第6章 习题解答.docx
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第6章习题解答
第6章习题解答
第六章习题解答(部分) [1]数字滤波器经常以图P6-1描述的方式来处理限带模拟信号,在理想情况下,通过A/D变换把模拟信号转变为序列x(n)?
xa(nT),然后经数字滤波器滤波,再D/A变换将y(n)变换成限带波形ya(n),即有 ?
π?
sin?
(t?
nT)?
T?
ya(t)?
y(n)?
πn?
?
?
(t?
nT)T?
?
这样整个系统可等效成一个线性时不变模拟系统。
如果系统h(n)的截止角频率是?
/8rad,T?
,等效模拟滤波器的截止频率是多少?
设T?
5?
s,截止频率又是多少?
解:
对采样数字系统,数字频率?
与模拟角频率?
之间满足线性关系?
?
?
T。
因此, ?
c1?
?
625Hz T8T2?
16T?
?
?
1当T?
5?
s时,?
c?
c?
,fc?
c?
?
12500Hz 2?
16TT8T当T?
时,?
c?
?
c?
?
,fc?
[2]已知模拟滤波器的系统函数为Ha(s)?
b,试用冲激响应不变法将Ha(s)转换为 ?
s?
a?
2?
b2H(z)。
其中抽样周期为T,式中a、b为常数,且Ha(s)因果稳定。
解:
Ha(s)的极点为:
s1?
?
a?
jb,s1?
?
a?
jb 11j?
j22将Ha(s)部分分式展开:
Ha(s)?
?
s?
(?
a?
jb)s?
(?
a?
jb)所以有 H(z)?
通分并化简整理得:
1j21?
e(?
a?
jb)T?
z?
1?
1j21?
e(?
a?
jb)Tz?
1 z?
1e?
?
TsinbT H(z)?
1?
2z?
1e?
?
TcosbT?
z?
2e?
2?
T[3]设计一个模拟带通滤波器,要求其幅度特性为单调下降,通带带宽 B?
2?
?
200rad/s,?
s1?
2?
?
800rad/s,中心频率?
0?
2?
?
100rad/s,通带最大衰减?
p?
2dB, 99 ?
s2?
2?
?
1240rad/s,阻带最小衰减?
s?
15dB。
解:
归一化原型低通滤波器与带通滤波器之间的频率变换关系为:
2?
2?
?
0?
?
?
?
B?
0?
?
p1?
p2?
2?
?
100rad/s,B?
2?
?
200rad/s,?
p?
2dB?
s1?
2?
?
800rad/s,?
s2?
2?
?
1240rad/s,?
s?
15dB 因此,归一化原型低通滤波器的通带频率?
p取1,通带处最小衰减为2dB。
同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为:
2?
2?
?
0?
s1?
?
B2?
2?
?
0?
,?
s2?
?
B?
?
?
?
s2?
?
?
s1因此,归一化原型低通滤波器的阻带频率?
s?
min(?
s1,?
s2)?
,这是因为取较小的频率值,则较大的频率处一定满足衰减要求,阻带处最大衰减为15dB。
利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器H(s)利用归一化原型低通滤波器的指标,得巴特沃斯低通滤波器阶数N ?
?
1?
lg?
?
?
1?
?
?
?
?
N?
?
1?
2lg?
?
?
?
取N?
2,查表的归一化巴特沃斯原型低通滤波器的系统函数 HLP(s)?
1 s2?
?
1归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器 2HBP(s)?
HLP(s)s?
s2?
?
0s?
Bs2B2?
2222222(s?
?
0)?
(s?
?
0)sB?
sB[4]设计数字低通滤波器,要求幅频特性单调下降。
3dB截止频率?
p?
?
c?
?
/3rad,阻带截止频率?
s?
4?
/5rad,阻带最小衰减?
s?
15dB,采样频率fs?
30kHz,分别用冲激响应不变法和双线性变换法设计。
解:
用冲激响应不变法①确定数字滤波器指标 ?
p?
?
/3rad,?
p?
3dB?
s?
4?
/5rad,?
s?
15dB 100 ②将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标。
因为在冲激响应不变法中,?
?
?
T,所以, ?
P?
?
PT?
?
?
3?
30?
103?
10000?
rad/s,?
p?
3dB ?
s?
?
sT4?
?
30?
103?
24000?
rad/s,?
s?
15dB5③求模拟滤波器的系统函数Ha(s)。
(a)计算阶数N,采用Butterworth低通滤波器,根据设计指标,得 lg[(?
