7.求下列圆的圆心和半径.
(1)x2+y2-x=0;
(2)x2+y2+2ax=0(a≠0);
(3)x2+y2+2ay-1=0.
22
8.过点A(11,2)作圆x+y+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有()
9.已知点A在直线2x-3y+5=0上移动,点P为连接M(4,-3)和点A的线段的中点,求P的轨迹方程.
10.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆.
(1)求t的取值范围;
(2)求圆的圆心和半径;
(3)求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程.
4.2直线、圆的位置关系
4.2.1直线与圆的位置关系
1.直线y=x+3与圆x2+y2=4的位置关系为()
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
2.下列说法中正确的是()
A.若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切B.与半径垂直的直线与圆相切
C.过半径外端的直线与圆相切
D.过圆心且与切线垂直的直线过切点
3.若直线
2
2
=m(m>0)相切,则m的值为(
x+y=2与圆x
+y
1
2
A.2
B.2
C.2D.2
4.(2013年陕西)已知点M(a,b)在圆O:
x2+y2=1外,则直线
置关系是(
)
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
)
ax+by=1与圆O的位
5.经过点M(2,1)
作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为(
)
A.2x+y=5
B.
2x+y+5=0
C.2x+y=5
D.2x+y+5=0
2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.
6.(2013年浙江)直线y=2x+3被圆x
7.已知直线kx-y+6=0被圆x2+y2=25所截得的弦长为
8,求k的值.
8.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为()
A.1B.22C.7D.3
9.已知圆C:
(x-2)2+(y-3)2=4,直线l:
(m+2)x+(2m+1)y=7m+8.
(1)证明:
无论m为何值,直线l与圆C恒相交;
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时,求m的值.
10.已知圆
2
2
C:
x+y
-8y+12=0,直线
(1)当a为何值时,直线
l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且
l∶ax+y+2a=0.
AB=22时,求直线l的方程.
4.2.2圆与圆的位置关系
1.已知两圆的方程x
2+y2=4和x2+y2-6x+8y+16=0,则此两圆的位置关系是()
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
2.圆x2+y2+2x+1=0和圆x2+y2-y+1=0的公共弦所在直线方程为(
)
A.x-2y=0
B.x+2y=0
C.2x-y=0
D.2x+y=0
2+y2=9相切,那么a的值是(
3.已知直线x=a(a>0)和圆(x+1)
)
A.2B.3
C.4D.5
4.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有(
)
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
5.已知两圆相交于两点A(1,3),B(m,-1),两圆圆心都在直线
2x-y+c=0上,则m
+c的值是(
)
A.-1
B.2
C.3
D.0
6.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为AB,则线段AB的垂直平
分线方程为(
)
A.x+y-1=0
B.2x-y+1=0
C.x-2y+1=0
D.x-y+1=0
7.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2
3,求实数a的值.
8.两圆(x-3)2+(y-4)2=25和(x-1)2+(y-2)2=r2相切,则半径r=____________.
2222
9.已知两圆C1:
x+y-10x-10y=0与C2:
x+y+6x-2y-40=0,
(2)公共弦长.
10.已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0.
(1)求证:
对任意实数a,该圆恒过一定点;
(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值.
4.2.3直线与圆的方程的应用
22
1.方程x+y+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆()
B.关于y轴对称
C.关于直线x-y=0对称
D.关于直线x+y=0对称
22
2.若直线x+y+m=0与圆x+y=m相切,则m为()
C.2D.无解
3.过原点的直线与圆(x+2)2+y2=1
相切,若切点在第三象限,则该直线方程为
(
)
A.y=3x
B.y=-3x
3
C.y=3x
3
D.y=-
3x
4.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1
相离,则点P(a,b)与圆的位置关系是(
)
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.都有可能
5.圆x2+y2-4x-4y-1=0上的动点P到直线x+y=0的最小距离为(
)
A.1B.0
C.22
D.22-3
6.过点P(2,1)作圆C:
x2+y2-ax+2ay+2a+1=0的切线只有一条,则a的取值是(
)
A.a=-3B.a=3
C.a=2
D.a=-2
7.与圆x2+y2-4x-6y+12=0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有
(
)
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
8.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点P(3,1),则直线AB的方程为____________.
9.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,那么y的最大值为()
x
1
3
3
A.2
B.3
C.2
D.3
10.已知圆C:
x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).
(1)若点P(a,a+1)在圆上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;
(2)若M为圆C上任一点,求|MQ|的最大值和最小值;
22n-3
(3)若实数m,n满足m+n-4m-14n+45=0,求k=的最大值和最小值.
4.3空间直角坐标系
4.3.1空间直角坐标系
1.点P(-1,0,1)位于(
)
A.y轴上
B.z轴上
C.xOz平面内
D.yOz平面内
2.在空间直角坐标系中,点
(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是()
A.(-2,1,-4)
B.(-2,-1,-4)
C.(2,-1,4)
D.(2,1,-4)
3.点P(-4,1,3)在平面yOz上的投影坐标是()
A.(4,1,0)
B.(0,1,3)
C.(0,3,0)
D.都不对
4.在空间直角坐标系中,点
P(1,2,3),过点P作平面yOz的垂线PQ垂足为Q,
则Q的坐标为(
)
A.(0,
2,0)
B.(0,
2,3)
C.(1,0,3)
D.(1,
2,0)
5.点(2,-3,0)在空间直角坐标系中的位置是在()
A.y轴上
B.xOy平面上
C.xOz平面上
D.第一象限内
6.设x,y为任意实数,相应的点P(x,y,3)的集合是()
A.z轴上的两个点
B.过z轴上的点(0,0,3),且与z轴垂直的直线
C.过z轴上的点(0,0,3),且与z轴垂直的平面
D.以上答案都有可能
7.点A(1,-3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为()
A.(3,-1,5)
B.(3,7,4)
C.(0,-8,1)
D.(7,3,1)
8.已知点A(3,y,4),B(x,4,2),线段AB的中点是C(5,6,z),则x=______,y=______,
z=________.
