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英雄时代十八世纪的数学
第十二章:
英雄时代-十八世纪的数学
第一节数学分析
一、微积分
18世纪数学的核心是以微积分为主的数学分析,这一世纪的中心人物是欧拉.牛顿、莱布尼茨创造了微积分,而欧拉则使这一数学领域充满了光辉灿烂的景色.拉普拉斯(P.S.Laplace)的话道出了当时的状况:
“读读欧拉,读读欧拉(指其著作),他是我们大家的老师.”这一评价甚至在今天也不过分.
欧拉于1707年4月15日诞生于瑞士巴塞尔.小时由父亲任启蒙教师,12岁入当地中学,16岁毕业后遵从父愿,入巴塞尔大学神学系学习.在神学课程之余,他被约翰·贝努利(JohannBernoulli)的数学讲座深深吸引了,在贝努利兄弟的影响下,数学逐渐挤走了神学,占据了他的学习日程表,而且贝努利也开始对他刮目相看,热情地指点他.欧拉回忆约翰·贝努利时曾深情地说,贝努利让他每星期六下午到晚上自由地去他的住处,他让欧拉每解决一个问题,欧拉就能很顺利地解决10个问题.的确,在贝努利兄弟的指导下,欧拉已经具备了优秀数学家的素质,并开始从事数学研究.18岁时他就发表了数学论文.
1726年,年仅19岁的欧拉由于在船的立桅方面的研究论文而获得巴黎科学院的奖金,从而在欧洲数学界崭露头角.这一年他正好大学毕业.在瑞士,年轻的欧拉未能获得自己所谋求的职位,恰巧这时约翰·贝努利在俄国彼得堡科学院任教授的儿子尼古拉·贝努利(NicolausBernoulli)和丹尼尔·贝努利(DanielBernoulli)来信说,俄国欢迎欧拉.1727年5月17日欧拉来到彼得堡科学院任丹尼尔·贝努利的副手,1731年被任命为副教授,1733年他接替丹尼尔·贝努利担任彼得堡科学院的数学教授.他为俄国的数学发展、科学进步做了大量的工作,他的许多成果出现在彼得堡科学院的刊物上,帮助俄国政府解决了大量的物理学、工程学方面的难题.过度的案头工作使得这位数学大师得了眼病,不幸于1735年右眼失明,这一年他还只有28岁.
1741年,欧拉应腓特烈大帝之邀担任柏林科学院物理数学研究所所长.除此之外,他还在宫廷为公主们讲授数学、物理、天文、哲学乃至宗教方面课程.讲述的内容曾以《给一位德国公主的信》,(LetterstoaGermanPrincess)发表,是一部风趣、文笔优雅的科普作品.他为普鲁士研究了保险、河运等方面的一系列问题.
1766年,俄国沙皇诚挚的邀请终于使欧拉又回到了彼得堡科学院.实际上,他时刻也没忘记俄国.在1741—1766年的25年时间里,身在柏林的欧拉,却仍为彼得堡科学院写了上百篇论文,时刻关注着俄国的事务.的确,俄国、彼得堡科学院是他的第二故乡,是他施展聪明才智的地方.俄国人民也深深地热爱他,以致于俄国数学史家差不多总是将欧拉当作俄国数学家、俄国数学的创始人和彼得堡数学学派的奠基人.
回到俄国后不久,严寒的气候对欧拉微弱的视力如雪上加霜,很快左眼视力衰退,最后于1766年底双目失明.这对于一位以案头工作为主的数学家的打击可想而知.此时他已59岁,年近花甲.然而,在他生命的最后17年,尽管双目失明,在全盲中他的成果却丝毫不减往年.1771年,圣彼得堡突起大火,殃及他的住宅,双目失明而又身染疾病的欧拉被围困在大火中.虽然一位工人冒着生命危险将这位大师从大火中抢救了出来,然而他的书库、大量研究成果却全部化为灰烬.
沉重的打击,并没有使天性乐观的欧拉屈服,而是更加勤奋的工作.他以惊人的毅力与黑暗作斗争,以超常的记忆力和心算从事数学研究.人们发现,对不少有才能的数学家在纸上做起来也很困难的数学证明与计算,他却能心算出来!