P?
1)/(?
s?
1)] N?
?
2lg(?
p/?
s)取N?
2。
(b)查表得到2阶巴特沃斯归一化低通原型:
1 HLP(s)?
2 s?
2s?
1(c)频率变换,归一化低通原型转换为实际的低通滤波器 Ha(s)?
HLP(s)s?
s?
P?
?
2ps2?
2?
ps?
?
2p ?
108?
2s?
10?
2s?
10?
2482④将Ha(s)转换成H1(z),可以调用MATLABimpinvar函数直接求出,这样不用求极点以及部分分式展开。
?
1 H1(z)?
?
1?
21?
?
用双线性变换法设计①确定数字滤波器指标 ?
p?
?
/3rad,?
p?
3dB?
s?
4?
/5rad,?
s?
15dB ②满足要求的模拟低通滤波器的指标 ?
2?
?
P?
tanp?
6?
104tan?
34641rad/s T26?
s?
2?
2?
tans?
6?
104tan?
?
104rad/sT25③求模拟滤波器的系统函数Ha(s) (a)计算阶数N,采用Butterworth低通滤波器,根据设计指标,得 101 lg[(?
P?
1)/(?
s?
1)] N?
?
2lg(?
P/?
s)取N?
2。
(b)查表得到2阶巴特沃斯归一化低通原型:
1 HLP(s)?
2 s?
2s?
1(c)频率变换,归一化低通原型转换为实际的低通滤波器 Ha(s)?
HLP(s)s?
s?
?
108?
2?
248s?
?
10s?
?
10s?
2?
ps?
?
2p?
2p④用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z) H(z)?
Ha(s)s?
21?
z?
1T1?
z?
?
?
1?
?
2?
?
1?
21?
?
[5]设模拟滤波器的系统函数为
(1)Ha(s)?
11
(2)H(s)?
a22s?
5s?
6s?
s?
1试用冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器。
解:
Ha(s)?
111?
?
2s?
5s?
6s?
2s?
?
1?
1?
esiTz?
11?
?
1?
?
2设T?
1,用冲激响应不变法设计,则有 H(z)?
T?
i?
1N设T?
2,用双线性变换法设计,则有 ?
?
1?
?
2 H(z)?
Ha(s)|21?
z?
1?
?
1?
2s?
1?
?
?
1T1?
zHa(s)?
1s?
?
?
?
s2?
s?
1s?
?
?
?
设T?
2,用冲激响应不变法设计,则有 H(z)?
T?
i?
?
1?
1?
esiTz?
11?
?
1?
?
2设T?
2,用双线性变换法设计,则有 H(z)?
Ha(s)s?
21?
z?
1T1?
z?
111?
2z?
1?
z?
2?
2?
?
2?
11?
zs?
s?
1s?
3?
z1?
z?
?
?
1s?
?
2 ?
1?
?
2[6]如果用ha(t)、ua(t)和Ha(s)分别表示一个时域连续线性时不变系统的单位冲激响应、单位阶 102 跃响应和系统函数,用h(n)、s(n)和H(z)分别表示一个时域离散LTI系统的单位冲激响应、单位阶跃响应和系统函数,那么,
(1)若h(n)?
ha(nT),则s(n)?
k?
?
?
?
h(kT)是否成立?
a?
(2)若s(n)?
ua(nT),则h(n)?
ha(nT)是否成立?
解:
于u(n)?
u(n)?
?
(n)?
阶跃响应s(n)为:
?
?
(n?
m),根据线性非移变系统的可加性可以得出系统的 m?
0?
s(n)?
k?
?
?
?
h(k) ?
h(kT) a?
?
如果h(n)?
ha(nT),则有s(n)?
k?
?
?
因为?
(n)?
u(n)?
u(n?
1) 同样根据叠加原理可以得出该系统的单位取样响应h(n)为 h(n)?
s(n)?
s(n?
1)如果s(n)?
ua(nT),则 h(n)?
ua(nT)?
ua(nT?
