工程数学形成性考核册答案.docx
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工程数学形成性考核册答案
工程数学作业
(一)答案
(满分100分)
第2章
矩阵
(一)单项选择题(每小题
2分,共20分)
a1
a2
a3
a1
a2
a3
⒈设b1
b2
b3
2,则2a1
3b1
2a2
3b2
2a3
3b3
(D
).
c1
c2
c3
c1
c2
c3
A.4
B.-4
C.6
D.-6
0
0
0
1
0
0
a
0
1,则a
(A
⒉若
2
0
0
).
0
1
0
0
a
A.
1
B.-1
C.
1
D.1
2
2
⒊乘积矩阵
1
1
1
0
3
中元素c23
(C
).
2
4
5
2
1
A.1
B.7
C.10
D.8
⒋设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是(
B).
1
1
1
1
1
A.AB
A
B
B.(AB)
BA
C.
1
1
B
1
D.
1
1
1
(AB)
A
(AB)
AB
⒌设A,B均为n阶方阵,k
0
且k
1
,则下列等式正确的是(
D
).
A.
AB
AB
B.
ABnAB
C.
kA
kA
D.
kA
(
k)n
A
⒍下列结论正确的是(
A).
A.若A是正交矩阵,则
A
1也是正交矩阵
B.若A,B均为n阶对称矩阵,则
AB
也是对称矩阵
C.若A,B均为n阶非零矩阵,则
AB
也是非零矩阵
D.若A,B均为n阶非零矩阵,则
AB
0
⒎矩阵
1
3
的伴随矩阵为(
C).
2
5
A.
1
3
B.
1
3
2
5
2
5
C.
5
3
D.
5
3
2
1
2
1
⒏方阵A可逆的充分必要条件是(
B
).
A.A0
B.A0
C.
A*0
⒐设A,B,C均为n阶可逆矩阵,则
(ACB
1
)
1
1
1
B.
1
1
A.(B)
AC
BC
A
D.A*0
(D).
C.
1
1
1
D.
1
1
1
AC(B)
(B)CA
⒑设A,B,C均为n
阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A
).
A.
2
2
2ABB
2
(AB)B
BAB
2
(AB)
A
B.
C.
(2ABC)
1
1
1
1
D.
(2ABC
)
2CBA
2C
B
A
1
(二)填空题(每小题
2分,共20分)
2
1
0
⒈1
4
0
7
.
0
0
1
1
1
1
⒉1
1
x
是关于x的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是
2
.
1
1
1
⒊若A为3
4矩阵,B为2
5矩阵,切乘积
ACB
有意义,则C为
5×4
矩阵.
1
5
⒋二阶矩阵A
1
1
5.
0
1
0
1
1
2
1
2
0
0
6
3
⒌设A
4
B)
0,B
1
,则(A
5
1
8
3
4
3
4
⒍设A,B均为3阶矩阵,且
A
B
3,则
2AB
72
.
⒎设A,B均为3阶矩阵,且
A
1,B
3,则
3(A
1
2
-3
.
B)
⒏若A
1
a
为正交矩阵,则a
0
.
0
1
2
1
2
⒐矩阵
4
0
2
的秩为
2
.
0
3
3
A1
O
1
A1
O
⒑设A1
A2是两个可逆矩阵,则
1
.
O
A2
O
A2
1
(三)解答题(每小题
8分,共48分)
⒈设A
1
2
B
1
1
5
4
B;⑵A
C;⑶2A
3C;⑷A
5B;⑸AB;⑹
3
5
4
C
3
,求⑴A
3
1
(AB)C.
答案:
A
B
0
3
A
6
6
2A
3C
17
16
1
8
C
4
3
7
0
A
5B
26
22
7
7
(AB)C
56
21
12
0
AB
12
151
80
23
1
2
1
1
0
3
1
1
4
⒉设A
B
C
3
2
1
,求ACBC.
0
1
2
2
1
1
0
0
2
0
2
4
1
1
4
6
4
10
解:
ACBC(AB)C
3
21
2
0
1
2
2
10
0
0
2
3
1
0
1
0
2
⒊已知A
1
2
1
B
1
1
1
,求满足方程
3A
2XB中的X.
3
4
2
2
1
1
解:
3A
2X
B
2
4
3
1
2
8
3
2
X
1
1
2
1
5
1
(3AB)
25
2
2
2
11
5
7
7
11
5
2
2
2
⒋写出4阶行列式
1
0
2
0
1
4
3
6
0
2
5
3
3
1
1
0
中元素a41
a42的代数余子式,并求其值.
0
2
0
1
2
0
答案:
a41
(1)414
3
6
0a42
(1)42
1
3
6
45
2
5
3
0
5
3
⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:
1
2
1
2
3
4
1
0
0
0
2
3
1
2
1
1
0
0
⑴2
1
2
2;⑵
1
1
1
;⑶
1
1
.
2
2
1
1
0
1
0
2
6
1
1
1
1
1
解:
(1)
1
2
2
1
0
0
1
2
2
1
0
0
2
r1
r2
r2
r1
2
3
A|I
2
1
20
1
2
r1
r3
0
3
6
2
1
0
2r2
r3
0
2
2
1
0
0
1
0
6
3
2
0
1
1
r2
1
2
0
1
2
2
3
3
3
9
9
9
1
0
2
1
0
0
1
2r3
r1
r3
2
1
2
1
2
9
2r
r2
0
1
2
3
0
1
0
3
3
0
9
9
9
0
0
1
0
0
1
2
2
1
2
2
1
9
9
9
9
9
9
1
0
2
1
2
0
3
3
0
3
6
2
1
0
0
0
9
2
2
1
1
2
2
9
9
9
A
1
2
1
2
9
9
9
2
2
1
9
9
9
22
6
26
17
1
0
0
0
1
17
5
20
13
(过程略)
(3)
1
1
1
0
0
(2)A
1
0
2
1
A
0
1
1
0
4
1
5
3
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
⒍求矩阵
0
1
2
1
0
的秩.