在数学史上,欧拉与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为四位最伟大的数学家.而欧拉又是数学史上成果最多、数学著作最多的数学家.研究的数学领域遍历微积分、微分方程、解析几何与微分几何、数论、级数与变分法,他还是卓越的理论物理学家,通过将数学应用到整个物理学领域,创立了分析力学及刚体力学学科.他写了数学分析、解析几何与微分几何、代数、变分法、力学方面的许多课本,并且在百余年的时间里被用作标准教材.除课本外,从20岁开始,他以每年约800页左右的速度发表高质量的研究性论文,论文所获得的奖金成了他的生活收入主要来源.双目失明后,他还写了好几本书和400余篇研究论文.欧拉全集达厚厚的74卷.
今天,我们几乎可以在数学的任何分支中看到欧拉的名字:
初等几何中的欧拉线,立体几何中的欧拉定理,解析几何中的欧拉变换,方程中的欧拉解法,微积分中的欧拉积分,数论中的欧拉函数,微分方程中的欧拉方程,级数论中的欧拉常数,以及欧拉线、众多的欧拉方程、欧拉公式……,令人目不暇接.
然而,欧拉并不像牛顿、莱布尼茨那样终身一人.大量的数学、科学创造并未牺牲他所有的天伦之乐.他是一位称职的丈夫,13个孩子喜爱的父亲.与妻子一同安排家务,给孩子们做科学游戏,一起念诵《圣经》,在黄昏的林荫道上留下了幸福家庭的串串脚印.欧拉爱好思考哲学问题,曾数次与启蒙思想家伏尔泰(F.M.A.Voltaire)切磋,甚至欣赏伏尔泰对他的哲学观点的尖锐批评.可见其生性是多么豁达乐观.1783年9月18日傍晚,为庆祝计算气球上升定律的成功,他请朋友们吃饭,席间他兴致勃勃地讲述了计算要领,然后喝茶、逗孙子玩,突然疾病发作,烟斗落地,口中喃喃:
“我死了.”于是“他停止了计算,也停止了生命”.
在欧拉的时代,随着微积分的发展,函数概念显得越来越重要了.18世纪时占主导地位的函数概念是,函数是由一个解析表达式(有限或无限)给出的.
今天我们熟知的各种初等函数,大都得益于欧拉的系统总结.1748年,他写下了两卷本《无穷小分析引论》(IntroductionAnalysinInfinitorum),首先,将函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式.随后系统地研究了各种函数.在三角函数方面,他一方面使sinx,cosx,tgx等彻底摆脱了直角三角形的局限,使之成为一般意义上的函数;同时弄清了三角函数的周期性,并且引入了弧度概念.他区分了显函数与隐函数,单值函数与多值函数.不仅如此,他还在意识到超越数的基础上,引入了超越函数,认为三角函数、对数函数、指数函数及某些特殊函数是超越函数,这些函数的特征是不能通过对某个表达式作代数运算得到.实际上,代数函数、超越函数的提出表明欧拉已经定义了多元函数f(x,y,…),其中二元函数f(x,y)、三元函数f(x,y,z)在当时是最重要的.
由于解决各种求积分问题及力学、天文学问题,18世纪还出现了许
趣.(其中,P(x)为x的有理函数,R(x)则为四次多项式).
分进行更一般的研究乃至建立椭圆函数论则是19世纪的事情了.
今天已经遍及数学、物理的许多部门的两个非常重要的非初等函数Γ(Gamma)函数、β(Beta)函数,也是18世纪引入的.这两个函数都是欧拉创造的,最初是因为求解常微分方程的需要,随后哥德巴赫(C.Goldbach,1690—1764)考虑插值问题时就这个问题求教欧拉,于是欧拉在1729年10月13日写给哥德巴赫的信中解决了这个问题,并在1730年1月8日第二封信中引入了积分问题
了Γ(n+1)=n·Γ(n).明显地Γ
(1)=1.于是对任何正整数n都有Γ(n+1)=n·Γ(n)=n·(n-1)……2·1·Γ
(1)
在1830年1月8日给哥德巴赫的信中,欧拉还提出了今天的β函数
不过欧拉在1771年已经发现了Γ函数与β-函数的重要关系:
B(p,
拉第二型积分,这一名称一直沿用到今天.勒让得还得到了下述结果:
两个或多个变量函数的偏导数研究,主要源于早期偏微分方程方面的工作.偏导数的一系列演算规则是欧拉在研究流体力学问题时得到的,
—1766年写的文章中,他还处理了变量替换、偏导数的反演和函数行列式等有关问题.达朗贝尔在1744年推广了偏导数的演算.