9.点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________.
10.如图K4-3-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且边长为2a,棱PD⊥底面ABCD,|PD|=2b,取各侧棱的中点E,F,G,H,试建立适当的空间直角坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.
图K4-3-1
4.3.2空间两点间的距离公式
1.在空间直角坐标系中,点A(2,1,5)与点B(2,1,-1)之间的距离为()
A.6B.6
C.3D.2
2.坐标原点到下列各点的距离最大的是()
A.(1,1,1)B.(2,2,2)
C.(2,-3,5)D.(3,3,4)
3.已知A(1,1,1),B(-3,-3,-3),点P在x轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为()
A.(-3,0,0)B.(-3,0,1)
C.(0,0,-3)D.(0,-3,0)
4.设点B是A(-3,2,5)关于xOy
A.10B.10
平面的对称点,则
|AB|=(
)
C.210D.40
5.已知空间坐标系中,A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB的中点为M,线段CM的长|CM|
=()
53
53
A.4
B.2
5313
C.2D.2
6.方程(x-12)2+(y+3)2+(z-5)2=36的几何意义是____________________________.
7.已知点A在y轴上,点B(0,1,2),且|AB|=5,求点A的坐标.
8.以A(1,2,1),B(1,5,1),C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形.
9.已知点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为________.
10.在空间直角坐标系中,已知
(1)在y轴上是否存在点M,满足
(2)在y轴上是否存在点M,使△
A(3,0,1)和B(1,0,-3),问:
|MA|=|MB|;
MAB为等边三角形?
若存在,试求出点
M的坐标.
第四章圆与方程
4.1
圆的方程
4.1.1
圆的标准方程
1.C2.D
5.(x+2)2+(y-1)2=2
3.(-2,2)|m|4.±5
0-12+b-22=1,
6.A
解析:
方法一(直接法):
设圆心坐标为(0,b),则由题意知
解得b=2,故圆的方程为
x2+(y-2)2=1.
(0,2),故圆的方程为x2
方法二(数形结合法):
作图由点到圆心的距离为
1,易知圆心为
+(y-2)2=1.
7.解:
方法一:
设圆心P(a,b),
a-3b-10=0,
则
a-5
2+b2=a+22+b-12,
a=1,
解得
b=-3.
圆的半径r=
a-52+b2=
1-52+-3
2=5.
∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=25.
方法二:
线段
AB的中点P′5-2,
0+1,
2
2
即P′
3
,
1
.直线AB的斜率k=
1-0
1
2
2
-2-
=-.
5
7
∴弦AB的垂直平分线的方程为
y-1=7x-
3,
2
2
即7x-y-10=0.
x-3y-10=0,
x=1,
解方程组
得
即圆心P(1,-3).
7x-y-10=0,
y=-3.
圆的半径r=1-5
2+-32=5.
∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=25.
8.D
9.41+5
10.解:
∵弦AB的长为2
3,则由垂径定理,圆心(1,2)到直线的距离等于
|a-2+3|
1,∴
a2+1
=1,∴a=0.
4.1.2
圆的一般方程
1.(3,0)2.4
3.B
4.A
5.2
13π
6.A
1
1
1
1
7.解:
(1)x-
2
2
,
2
+y
=,圆心
2
0,半径r=.
4
2
(2)(x+a)2+y2=a2,圆心(-a,0),半径r=|a|.
(3)x2+(y+a)2=1+a2,圆心(0,-a),半径r=1+a2.
8.C
解析:
圆的标准方程是:
(x+1)2+(y-2)2=132,圆心(-1,2),半径r=13.过点
A(11,2)的最短的弦长为
10,最长的弦长为
26(分别只有一条),还有长度为
11,12,⋯,25的
各2条,所以共有长为整数的弦
2+2×15=32(条).
9.解:
设点P的坐标为(x,y),A的坐标为(x0,y0).
∵点A在直线2x-3y+5=0上,∴有
2x0-3y0+5=0.
x=
4+x0,
又∵P为MA的中点,∴有
2
-3+y0
y=
2
.
x0=2x-4,
∴
y0=2y+3.
代入直线的方程,得
2(2x-4)-3(2y+3)+5=0,
化简,得2x-3y-6=0即为所求.
10.解:
(1)由圆的一般方程,得
2
22
4(16t
4
+9)>0,
[-2(t+3)]+4(1-4t
)-
解得-17
2
-2t+3
(2)圆心为-
,-21-4t
,
2
2
即(t+3,4t2-1),
半径r=1[-2t+3
]2+41-4t22-4
16t4+9
2
=-7t2+6t+1.
2
-7
t-
3
2
+
16
(3)r=-7t+6t+1=
7
,
7
所以当t=3时,rmax=4
7,
7
7
242
132
16
故圆的标准方程为x-7
+
y+49
=7.
4.2直线、圆的位置关系
4.2.1直线与圆的位置关系
1.D2.D3.D
4.