知识梳理与自测人教A版文科数学《41任意角弧度制及任意角的三角函数》.docx
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知识梳理与自测人教A版文科数学《41任意角弧度制及任意角的三角函数》
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主,常与向量、三角恒等变换相结合,考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值,考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.题型以选择题为主,低档难度.
1.角的概念
(1)任意角:
①定义:
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形;②分类:
角按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.
(3)象限角:
使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
2.弧度制
(1)定义:
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化:
180°=πrad,1°=rad,1rad=°.
(3)扇形的弧长公式:
l=|α|·r,扇形的面积公式:
S=lr=|α|·r2.
3.任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,
则sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0).
三个三角函数的性质如下表:
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sinα
R
+
+
-
-
cosα
R
+
-
-
+
tanα
{α|α≠kπ+,k∈Z}
+
-
+
-
4.三角函数线
如下图,设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
有向线段MP为正弦线;有向线段OM为余弦线;有向线段AT为正切线
概念方法微思考
1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律.
提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦.
2.三角函数坐标法定义中,若取点P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,怎样定义角α的三角函数?
提示 设点P到原点O的距离为r,则sinα=,cosα=,tanα=(x≠0).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( × )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ )
(3)不相等的角终边一定不相同.( × )
(4)若α为第一象限角,则sinα+cosα>1.( √ )
题组二 教材改编
2.[P10A组T7]角-225°=弧度,这个角在第象限.
答案 - 二
3.[P15T2]若角α的终边经过点Q,则sinα=,cosα=.
答案 -
4.[P10A组T6]一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为弧度.
答案
题组三 易错自纠
5.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与π+≤α≤π+表示的范围一样,故选C.
6.已知点P在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )
A.B.
C.D.
答案 C
解析 因为点P在第四象限,
所以根据三角函数的定义可知tanθ==-,
又θ∈,所以θ=.
7.在0到2π范围内,与角-终边相同的角是.
答案
解析 与角-终边相同的角是2kπ+(k∈Z),令k=1,可得与角-终边相同的角是.
8.(2018·济宁模拟)函数y=的定义域为.
答案 (k∈Z)
解析 ∵2cosx-1≥0,
∴cosx≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
∴x∈(k∈Z).
题型一 角及其表示
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)D.kπ+(k∈Z)
答案 C
解析 与角的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确.
2.设集合M=,N=,那么( )
A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N=∅
答案 B
解析 由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1是奇数;而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有M⊆N,故选B.
3.(2018·宁夏质检)终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为.
答案
解析 如图,在坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:
,π;
在[-2π,0)内满足条件的角有两个:
-π,-π,故满足条件的角α构成的集合为.
4.若角α是第二象限角,则是第象限角.
答案 一或三
解析 ∵α是第二象限角,
∴+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,
∴+kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.
综上,是第一或第三象限角.
思维升华
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.
题型二 弧度制及其应用
例1已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.若α=,R=10cm,求扇形的面积.
解 由已知得α=,R=10cm,
∴S扇形=α·R2=··102=(cm2).
引申探究
1.若例题条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l=α·R=×10=(cm),
S弓形=S扇形-S三角形
=·l·R-·R2·sin
=··10-·102·=(cm2).
2.若例题条件改为:
“若扇形周长为20cm”,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
解 由已知得,l+2R=20,则l=20-2R(0 所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25, 所以当R=5cm时,S取得最大值25cm2,此时l=10cm,α=2rad. 思维升华应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 跟踪训练1 (1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( ) A.B.C.3D. 答案 D 解析 如图,等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形,则线段AB所对的圆心角∠AOB=, 作OM⊥AB,垂足为M, 在Rt△AOM中,AO=r,∠AOM=, ∴AM=r,AB=r, ∴l=r, 由弧长公式得α===. (2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的,面积等于圆面积的,则扇形的弧长与圆周长之比为. 答案 解析 设圆的半径为r,则扇形的半径为, 记扇形的圆心角为α, 由扇形面积等于圆面积的, 可得=, 解得α=. 所以扇形的弧长与圆周长之比为==. 题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用 例2 (1)(2018·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P,则sinα·tanα等于( ) A.-B.±C.-D.± 答案 C 解析 由OP2=+y2=1, 得y2=,y=±. 当y=时,sinα=,tanα=-, 此时,sinα·tanα=-. 当y=-时,sinα=-,tanα=, 此时,sinα·tanα=-. 所以sinα·tanα=-. (2)设θ是第三象限角,且=-cos,则是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 答案 B 解析 由θ是第三象限角知,为第二或第四象限角, ∵=-cos,∴cos<0, 综上可知,为第二象限角. 命题点2 三角函数线 例3 (1)满足cosα≤-的角的集合是. 答案 解析 作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD, 则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为 . (2)若-<α<-,从单位圆中的三角函数线观察sinα,cosα,tanα的大小关系是.
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