普通导数与偏导数的区别开始并不被人们重视,许多人对两者都用同样的记号,但莱布尼茨却察觉了这一点,1694年他曾用“δm”表示
64年才出版的著作中,封田(A.Fonta-ine)对于x,y,z,u等变量的函数μ,给出了公式
格朗日等人的改进,逐渐演变成了今天的偏导数符号.
克莱罗在偏导数方面的主要贡献是得到了dz=pdx+qdy是全微分的条件,其中p,q是x,y的函数,“全微分”是由封田提出的,系
克雷罗得到了这样的结果:
pdx+qdy是全微分(即
方程的研究极为有用,它是积分因子法的理论基础.
拉对由弧围成的有界区域上的二重定积分已经有了比较清楚的概念,并给出了用累次积分计算这种积分的程序,但对∫∫f(x,y)dxdy的次序交换问题仍比较模糊.
由于探讨引力、多体力学问题,拉格朗日、拉普拉斯、勒让德开始了三重积分研究.拉格朗日用三重积分表示引力.值得注意的是,积分变换在三重积分中发挥了重要的作用.1773年,拉格朗日在他关于旋转椭球引力的研究中,发现用直角坐标计算很困难,于是转用球坐标,
他引入积分变换的实质是用r2sinθdθddr代替dxdydz,于是他开始了多重积分变换的课题,1772年拉普拉斯也给出了球坐标变换.从此,“变换”在数学中逐渐为人们重视,18世纪的变换主要集中在两个方面,一个是坐标变换,这对于多重积分非常重要,另一是微分方程中的变换,其中最著名的是拉普拉斯变换.
二、无穷级数
无穷级数是18世纪英国数学留给人们的最后成就,要不是泰勒级数与马克劳林级数这两个今天仍在使用的名称,18世纪数学很可能就没有英伦三岛的影响了.泰勒于1685年8月18日出生于爱丁堡,1731年12月29日在伦敦去世.他曾就读于剑桥大学圣约翰学院,是牛顿的崇拜者.1715年他发表了《增量方法及其逆》(MethodusIncrementorumDirectaetInversa),奠定了有限差分法的基础.17世纪,牛顿、莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题,泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等)过渡到了一般的方法.这本书中他给出了单变量幂级数展开的著名公式,即泰勒级数
1717年他运用这个级数求解数字方程,取得了很好的结果.但是他的证明是不严格的而且没有考虑收敛问题,在当时影响并不太大.直到1755年,欧拉在微分学中应用泰勒级数,并且推广到多元函数,才使其影响大增.随后拉格朗日用带余级数作为其函数论的基础,才正式确立了其重要性.19世纪,柯西(A.L.Cauchy)为泰勒级数给出了严格的证明.
马克劳林是数学史上的奇才之一.11岁就考上了格拉斯哥大学,15岁取得硕士学位.27岁时成为爱丁堡大学数学教授助理.他与牛顿关系极好,牛顿曾为他提供了生活、研究经费.牛顿又推荐他继承了詹姆士·格雷戈里(JamesGregory,1638—1675)曾担任的数学教授.他在几何理论、潮汐的数学理论方面做了许多有价值的工作.1742年,发表《流数论》(TreatiseofFluxions)一书,书中给出了著名的马克劳林级数
在书中他说明这个结论只是泰勒级数h=0时的特殊情形,但历史上却依然单独命名归功于他.《流数论》一书的真正贡献却是对牛顿流数法给出了第一篇合乎逻辑的、系统的解说,部分地回答了贝克莱(B.Berkeley,1685—1753)等对微积分的诘难,捍卫了牛顿的学说.
