学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》同步单元综合专题提升测评附答案.docx
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学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》同步单元综合专题提升测评附答案
2021-2022学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》同步单元综合
专题提升测评(附答案)
一.选择题(共10小题,每小题3分,共计30分)
1.用配方法解一元二次方程x2+8x﹣3=0,下列变形中正确的是( )
A.(x﹣4)2=16+3B.(x+4)2=16+3
C.(x+8)2=﹣3+64D.(x﹣8)2=3+64
2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2021,则一元二次方程a(x﹣1)2+bx﹣b=﹣2必有一根为( )
A.2019B.2020C.2021D.2022
3.如果x1,x2是两个不相等实数,且满足x12﹣2x1=1,x22﹣2x2=1,那么x12+x22等于( )
A.2B.﹣2C.﹣1D.6
4.已知x=﹣1是一元二次方程(m+4)x2+2x﹣m2=0的一个根,则m的值为( )
A.﹣1或2B.﹣1C.2D.0
5.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c满足a+b+c=0和4a﹣2b+c=0,则方程的根是( )
A.1,﹣2B.﹣1,0C.1,0D.无法确定
6.若x2=﹣x,则( )
A.x=0B.x1=x2=﹣1C.x1=﹣1,x2=1D.x1=﹣1,x2=0
7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若a+b+c=0,则b2﹣4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则b2﹣4ac=(2ax0+b)2.
其中正确的( )
A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④
8.已知三角形的两边长是4和6,第三边的长是方程(x﹣3)2=4的根,则此三角形的周长为( )
A.17B.11C.15D.11或15
9.关于x的一元二次方程(k+3)x2+5x+k2+2k﹣3=0的一个根是0,则k的值是( )
A.﹣3或1B.1C.﹣3D.﹣1
10.已知关于x的方程x2﹣6x+k﹣4=0的两根分别是x1,x2,且满足
+
=2,则k的值是( )
A.3B.﹣3C.7D.1
二.填空题(共10小题,每小题3分,共计30分)
11.已知一元二次方程ax2﹣x+1=0(a≠0)有两个实数根,则a的取值范围是 .
12.若方程x2+5x﹣6=0的两根为x1,x2,则|x1﹣x2|= .
13.一个等腰三角形的底边长为10,腰长是一元二次方程x2﹣11x+30=0的一个根,则这个三角形的周长是 .
14.将x2﹣2x﹣2=0配方成(x+m)2=n的形式,则n= .
15.如图是一块矩形铁皮,将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子,已知长方体箱子底面的长比宽多2米,则矩形铁皮的面积为 平方米.
16.已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020=0的两实根,则代数式(α﹣2021)(β﹣2021)= .
17.若方程ax2+bx+c=0(a≠0),满足3a﹣b+
c=0,则方程必有一根为 .
18.一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根是直角三角形的两直角边长,则这个直角三角形的斜边长为 .
19.实数x,y分别满足99x2+2021x=﹣1.y2+2021y=﹣99,且xy≠1.则
= .
20.如图,某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若草坪部分的总面积为160m2,则小路的宽度为 m.
三.解答题(共6小题,每小题10分,共计60分)
21.用适当的方法解下列方程:
(1)2(x﹣2)2=x﹣2;
(2)x2﹣10x+8=0.
22.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0
(1)若方程有两个实数根,求m的最小整数值.
(2)若方程的两个实数根为x1,x2且(x1﹣x2)2+m2=21,求m的值.
23.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+4)x+m2+4m=0.
(1)求证:
无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2;
①求代数式
﹣4x1x2的最大值;
②若方程的一个根是6,x1和x2是一个等腰三角形的两条边,求等腰三角形的周长.
24.某农场要建一个饲养场(矩形ABCD),两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为27米,AB位置的墙最大可用长度为15米),另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏).建成后木栏总长45米.
(1)若饲养场(矩形ABCD)的一边CD长为8米,则另一边BC= 米.
(2)若饲养场(矩形ABCD)的面积为180平方米,求边CD的长.
(3)饲养场的面积能达到210平方米吗?
若能达到,求出边CD的长;若不能达到,请说明理由.
25.因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好,深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一.深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间,共接待游客达20万人次,预计在2020年春节长假期间,将接待游客达28.8万人次.
(1)求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率;
(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶,每杯成本价为6元,根据销售经验,在旅游旺季,若每杯定价25元,则平均每天可销售300杯,若每杯价格降低1元,则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间,店家决定进行降价促销活动,则当每杯售价定为多少元时,既能让顾客获得最大优惠,又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额?
26.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从B点出发以每秒1cm的速度向C点运动,同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动,当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动,设运动时间为t(s)
(1)用含t的代数式表示CP、CQ的长,并直接写出t的取值范围;
(2)多长时间后△CPQ的面积为6cm2?
(3)多长时间后P点、Q点的距离为5
?