1
1
2
1
1
3
2
0
1
3
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
2
1
0
1
2
1
1
3
2
0
1
解:
r1r2
r1r3
2r1r4
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
r2r4
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
2
2
1
0
0
0
1
1
1
0
R(A)3
1
0
1
1
0
1
1
r3r4
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
(四)证明题(每小题4分,共12分)
⒎对任意方阵A,试证AA是对称矩阵.
证明:
(AA')'A'(A')'A'AAA'
AA是对称矩阵
⒏若A
是n阶方阵,且AA
I,试证A
1或1.
证明:
A是n阶方阵,且AA
I
AAAAA
2
1
I
A1或A1
⒐若A是正交矩阵,试证A也是正交矩阵.
证明:
A是正交矩阵
A1A
(A)1(A1)1A(A)
即A是正交矩阵
工程数学作业(第二次)(满分100分)
第3章
线性方程组
(一)单项选择题
(每小题
2分,共16分)
x1
2x2
4x3
1
x1
⒈用消元法得
x2
x3
0的解
x2
为(C
).
x3
2
x3
A.[1,0,2]
B.
[7,2,
2]
C.[11,2,
2]
D.
[11,
2,2]
x1
2x2
3x3
2
⒉线性方程组
x1
x3
6(B
).
3x2
3x3
4
A.有无穷多解
B.有唯一解
C.无解
D.只有零解
1
0
0
1
3
⒊向量组0,
1
0,
2,
0的秩为(
A).
0
0
1
1
4
A.3
B.2
C.4
D.5
4
1
0
1
1
0
0
1
1
⒋设向量组为1
2
3
4
,则(B)是极大无关组.
0
1
1
0
1
0
A.
1,2
B.
1,2,3
C.
1,2,
1
1
D.
41
⒌A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(
D).
A.秩(A)
秩(A)
B.秩(A)
秩(A)
C.秩(A)
秩(A)
D.秩(A)
秩(A)1
⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(
A
).
A.可能无解
B.有唯一解
C.有无穷多解
D.无解
⒎以下结论正确的是(D).
A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解
B.方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解
C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D.齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组
1,
2
s线性相关,则向量组内(
A
)可被该向量组内其余向量线性表出.
A.至少有一个向量
B.没有一个向量
C.至多有一个向量
D.任何一个向量
9.设A,B为n阶矩阵,
既是A又是B的特征值,
x既是A又是B的属于
的特征向量,则结论(
)成立.
A.
是AB的特征值
B.是A+B的特征值
C.
是A-B的特征值
D.x是A+B的属于
的特征向量
10.设A,B,P为
n阶矩阵,若等式(C
)成立,则称A和B相似.
A.AB
BA
B.(AB)
AB
C.PAP
1
B
D.PAP
B
(二)填空题(每小题2分,共16分)
⒈当
1
时,齐次线性方程组
x1
x2
0
x1
x2
0
有非零解.
⒉向量组
1
0,0,0
2
1,1,1线性相关
.
⒊向量组1,2,3,
1,2,0
1,0,0,
0,0,0的秩是
3
.
⒋设齐次线性方程组
1x1
2x2
3x3
0
的系数行列式
12
3
0,则这个方程组有
无穷多
解,且
系数列向量
1
2,
3是线性
相关
的.
⒌向量组
1
1,0,
2
0,1,3
0,0
的极大线性无关组是
1,
2.
⒍向量组
1
2,
s的秩与矩阵
1,
2,
s
的秩
相同
.
⒎设线性方程组
AX
0中有5个未知量,且秩
(A)
3,则其基础解系中线性无关的解向量有
2
个.
⒏设线性方程组
AX
b有解,X0是它的一个特解,且
AX
0的基础解系为
X1,X2,则AX
b的通解为
X0k1X1
k2X2.
9.若
是A的特征值,则
是方程I
A
0
的根.
10.若矩阵A满足
A1
A
,则称A为正交矩阵.
(三)解答题(第1小题9分,其余每小题
11分)
1.用消元法解线性方程组
5
x1
3x2
2x3
x4
6
3x1
8x2
x3
5x4
0
2x1
x2
4x3
x4
12
x1
4x2
x3
3x4
2
解:
1
3
2
1
6
3
8
1
5
0
A
1
4
1
12
2
1
4
1
3
2
3r4r3
1
0
19
23
48
1
0
1
7
8
18
r4
2
0
0
3
3
12
0
0
5
6
13
1
0
0
42
124
1
0
1
0
15
46
r4
11
0
0
1
1
4
0
0
0
1
3
3r1
r2
1
3
2
1
6
3r2
r1
1
0
19
23
48
2r1
r3
0
1
7
8
18
5r2
r3
01
7
8
18
r1
r4
r1
r4
0
5
8
1
0
0
0
27
39
90
0
1
3
4
8
0
0
10
12
26
1
0
19
23
48
19r3
r1
1
0
0
42
124
1
r3
0
1
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