级数方面真正广阔的工作是1730年左右从欧拉开始的.欧拉得出了许多美妙的结论,尽管其过程是不够严格、甚至错误的.1734—1735
将此式看作为无穷次的多项式,利用代数方程根与系数的关系,得到了下列关系式:
等关系式.同时他还第一次给出了关系式
他的论据很简单,sinx=0的根有±π,±2π,±3π…,类似于每个多项式的每个根都必有一个一次因式,因此sinx有因式(x-π),(x+π),(x-2π),(x+2π),(x-3π),(x+3π)…,因此有上述等式.令上述等式为0,应用根与系数的
令x=1,2,3,…,n,得到
…
…,这是数学中的一个重要常数,到今天人们依然不知道它是有理数还是无理数、代数数还是超越数.
无穷级数中另一类重要的数是贝努利数,这是詹姆士·贝努利在求整数的正n次幂之和的公式中给出的:
这个式子一直加到n的最后一个正幂为止.B2,B4,B6…是贝努利数,
了可以计算这些系数的递推公式.利用这种贝努利系数,他计算出前1000
利用贝努利数,18世纪出现了一批极漂亮的无穷级数表达式.欧拉
1730年,斯特灵(J.Stirling,1692—1770)得到了
称这个式子为斯特灵逼近.
到18世纪时,各种函数的展开式都陆续得到了.如牛顿二项式定理
(1+x),arcsinx的展开式,莱布尼茨等得到了sinx,cosx,arctgx及其他各种展开式.当然,泰勒级数为各种函数展开式提供了最一般的方法.因此,18世纪无穷级数在广度上得到了长足的发展.
自从欧拉发现了三角函数的周期性后,由于天文现象大都是周期的,因此为了研究天文学,三角级数在18世纪受到了数学家们的广泛重视.1729年,欧拉遇到了这样的插值问题:
已知一个函数在x=n处的值(n为正整数),求f(x)在其他x处的值.在对这个问题的研究中,他得到了
1754—1755年,欧拉还得到函数的三角级数表示:
(0<x<π),
(0-π<x<π).
1757年,克莱罗在研究太阳摄动问题时宣称,他将把任何一个函数
的正确公式.1777年,欧拉在研究天文学时,用三角函数的正交性得到
三角级数的重要性使得人们在不断地进行着这样的努力,即把所有类型的函数都表示成三角函数.但是欧拉等数学大师却对此持怀疑态度.因此,是否任何函数都能展成三角级数就成了人们关注的问题.随着物理研究,特别是热学、声学的进展,三角级数越来越为人们所重视,三角级数的真正突破性进展是在19世纪,不仅如此,三角级数还带来了19世纪纯数学理论的突破.18世纪三角级数的工作只不过是19世纪的先声.
早在1668年,詹姆士·格雷格利(JamesGregory)就开始使用“收敛”与“发散”的名称,牛顿、莱布尼茨等人也注意到了这个问题,1713年10月25日莱布尼茨甚至在给约翰·贝努利的信中明确地提出了今天
达朗贝尔等也注意到了收敛问题.1768年,达朗贝尔给出了今天的“达
+x+x2+x3+…中令x=2,出现了-1=1+2+4+8+…的式子,欧拉
行纯形式的推导,出现了许多荒谬的结果.
18世纪无穷级数方面的工作除了得到许多漂亮、美妙的结果外,主要是发展了两个富有生命力的思想.其一是发散级数可以用来逼近函数,这一点对函数逼近论极为有用;其二是级数在解析运算中代表函数,这样就为函数论注入了新的活力.至于严格性问题,则几乎全部留给19世纪了.
三、微分方程
虽然在牛顿、莱布尼茨创立微积分时,微分方程已经出现.但是,直到18世纪中期,微分方程才成为一门独立的学科.可以这样认为,微分方程历史的第一个时期,是由牛顿、莱布尼茨开始,直到整个18世纪结束.1676年,詹姆士·贝努利在致牛顿的信中第一次出现了“微分方程”一词,以后从1684年起经过惠更斯(C.Huygens)、莱布尼茨等人的提倡开始通用起来了.但我们今天所熟知的微分方程形式,则直到1740年才由封田提出.
18世纪微分方程的建立,主要是为了解决这样几大类物理问题:
(1)弹性理论;
(2)求解摆的运动方程;(3)天文学理论,尤其是二体、三体问题以及月球的运动.当然,除此之外还有一些数学问题的推动.