T)?
ha(nT) [7]用冲激响应不变法设计的数字滤波器在时域模仿了模拟滤波器的ha(t)的特性。
在实际工作中,有时需要数字滤波器模仿模拟滤波器的单位阶跃响应波形。
试推导单位阶跃响应不变法的设计公式,并讨论该设计是否保持模拟滤波器的稳定性。
解:
阶跃响应不变法是使数字滤波器的阶跃响应g(n)模仿模拟滤波器的阶跃响应ga(t),即将模拟滤波器的阶跃响应加以等间隔的抽样,使g(n)正好等于ga(t)的抽样值,满足 g(n)?
ga(t)t?
nT?
ga(nT),其中T是抽样周期。
设数字滤波器的系统函数为H(z),如果其输入端作用于一个阶跃函数u(n),则其输出端为阶跃响应g(n),因而满足:
g(n)?
u(n)?
h(n)将此式两端取z变换可得:
G(z)?
所以 zH(z)z?
1z?
1G(z)zH(z)?
103
H(z)?
n?
?
?
?
?
1z?
1,则若e?
h(n)z?
?
n?
?
en?
0?
?
?
n?
?
(e?
?
1)n n?
0?
H(z)?
11?
e?
?
1 ?
若存在H(z),则该系统只有一个极点,且其值为zp?
e?
,因为T?
0,e永远小于1,也 就是说该系统的极点在单位圆内,则此系统无论T取何值时,总是一个稳定系统。
该数字滤波器近似为低通滤波器。
且T越小,滤波器频率混叠越小,滤波特性越好。
反之,T越大,极点zp?
e?
离单位圆越远,?
?
?
附近衰减越小,而且频率混叠越严重,使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。
[15]假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器,又知H(z)?
Ha(s)s?
z?
1,数字滤波器H(z)的 z?
1通带中心位于下面那种情况?
并说明原因。
(1)?
?
0
(2)?
?
?
(3)除0或?
以外的某一频率 解:
只要找出对应于?
?
0的数字频率即可。
s?
z?
1s?
1,以z?
ej?
,s?
j?
代入该式得:
?
z?
z?
1s?
1j?
?
1ej?
?
j?
?
1因此,频率点的对应关系为 s平面 z平面?
?
0 ?
?
?
?
?
?
?
?
0 即将模拟低通中心频率?
?
0映射到?
?
?
处,所以是高通。
[16]设计低通数字滤波器,要求通带内频率低于?
rad时,允许幅度误差在1dB之内;频率在 ?
到?
之间的阻带衰减大于10dB。
试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计,用脉冲响应不变法 进行转换,采样间隔T?
1ms。
解:
(1)根据题意,数字滤波器的性能指标为:
通带频率?
p?
?
rad,通带最小衰减?
p?
1dB。
阻带频率?
s?
?
rad,阻带最大衰减?
s?
10dB。
模拟低通滤波器的性能指标为 通带频率?
p?
?
p/T?
200?
rad/s,通带最小衰减?
p?
1dB。
阻带频率?
p?
?
p/T?
300?
rad/s,阻带最大衰减?
s?
10dB。
用巴特沃斯滤波器设计法求模拟滤波器的系统函数 109 先求滤波器的阶数N及3dB截止频率?
c,巴特沃斯滤波器的阶数:
?
?
p?
1?
N?
lg?
?
s?
10?
1?
?
将性能指标代入可求得N?
,取整数N?
5。
根据阶数N?
5,查表得到归一化系统函数为:
Han(s)?
?
?
?
2lg10?
p?
?
?
s?
15432s?
?
?
?
?
1我们希望阻带指标刚好,让通带指标留有富裕量,求得3dB截止频率?
c。
?
c?
?
s(?
s?
1)?
12N?
300?
(10?
1)1?
10?
(rad/s) 将s?
s/?
c代入Han(s)到中,得到实际的模拟滤波器的系统函数 Ha(s)?
Han(s)s?
s/?
c(4)将Ha(s)展开成部分分式然后利用冲激响应不变法式得到H(z) ?
1?
?
2?
?
3?
?
4H(z)?
1?
?
1?
?
2?
?
3?
?
4?
?
5[17]要求同题16一样,试采用双线性变换法设计数字低通滤波器。
解:
(1)先做预畸变 模拟低通的技术指标为 2tan(?
p/2)?
/s,通带最小衰减?
p?
1dB;T2阻带频率?
s?
tan(?
s/2)?
/s,阻带最大衰减?
s?
10dB。
T通带频率?
p?
用巴特沃斯滤波器设计法求模拟滤波器的系统函数 先求滤波器的阶数N及3dB截止频率?
c,巴特沃斯滤波器的阶数:
?
?
p?
1?
N?
log10?
?
s?
10?
1?
?
将性能指标代入可求得N?
4。
根据阶数N?
