（0，b）和（－

，0），由此与坐标轴围成的三角形的面积为

＝

。

例6（日照市）已知直线y＝mx－1上有一点B（1，n），它到原点的距离是

，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　　）

　A．

　　　　　B．

或

　　　　　C．

或

　　D．

或

考点7、　利用一次函数解决实际问题

　　利用一次函数解决实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约。

例7（长沙市）我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A，B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元。

（1）请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数关系式；

C

D

总计

A

x吨

200吨

B

300吨

总计

240吨

260吨

500吨

（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；

（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？

求出这个最小值。

四、重点难点分析：

1、实际问题中的一次函数：

此类问题一般是利用一次函数与方程、不等式的关系解决实际问题并进行简单的决策，或根据已画出的图象进行决策。

例：

小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：

请根据图2中给出的信息，解答下列问题：

（1）放入一个小球量桶中水面升高___________

；

（2）求放入小球后量桶中水面的高度

（

）与小球个数

（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？

2、描点猜想求一次函数

函数与几何知识的综合问题,有些是以函数知识为背景考查几何相关知识,关键是掌握数与形的转化。

有些题目是以几何知识为背景,从几何图形中建立函数关系,关键是运用几何知识建立量与量的等式。

例:

元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：

纸环数

（个）

1

2

3

4

……

彩纸链长度

（cm）

19

36

53

70

……

（1）把上表中

的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想

与

的函数关系，并求出函数关系式；

（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？

3、文字信息类

例：

某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。

（1）试写出总费用y（元）与销售套数x（套）之间的函数关系式；

（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本。

4、图形信息类

例：

如图，

表示神风摩托厂一天的销售收入与摩托车销售量之间的关系；

表示摩托厂一天的销售成本与销售量之间的关系。

（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式；

（2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式；

（3）当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；

（4）一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利？

5、表格信息类

例：

某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：

印数x（册）

5000

8000

10000

15000

……

成本y（元）

28500

36000

41000

53500

……

（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的x取值范围）。

（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？

五、确定一次函数解析式的五种类型

确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。

1、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式

例1、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。

2、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式

例2、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

3、根据函数的图像，确定函数的解析式

例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系。

求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。

4、根据平移规律，确定函数的解析式

例4、如图2，将直线

向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是（08年上海市）。

5、根据直线的对称性，确定函数的解析式

例5、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称，求k、b的值。

【练习】

1、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于x轴对称，求k、b的值。

2、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于原点对称，求k、b的值。

六、距离与位置

1、两直线的位置关系：

（1）直线

与直线

平行<——>K1==K2;

（2）直线

与直线

互相垂直

=—1。

例1、过点A（1，3）与直线

垂直的直线解析式为：

；

过点A（1，3）与直线

平行的直线解析式为：

；

过点

与直线

垂直的直线解析式为。

2、两点间的距离：

例2、已知点A（4，-6）、点B（1，3），AB=；

已知点

、

，AB=；

已知点A（4，-6）、点B（1，3）、点C（-1，2），则△ABC的面积为。

3、点到直线的距离：

例3、点A（1，3）到直线

的距离为：

；

点A（m，n）到直线

的距离为：

。

4、平行线间的距离：

例4、求直线y=2x--7与直线y=2x+5间的距离。

七、方程（组）、不等式（组）、函数之间的关系：

1、作出函数

与

的图像，

并观察图像回答下列问题：

（1）x取何值时，2x-4>0？

（2）x取何值时，-2x+8>0？

（3）x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？

（4）你能求出函数

与

的图像

与x轴所围成的三角形的面积吗？

并写出过程。

2

（1）已知y

=-x+1和y

=-2x-1当x＞-2时y

＞y

当x＜-2时y

＜y

，则直线y

=-x+1和直线y

=-2x-1的交点是。

（2）一次函数

，如果函数值的取值范围是

，则自变量x的取值范围是。

（3）如图，直线

经过

，

两点，

则不等式

的解集为。

3、如图，直线L：

与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点

C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；

（3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标。

八、面积问题

1、已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过

点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；

（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；

（2）计算四边形ABCD的面积；

（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。

2、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；

（1）求△COP的面积；

（2）求点A的坐标及p的值；

（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。

3、已知：

经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线

经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D

（1）求直线

的解析式；

（2）若直线

与

交于点P，求

的值。

4、在平面直角坐标系中，点A（4，0），点P（x，y）是直线

在第一象限的一点．

（1）设△OAP的面积为S，用含x的解析式表示S，并写出自变量取值范围；

（2）在直线

求一点Q，使△OAQ是以OA为底的等腰三角形。