参考答案
一.选择题(共10小题,每小题3分,共计30分)
1.解:
方程x2+8x﹣3=0,
移项得:
x2+8x=3,
配方得:
x2+8x+16=16+3,即(x+4)2=16+3.
故选:
B.
2.解:
对于一元二次方程a(x﹣1)2+bx﹣b=﹣2即a(x﹣1)2+b(x﹣1)+2=0,
设t=x﹣1,
所以at2+bt+2=0,
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2021,
所以at2+bt+2=0有一个根为t=2021,
则x﹣1=2021,
解得x=2022,
所以一元二次方程a(x﹣1)2+bx﹣b=﹣2必有一根为x=2022.
故选:
D.
3.解:
∵x1,x2是两个不相等实数,且满足x12﹣2x1=1,x22﹣2x2=1,
∴x1,x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个不相等的实数根,
则x1+x2=2,x1x2=﹣1,
∴x12+x22
=(x1+x2)2﹣2x1x2
=22﹣2×(﹣1)
=4+2
=6,
故选:
D.
4.解:
把x=﹣1代入(m+4)x2+2x﹣m2=0得:
(m+4)﹣2﹣m2=0,
解得:
m1=2,m2=﹣1,
故选:
A.
5.解:
当x=1时,a+b+c=0,
当x=﹣2时,4a﹣2b+c=0,
所以方程的根分别为1或﹣2.
故选:
A.
6.解:
x2=﹣x,
x2+x=0,
x(x+1)=0,
∴x=0或x+1=0,
解得:
x1=0,x2=﹣1,
所以A、B、C错误,
故选:
D.
7.解:
①若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的解,
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知:
△=b2﹣4ac≥0,故①正确;
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根,
∴△=0﹣4ac>0,
∴﹣4ac>0
则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4ac>0,
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,故②正确;
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根,
则ac2+bc+c=0,
∴c(ac+b+1)=0,
若c=0,等式仍然成立,
但ac+b+1=0不一定成立,故③不正确;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,
则由求根公式可得:
x0=
,
∴2ax0+b=
,
∴b2﹣4ac=(2ax0+b)2,故④正确.
故正确的有①②④,
故选:
A.
8.解:
(x﹣3)2=4,
x﹣3=±2,
解得x1=5,x2=1.
若x=5,则三角形的三边分别为4,5,6,其周长为4+5+6=15;
若x=1时,6﹣4=2,不能构成三角形,
则此三角形的周长是15.
故选:
C.
9.解:
∵方程(k+3)x2+5x+k2+2k﹣3=0,
∴k﹣3≠0,
∴k≠﹣3.
将x=0代入(k+3)x2+5x+k2+2k﹣3=0,得:
k2+2k﹣3=0,
解得:
k1=﹣3(不合题意,舍去),k2=1,
故选:
B.
10.解:
∵x2﹣6x+k﹣4=0的两个解分别为x1、x2,
∴x1+x2=6,x1x2=k﹣4,
+
=
=
=2,
解得:
k=7,
经检验,k=7符合题意,
故选:
C.
二.填空题(共10小题,每小题3分,共计30分)
11.解:
∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1=0有两个实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×a×1=1﹣4a≥0,
解得:
a≤
,
∴a的取值范围是a≤
且a≠0.
故答案为:
a≤
且a≠0.
12.解:
∵方程x2+5x﹣6=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=﹣5,x1x2=﹣6,
∴|x1﹣x2|2=(x1+x2)2﹣4x1x2=(﹣5)2﹣4×(﹣6)=49,
∴|x1﹣x2|=7,
故答案为:
7.
13.解:
解方程x2﹣11x+30=0得:
x=5或6,
当腰为5时,三角形的三边为5,5,10,5+5=10,此时不符合三角形三边关系定理,不合题意;
当腰为6时,三角形的三边为6,6,10,此时符合三角形三边关系定理,三角形的周长为6+6+10=22,
故答案为:
22.
14.解:
x2﹣2x=2,
x2﹣2x+1=3,
(x﹣1)2=3.
∴n=3.
故答案为:
3.
15.解:
设矩形铁皮的宽为x米,则长为(x+2)米,
依题意得:
(x+2﹣2×2)(x﹣2×2)×2=96,
整理得:
x2﹣6x﹣40=0,
解得:
x1=﹣4(不合题意,舍去),x2=10,
∴(x+2)x=(10+2)×10=120(平方米).
故答案为:
120.
16.解:
∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020=0的两实根,
∴α+β=2021,αβ=2020,
∴(α﹣2021)(β﹣2021)=αβ﹣2021(α+β)+20212
=2020﹣2021×2021+20212
=2020.
故答案为:
2020.
17.解:
当把x=﹣3代入方程ax2+bx+c=0能得出9a﹣3b+c=0,即3a﹣b+
c=0,
即方程一定有一个根为x=﹣3,
故答案是:
﹣3.
18.解:
∴x2﹣5x+6=0,
(x﹣3)(x﹣2)=0,
解得x1=3,x2=2,
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2,
∵斜边长
=
.