4,查表得到归一化传输函数为:
?
?
?
2log10?
p?
?
?
s?
Han(s)?
1 s4?
?
?
?
1 去归一化,求出Ha(s) 我们希望阻带指标刚好,让通带指标留有富裕量,求得3dB截止频率?
c。
110 ?
c?
?
p(?
p?
1)?
12N?
?
(10?
1)?
(rad/s) ?
18Ha(s)?
Han(s)s?
s/?
c4?
c?
4224s?
?
cs3?
?
cs?
?
3s?
?
cc利用双线性变换法得到 ?
?
1?
?
2?
?
3?
?
4H(z)?
?
1?
2?
3?
41?
?
?
?
[18]设计一个数字高通滤波器,要求通带截止频率?
p?
?
rad,通带衰减不大于3dB,阻带截止频率?
s?
?
rad,阻带衰减不小于18dB。
希望采用巴特沃斯型滤波器。
解:
数字高通滤波器的性能指标如下 ?
p?
3dB,?
p?
?
rad?
s?
18dB,?
s?
?
rad 模拟高通滤波器的性能指标如下:
令T?
1,则有 ?
p?
22tan(?
p/2)?
/s,?
s?
tan(?
s/2)?
2rad/sTT?
p?
s归一化模拟低通滤波器的技术指标如下:
?
p?
1,?
s?
设计归一化模拟低通滤波器Han(s)模拟滤波器的阶数N计算如下:
?
lg[(?
P?
1)/(?
s?
1)]lg[(?
1)/(?
1)]N?
?
?
2lg(?
p/?
s)2lg(1/)取N?
2,查表得归一化的模拟低通传递函数Han(s):
Han(s)?
去归一化,将s?
1s?
2s?
12 ?
c?
p?
带入上式得到实际高通滤波器的系统函数Ha(s)ssHa(s)?
Ha(s)s?
?
css2s2?
2?
22s?
2?
cs?
?
cs?
?
用双线性变换将模拟高通滤波器Ha(s)转换成数字高通H(z) 111 H(z)?
Ha(s)s?
21?
z?
11?
z?
?
?
1?
?
2?
?
1?
21?
?
[19]设计一个数字带通滤波器,通带范围为?
rad到?
rad,通带内最大衰减为3dB, ?
rad以下和?
rad以上为阻带,阻带内最小衰减为15dB,采用巴特沃斯模拟低通滤波器。
解:
确定数字带通滤波器的性能指标:
?
p1?
?
,?
p2?
?
,?
p?
3dB?
s1?
?
,?
s2?
?
,?
s?
15dB 将数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。
设T?
1 ?
p1?
2tan?
p12,?
p2?
2tan,?
s1?
2tan?
p22,?
p?
3dB ?
s1?
2tan?
s12?
s12,?
s?
15dB ?
0?
?
p1?
p2,B?
?
p2?
?
p1 利用频率变换关系,求出归一化原型低通滤波器的性能指标对应于带通滤波器,归一化原型低通滤波器的相应通带频率分别为:
2?
2?
?
0?
p1?
?
B?
?
?
?
p1?
p1?
?
p1?
p2?
p1(?
p2?
?
p1)2?
?
1 ?
p22?
2?
?
0?
?
B?
?
?
?
p2?
p2?
?
p1?
p2?
p2(?
p2?
?
p1)2?
1 因此,取归一化原型低通滤波器的通带频率?
p为1,通带处最但衰减为3dB。
同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为:
?
s1?
?
?
?
?
B220?
?
?
s1?
?
2s1?
?
p1?
p2tan2?
tan?
s12?
tan?
p12tan?
p1?
p122) ?
s1(?
p2?
?
p1)?
s122tan2(π/2)-tan(π/2)tan(π/2)?
?
?
(π/2)(tan(π/2)?
tan(π/2))2?
2?
?
0?
s2?
?
B(tan?
p2?
tan?
?
?
?
s2因此,取归一化原型低通滤波器的阻带频率?
s?
min(?
s1,?
s2)?
,这是因为取较小的频率值,则较大的频率处一定满足衰减要求,阻带处最小衰减为15dB。
利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器H(s)。
求得巴特沃斯低通滤波器阶数N,即:
112 lg[(?
1)/(?
1)]N?
?
2lg(1/)因此,取N?
3,截止频率(在3dB处)?
c就是通带频率的值,即?
c?
?
p?
1。
查表可得N?
