第10章稳恒电流的磁场解读.docx
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第10章稳恒电流的磁场解读
大学物理练习册解答
第十章稳恒电流的磁场
1、四条相互平行的无限长直载流导线,电流强度均为I,如图
放置,若正方形每边长为2a,求正方形中心O点的磁感应强度
的大小和方向。
rrrrr解:
B0=B1+B2+B3+B4
无限长载流直导线产生的磁感应强度B=μ0I2πr14
由图中的矢量分析可得
μμ
IIB2+B4=20=02π2aπ2a
μIμIB0=20⋅cos450=0方向水平向左πaπ2a
2、把一根无限长直导线弯成图(a)、(b)所示形状,通以电
流I,分别求出O点的磁感应强度B的大小和方向。
I
(a)(b)
解:
(a)(b)均可看成由两个半无限长载流直导线1、3和圆弧2组成,且磁感应强度在O点的方向相同
(a)B0=μ0IμIμI3πμI=0(8+3π)方向垂直纸面向外。
+0+0⋅4πR4πR4πR416πR
rr(b)由于O点在电流1、3的延长线上,所以B1=B3=0
B0=B2=
18μ0I3π3μ0I⋅=4πR28R方向垂直纸面向外。
大学物理练习册解答
3、真空中有一边长为l的正三角形导体框架,另有互相平行并与三角形的bc边平行的长直导线1和2分别在a点和b点与三角形导体框架相连(如图)。
已知直导线中的电流为I,求正三角形中心点O处的磁感应强度B。
解:
三角形高为.h=l
sin600=l
4它在μI
dBx=dBsinθ=0sinθdθ2
2πR
dBy=−dBcosθ=−
μ0I2πR
μ0I2π2R
cosθdθ
μ0IπR
π
Bx=∫dBx=∫0
sinθdθ=
π
By=∫dBy=∫0−
μ0I2π2R
=
cosθdθ=0
∴BP=Bx=
μ0IπR
4π×10−7×5.0π×1.0×10
−2
=6.37×10−5(T)
方向为x轴正方向。
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大学物理练习册解答
μ0Ia+bμ0IdxB=∫a=ln104πa(a+b−x)4πaa同理B2=B1方向−z
2+B2Bp=B12=2B1=μ0dIμ0IdxdB1==4π(a+b−x)4πa(a+b−x)方向−y2μ0Ia+bln4πaa方向yz平面内与y方向成2250角。
rμ0Ia+bˆ)或B=(−ˆj−klna4πaω6、如图所示,均匀带电刚性细杆AB,电荷线密度为λ,绕通过O点垂直于纸平面的轴以ω角速度匀速转动,(O点在细
杆AB延长线上),求O点的磁感应强度。
rrμ0qvˆ×r解:
方法一:
运动电荷的叠加,根据公式B=24πr
μdqvμλdrrωdB0=0
2=0
24πr4πr
a+bB0=∫aμ0λωμλωa+bdr=0ln4πr4πa
ωλdr2π方法二:
等效载流圆环在圆心的叠加,等效电流dI=
dB0=μ0dIμ0ωλdr=2r4πr
μ0ωλμωλa+bdr=0ln4πr4πaa+bB0=∫a
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大学物理练习册解答
7、一塑料圆盘,半径为R,可通过中心垂直于盘面的轴转动,设角速度为ω,
(1)当有电量为+q的电荷均匀分布于圆盘表面时,求圆盘中心O点的磁感应强度B;
(2)此时圆盘的磁距;
(3)若圆盘表面一半带电+q/2,另一半带电-q/2,求此时O点的磁感应强度B。
q
,取半径为r、宽解:
(1)盘的电荷密度为
σ=
B
(2(3
8、I1=I2
(1)I2
(2)解(2πx2π(d−x)
(2)取面积元dS=ldx