故答案为:
.
19.解:
∵y2+2021y=﹣99,
∴99(
)2+2021•
+1=0,
∵99x2+2021x=﹣1,
即99x2+2021x+1=0,
∴实数x、
可看作方程99t2+2021t+1=0的两实数解,
∴x+
=﹣
,x•
=
,
∴原式=x+10•
+
=﹣
+10×
=﹣
.
故答案为﹣
.
20.解:
如图,设修建的小路宽应为x米,
则新的草坪面积等于矩形DEFG的面积,
即得到方程:
(24﹣2x)×(10﹣x)=160,
整理得:
x2﹣22x+40=0,解得x=20或x=2.
但x=20不合题意,舍去,
所以修建的小路宽应为2米.
故答案为:
2.
三.解答题(共6小题,每小题10分,共计60分)
21.解:
(1)∵2(x﹣2)2=x﹣2,
∴2(x﹣2)2﹣(x﹣2)=0,
则(x﹣2)(2x﹣5)=0,
∴x﹣2=0或2x﹣5=0,
解得x1=2,x2=2.5;
(2)∵x2﹣10x+8=0,
∴x2﹣10x=﹣8,
则x2﹣10x+25=﹣8+25,即(x﹣5)2=17,
∴x﹣5=
,
则x1=5+
,x2=5﹣
.
22.解:
(1)根据题意得△=(2m+1)2﹣4m2≥0,
解得m≥﹣
.
所以m的最小整数值为0;
(2)根据题意得x1+x2=﹣(2m+1),x1x2=m2,
∵(x1﹣x2)2+m2=21,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2+m2=21,
∴(2m+1)2﹣4m2+m2=21,
整理得m2+4m﹣20=0,
解得m1=﹣2﹣2
,m2=﹣2+2
,
∵m≥﹣
,
∴m的值为﹣2+2
.
23.解:
(1)△=(2m+4)2﹣4(m2+4m)=16,16>0,
∴此方程总有两个不相等的实数根.
(2)①
﹣4x1x2=(x1+x2)2﹣6x1x2,
∵x1+x2=
=2m+4,x1x2=m2+4m,
∴(x1+x2)2﹣6x1x2=(2m+4)2﹣6(m2+4m)=﹣2m2﹣8m+16=﹣2(m+2)2+24,
∴当m=﹣2时
﹣4x1x2的最大值为24.
②把x=6代入原方程可得m2﹣8m+12=0,
解得m=2或m=6,
当m=2时,原方程化简为x2﹣8x+12=0,
解得x=2或x=6,
三角形三边长为6,6,2时三角形周长为14,
三角形边长为2,2,6时不存在.
当m=6时,原方程化简为x2﹣16x+60,
解得x=6或x=10.
三角形三边长为6,6,10时三角形周长为22,
三角形三边长为10,10,6时,三角形周长为26.
∴等腰三角形周长为14或22或26.
24.解:
(1)BC=45﹣8﹣2×(8﹣1)+1=24(米).
故答案为:
24.
(2)设CD=x(0<x≤15)米,则BC=45﹣x﹣2(x﹣1)+1=(48﹣3x)米,
依题意得:
x(48﹣3x)=180,
整理得:
x2﹣16x+60=0,
解得:
x1=6,x2=10.
当x=6时,48﹣3x=48﹣3×6=30(米),30>27,不合题意,舍去;
当x=10时,48﹣3x=48﹣3×10=18(米),符合题意.
答:
边CD的长为10米.
(3)不能,理由如下:
设CD=y(0<y≤15)米,则BC=45﹣y﹣2(y﹣1)+1=(48﹣3y)米,
依题意得:
y(48﹣3y)=210,
整理得:
y2﹣16y+70=0.
∵△=(﹣16)2﹣4×1×70=256﹣280=﹣24<0,
∴该方程没有实数根,
∴饲养场的面积不能达到210平方米.
25.解:
(1)设年平均增长率为x,由题意得:
20(1+x)2=28.8,
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍).
答:
年平均增长率为20%;
(2)设当每杯售价定为y元时,店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额,由题意得:
(y﹣6)[300+30(25﹣y)]=6300,
整理得:
y2﹣41y+420=0,
解得:
y1=20,y2=21.
∵让顾客获得最大优惠,
∴y=20.
答:
当每杯售价定为20元时,既能让顾客获得最大优惠,又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.
26.解:
(1)CP=BC﹣BP=8﹣t;CQ=t;t的取值范围为:
0<t≤6;
(2)设t秒后△CPQ的面积为6cm2,
根据题意得,
(8﹣t)t=6,
解得:
t=2,t=6,
答:
经过2s或6s时△CPQ的面积为6cm2;
(3)设t秒后P点、Q点的距离为5
,
根据题意得,(8﹣t)2+t2=(5
)2,
解得:
t=1或t=7(不合题意舍去),
答:
设1秒后P点、Q点的距离为5
.
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