3的归一化巴特沃斯原型低通的滤波器的系统函数HLP(s):
HLP(s)?
?
1s?
2s?
2s?
132 归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器。
将平面变换关系代入上式得到实际模拟带通滤波器的系统函数 HBP(s)?
HLP(s)s?
s2?
?
02?
sB1?
s?
?
?
?
s?
?
?
s?
?
?
2?
2?
1?
?
?
?
sBsBsB?
?
?
?
22032202220 实际模拟带通滤波器的数字化。
利用双线性变换式代入HBP(s)得数字滤波器的系统函数,即:
H(z)?
HBR(s)s?
c1?
z?
11?
z?
?
?
2?
?
4?
?
6?
1?
?
1?
?
2?
?
3?
?
4?
?
5?
?
6[20]如图6P-2所示的系统。
(1)写出该系统的系统函数H(z),画出系统的幅频特性,并问这一系统是哪一种通带滤波器?
(2)在上述系统中,用下列差分方程表示的网络代替它的z?
1延时单元 y(n)?
x(n?
2)?
?
[x(n?
1)?
y(n?
1)] 试问变换后的数字网络是那一种通带滤波器。
?
是常数。
解:
根据系统结构图可得系统的传递函数为:
1?
z?
1H1(z)?
1?
?
1系统的频率特性如图1所示,图可知,该系统是一个高通滤波器。
113
40Magnitude(dB)Frequency(?
?
rad/sample)(degrees)Frequency(?
?
rad/sample) 图1 习题20系统的幅频和相频特性曲线图
(2)因为给出的差分方程为:
y(n)?
x(n?
2)?
?
[x(n?
1)?
y(n?
1)] Y(z)z?
2?
az?
1?
故R(z)?
,将R(z)代入H1(z),X(z)1?
az?
1 H2(z)?
H1(z)z?
1?
z?
2?
az?
11?
az?
1z?
2?
az?
11?
?
11?
z?
21?
az?
?
z?
2?
az?
11?
?
1?
?
21?
?
az?
1H2(z)的两个零点为?
?
1,因此,为了使系统因果稳定,两个极点必位于单位圆内。
系统的频率响应为 H2(e)?
H2(z)z?
ej?
因此,当?
?
0,?
时, j?
1?
e?
j2?
?
1?
?
j?
?
?
j2?
H2(ej?
)?
0 所以,变换后的数字网络是带通滤波器。
[21]需设计一个数字巴特沃斯高通滤波器,给定指标为
(1)衰减?
s?
30dB,当f?
3kHz
(2)波纹?
p?
3dB,当f?
5kHz(3)抽样频率fc?
20kHz 试用双线性变换法进行设计,最后写出H(z)的表达式,并画出系统的幅度响应特性。
解:
将数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。
于采用双线性变换法,则频率要进行预畸变。
2?
?
5?
103fs2?
?
3?
103?
p?
2?
?
?
?
,?
s?
2?
?
?
?
fc20?
103fc20?
103 114 fp预畸变后的高通滤波器的通带频率和阻带频率分别为:
?
p?
ctan?
p2,?
s?
ctan?
s2
(2)利用频率变换关系,可求出归一化原型低通滤波器的通带频率和阻带频率分别为 ?
p?
1,?
s?
?
p?
sctan?
ctan?
p?
s22?
通带处最小衰减为3dB,阻带处最大衰减为30dB。
(3)利用巴特沃斯滤波器设计方法,设计原型归一化低通滤波器HLP(s)。
求得巴特沃斯低通滤波器的阶次N,即:
lg[(?
1)/(103?
1)]N?
?
2lg(1/)因此,取N?
6,截止频率(在3dB处)?
c?
?
p?
1。
归一化原型低通的滤波器的系统函数HLP(s) HLP(s)?
165432s?
?
?
?
?
?
1求得实际高通滤波器的系统函数 HHP(s)?
HLP(s)s?
?
pHHP(s)?
HLP(s)s?
?
p ss(4)利用?
p?
ctan?
p2,求得数字滤波器的系统函数H(z)为 H(z)?
HHP(s)s?
c1?
z?
11?
z?
?
?
1?
?
2?
?
3?
?
4?
?
5?
?
6?
1?
?
1?
?
2?
?
3?
?
4?
?
5?
?
6系统的频率响应特性如图2所示。
0Magnitude(dB) -Frequency(?
?
rad/sample)(degrees)Frequency(?
?
rad/sample) 图2 习题21系统频率响应图 115
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