rrμ0I2μIdΦ=B⋅dS=BdS=[01+ldx
2πx2π(d−x)
r+r2
Φ=∫dΦ=∫r11
μ0I1μ0I2μIlr+rμIld−r1r+r
ldx+∫r112ldx=01ln12+02ln2πx2π(d−x)d−r1−r2r12π2π
−6
=
μ0I1ld−r1
=2.2×10ln
πr1
韦伯
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大学物理练习册解答
9、一根很长的铜线均匀通以电流I=10A,在导线内部作一平面,如图所示。
求通过平面S单位长度上的磁通量。
解:
由安培环路定律可求得圆柱内任意一点的BvvB⋅dl=μ0∑I
B2πr=μ
B=μ0
2π0IπR2⋅πr2IrR2
在距圆柱轴线为r与r+dr处取一面积元dS,通量为rrdΦ=B⋅dS=BdS
10、一根很长的同轴电缆,由一导体圆柱(半径为R1)和同一轴的导体圆管(内、外半径分别为R2和R3)构成,使用时使电流I从导体圆柱流出,从导体圆管流回。
设电流都是均匀地分布在导体的横截面上,求磁感应强度的分布。
解:
由于电流分布具有轴对称性,可用安培环路定律求解
Iπr2μ0Ir2μ0Irr μ0IR r2−R2 2R2 rrr>R3B4)⋅dl=μ0∑I=μ0(I−I)=0μ0IR32−r2B3=(22πrR3−R22B4=0 22 大学物理练习册解答 11、一无限大均匀载流平面置于外场中,左侧磁感应强 度量值为B1,右侧磁感应强度量值为3B1,方向如图所 示。 试求: yB13B1 (1)载流平面上的面电流密度i; (2)外场的磁感应强度B。 解: B1=B0−μ0i 3B1=B0+iμ02 2B1 μ0→122B1=μ0i⇒i= 1B1=B0−μ0i=B0−B1⇒B0=2B12 12设电视显像管射出的电子束沿水平方向由南向北运动,电子能量为12000eV,地球磁场的垂直分量向下,大小为B=5.5×10-5Wb/m2,问: (1)电子束将偏向什么方向? (2)电子的加速度为多少? (3)电子束在显象管内在南北方向上通过20cm时将偏转多远? 解: (1)由洛仑兹力的方向判断电子束向东偏转 (2)由电子的动能可求其速度 V=2E=m2×12000×1.6×10−19=6.48×107m−319.11×10 电子在磁场中受洛仑兹力的作用而作圆周运动,向心加速度为 FBeV5.5×10−5×1.6×10−19×6.48×107 2an====6.2×1014ms−31mm9.11×10 (3)电子运动的轨迹为圆,半径为R 由图可知当电子在南北方向前进y时,它将偏转Δx mV9.11×10−31×6.48×107R===6.4(m)−19−3eB1.6×10×5.5×10Δx=R−R2−y2=6.4−(6.4)2−(0.2)2=2.98mm23 大学物理练习册解答 13、无限长直导线通过电流I1,在其旁边放一导线AB,长为l,与I1共面并相互垂直,通以电流I2,试求: (1)AB导线受到的力的大小与方向; (2)当棒A端固定,则导线AB对A点的磁力距等于多少? 解: (1)在I2上取I2dx,其受力方向垂直AB向上dF=I2dxB1=μ0I1I2dx2πx,I1B (2)I2dx受到的磁力矩为F=∫dF=∫dd+lμIId+lμ0I1I2dx=012lnd2π2πxμ0I1I2dx2πxdM=(x−d)dF=(x−d) M=∫dM=∫d(x−d)l+d 14、有一无限长载流直导线,通以电流I1。 另有一半径为R的圆形电流I2,其直径AB与电流I1重合,在相交处绝缘,求: (1)半圆ACB受力大小和方向 (2)整个圆形电流I2所受合力大小和方向(3)线圈所受磁力矩。 