贝努利家族在17世纪末、18世纪前半叶的数学领域十分活跃,尤其是詹姆士·贝努利与约翰·贝努利兄弟之间的竞争为数学史增加了十分有趣的一页.詹姆士从1687年到去世一直担任瑞士巴塞尔大学的数学讲座教授,约翰在1697年成为荷兰格罗尼根大学的教授,后来他又在1705年詹姆士去世后继任其兄的教授席位.他们兄弟俩是发展微积分的大师,并且与牛顿,尤其是与莱布尼茨交往密切.以詹姆士·贝努利(又称雅各布·贝努利)命名的数学成果有:
贝努利分布、贝努利定理、贝努利数、贝努利多项式、贝努利双纽线.约翰·贝努利有三个儿子:
尼古拉斯(Nicolaus,1695—1726)、丹尼尔(Daniel,1700—1782)、约翰(Ⅱ)(Johann(Ⅱ),1710—1790),他们是18世纪重要的数学家、科学家.约翰·贝努利(Ⅱ)的儿子及孙子都在数学、科学上有一定的成就.贝努利家族是一个祖孙六代、共数十人的数学大家族.(贝努利家谱见p398)
贝努利家族在数学史上的贡献是多方面的.在微积分、微分方程、无穷级数、变分法、数学物理、组合论等领域都有极大的创见.欧拉曾师从约翰·贝努利.
詹姆士·贝努利、约翰·贝努利解决了许多由物理问题所引出的微
1695年,詹姆士·贝努利提出了今天熟知的贝努利方程:
约翰、詹姆士都解决了这个问题.莱布尼茨则在1696年证明利用
变量替换Z=y1-n,可以把方程化为线性方程:
分即可.1694年,约翰·贝努利系统地总结了变量分离方程与齐次方程的解法.
多元函数微分以及全微分为解微分方程提供了另外一种有效的方法.克莱罗和欧拉都已经认识到,如果微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是某个函数的全微分——即称该方程为恰当的,那么它一定可以积分,其方程的通解为
(c为任意常数)
恰当方程可以通过积分求出它的上述通解,因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程就具有非常重大的意义,为此欧拉、封田、克莱罗分别于1734,1735,1739年引入了积分因子的概念:
如果存在函数μ=μ(x,y)≠0,使得μ(x,y)P(x,y)dx+μ(x,y)Q(x,y)dy≡dv=0为一恰当方程,则称μ(x,y)为P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的积分因子.寻找积分因子一时成了求解微分方程的重要技巧,它对微分方程有着非常重要的意义.到1740年左右,求解一阶方程的所有初等方法都已清楚了.于是,人们开始寻求解一阶微分方程的统一方法.人们发现所有一阶微分方程都可归结为y′=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.莱布尼茨曾专门寻求过只用变量代换的方法求解一阶微分方程.欧拉则试图利用积分因子统一处理这一问题,结果发现单纯采用哪一种方法都有困难和不便.人们发现,能用初等解法求出其解的一阶微分方程也极其有限.
高阶微分方程在17世纪已经出现了,牛顿、詹姆士·贝努利实际上已经求解过特殊的二阶微分方程.18世纪由于力学等问题的研究,二阶方程更为人所重视了.1728年欧拉开始研究二阶方程.丹尼尔·贝努利
数,
丹尼尔·贝努利还于1724年解决了意大利数学家黎卡提(J.F.C.Riccati,1676—1754)提出的黎卡提方程
替换后化成了一阶方程,这种方法本身是处理高阶常微分方程的主要手段.欧拉、达朗贝尔分别于1730年,1736年考虑过该方程.达朗贝尔
论:
若已知一特解v,则变换y=v+v-1把方程化为线性的.1841年刘维尔(J.Liouville,1809—1882)证明了:
如果y0(x)是黎卡提方程的解,则y=z+y0(x)将把原方程转化为贝努利方程.该方程在数学史上的重要性,在于它揭示了微分方程解的复杂性.能用初等函数求解的微分方程极少.欧拉在1728年曾写过一篇论二阶微分方程的文章,讨论如何利用变量觉替换将它们化为一阶方程,这些方程有三类:
axmy-m-1dxpdy2-p+bxny-n-1dxqdy2-q=ddy;
Pxmdym+1+Qxm-bdxbdym-b+1=dxm-1ddx.