解: (1)在半圆上取一圆弧dl,受力为πμ0I1dF=I2dlB1sin=I2dl22πx=μIId+lμ0I1I2dx=0121−dlnd2π2πx μ0I1I2μII⋅Rdθ=012dθ2πRsinθ2πsinθdFx=dFsinθ=dFy=dFcosθ πμ0I1I2μIIdθsinθ=012dθ2πsinθ2πθ由于对称性分析∫dFy=0所以FACB=∫dFx=∫0μ0I1I21dθ=μ0I1I222π方向沿x轴的正方向。 (2)同理可求BDA半圆受力 24FBDA=1μ0I1I22方向沿x正方向。 F=FACB+FBDA=2Fx=μ0I1I2 大学物理练习册解答 (3)dMm=xdFy由对称性分析可知M=0 15、氢原子中,电子绕原子核沿半径为r的圆作圆周运动,它等效于一个圆形电流,如果外加一个磁感应强度为B的磁场,其磁力线与轨道平面平行,那么这个圆电流所受的磁力矩的大小为多少? (设电子质量为me,电子电量的绝对值为e)。 解: 电子绕核运动mv2e2e2 er=4πε2⇒v= 0r4πε0rme 等效电流I=eeev T=2πr=2πr v Mr=rP×Br⇒M=P2e2Br mB=IπrB=4πε 0me 16、水平桌面上放置一个绕有N匝的圆线圈,其半径为R, 质量为m,通有电流I,由上往下看,电流为顺时针方向。 若已知该处地磁场的磁感应强度为B,其方向为向北且偏向 下,与水平方向成一倾角θ(如图所示)。 问当电流I超过多 大时,线圈可从桌面上翘起? 翘起的是哪一侧? 解: 通电线圈受到的磁力矩 M=P⎛π⎞2 mBsin⎜⎝2−θ⎟⎠=NIπRcosθB 此力矩使线圈绕A点转动 线圈对A点的重力矩M'=mgR 线圈能翘起,应满足M≥M' 所以Img min=BNπRcosθ 25 大学物理练习册解答 17、边长为l=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T的 均匀磁场中,如图所示。 使线圈通以电流I=10A,求: (1)每边所受的力 (2)磁力矩大小 (3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功。 rrr解: (1)根据安培力公式dF=Idl×B ac: Fac=IlBsin60=10×0.1×1×0.866=0.866(N) 方向垂直纸面向外 ba: Fba=IlBsin600=0.866(N)方向垂直纸面向里 0cb: Fcb=IlBsinπ=0 rrrrr1 (2)M=P×BM=ISBsin(n,B)=10××0.1×0.1×0−222 0(3)A=IΔΦ=I(Φ−Φ0)=I(BScos0−BScos)=IBl⋅lsin221−2=10×1××0.1×0.1×0.866=4.33×10(J)π12 18、总匝数为N的均匀密绕平面螺旋线圈,半径由r绕至R, 通有电流I,放在磁感应强度为B的均匀磁场中,磁场方向 与线圈平面平行,如图所示。 试求: (1)平面线圈的磁矩; (2)线圈在该位置所受到的磁力矩; (3)线圈在磁力矩作用下转到平衡位置过程中,磁力矩所做的功。 解: (1)在距中心距离ρ处,取宽度为dρ的细圆环线圈的匝数dN= 其磁矩为dPm=IdNπρ2=NIπρ2dρR−r RNdρR−r 整个线圈的磁矩Pm=∫dPm=∫N1Iπρ2dρ=NIπ(R2+Rr+r2)rR−r3 022 (2)磁力矩M=PmBsin90=NIπB(R+Rr+r)13 (3)任何位置的磁力矩M=PmBsinϕ26 大学物理练习册解答A=∫Mdθ=∫PmBsin⎜ 00π2π21⎛π⎞−θ⎟dθ=πNIBR2+Rr+r23⎝2⎠() 27
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