他分别通过引入变量替换y=evt(v),x=eav;x=cv,y=cvt(v);x=cv,将它们化成了一阶方程.
在高阶方程方面,丹尼尔·贝努利1734年12月写信告诉欧拉,他
的级数解.弹性问题促使欧拉考虑求解一般线性方程的数学问题.1743
的特征方程A+Br+Cr2+Dr3+…+Lrn=0.当qi是该方程n个不
征方程有重根q时,令y=eqxu(x),则其通解为
y=eqx(α+βx+γx2+…+κxk-1)(k为根q的重数.)
=α-iβ也是k重特征根,于是原方程有2k个特解(实值):
eaxcosβx,xeaxcosβx,x2eaxcosβx,…,xk-1eaxcosβx,
eaxsinβx,xeaxsinβx,x2eaxsinβx,…,xk-1eaxsinβx.
这样,欧拉完整地解决了常系数线性齐次微分方程,这种方法今天称为欧拉方法,成为常微分方程课本中的标准内容.几乎与此同时,丹尼尔·贝努利也得到这种方法.在对微分方程的研究中,欧拉最早引入名词“特解”(ValorParticularis)、“通解”(aequatoIntegralisCompleta,即方程的全积分),并且指出,n阶方程的通解是它n个特解的线性组合.
随后,欧拉在1750—1751年公布了常系数非齐次线性方程的解法,其方法是用emxdx乘方程两端,如对于方程
这样由A-Bm+cm2=0,可以求出m,于是原方程化为
从而可以求解.1766年,达朗贝尔指出,非齐次方程的通解是其特解与系数相同的齐次方程的通解之和.
拉格朗日在1766—1777年间,详细研究过常数变易法,并且将它运用于上述方程.不仅如此,他还开始了对变系数微分方程的研究.在1762—1765年的工作中,他引出了伴随方程的概念,其思想是降低方程的次数.他将欧拉对常系数线性微分方程得到的某些结果作了推广.他还发现,如果已知齐次线性方程的r个特解,那么它的阶数可以降低r.
同时他还得到了著名的等式
F(-n,b,c;x)=(1-x)c+n-bF(c+n,c-b,c;x).
及
(1-tx)ndt,(Re(c)>Re(b)>0).
大大地推广了牛顿等人用级数求解微分方程的方法.
在解决天文学一系列问题的过程中,开始涉及到微分方程组,如讨论两个质量为m1,m2的物体,分别在位置(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)上互相吸引下的运动,描述其运动的方程组就是:
r2=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.
1750年,达朗贝尔开始对常微分方程组进行较详细的研究,并且把待定乘数法应用到常系数的线性方程组.18世纪,在研究两个物体或多个物体的相互吸引的问题时,常常导致求解常微分方程组.不过许多情况下往往化解成求解单独一个微分方程.
n体问题,哪怕是三体问题就够令人头痛了.在这方面拉格朗日、拉普拉斯做出了卓越的贡献.为了研究摄动理论,他们提出了参数变值法.1739年欧拉用这种方法研究过二阶方程y〃+k2y=X(x),1748年他最先用参数变值法研究行星运动的摄动——木星和土星的相互摄动,由此他获得了法国科学院奖金.1772—1777年拉普拉斯写了许多篇这方面的论文,而拉格朗日则使这种方法成为了系统的理论,如他将单个常微分方程的参数变值法应用到n阶方程:
P(x)y+Q(x)y′+R(x)y〃+…+V(x)y(n)
=X(x).
拉格朗日还利用参数变值法研究了非齐次常微分方程组.
y2-2zyy′+vy′2=1.
微分这个方程,有2y〃(vy′-zy)=0.
y2=v和x=1.
由此他看到这个解不能从通解中得到,于是他称这个解为“奇(singularis)解”.随后克莱罗和欧拉对奇解作了详细的讨论.
1734年,克莱罗在求解今天称之为“克莱罗方程”
y=xy′+f(y′)
时,令p=y′,则有y=xp+f(p),
得y′=c,y=cx+f(c).
这是方程的通解,并且是一直线族.而由x+f′(p)=0,与原方程一起就可以消去p,这样就给出了一个新的解——它就是奇解.1736年,他用微分求出并且肯定地指出了微分方程
的奇解和通解.他清楚
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