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完整版高次方程及解法
高次方程及解法
江苏省通州高级中学徐嘉伟
一般地,我们把次数大于2的整式方程,叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组,叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程,是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程,也只能对其中的一些特殊形式的方程,采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法,将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次,转化成一次或二次方程求解。
一、1判根法
在一个一元高次方程中,如果各项系数之和等于零,则1是方程的根;如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和,则-1是方程的根。
求出方程的1的根后,将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以(x-1)或者(x+1),降低方程次数后依次求根。
“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法,一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0
解:
观察方程,因为各项系数之和为:
1+2-9-2+8=0(注意:
一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),
(x4+2x3-9x2-2x+8)(x-1)=x3+3x2-6x-8
观察方程x3+3x2-6x-8=0,偶次项系数之和为:
3-8=-5;奇次项系数之和为:
1-6=-5,根据歌诀“偶等奇,根-1”,即方程中含有因式(x+1),(x3+3x2-6x-8)(x+1)=x2+2x-8,对一
元二次方程x2+2x-8=0有(x+4)(x-2)=0,原高次方程
x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为:
(x-1)(x+1)(x-2)(x+4)=0,即:
当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)=0时,有x2=-1;当(x-2)=0时,有x3=2;当(x+4)=0时,有x4=-4
点拨提醒:
在运用“1判根法”解高次方程时,一定注意把“常
数项”作为“偶次项”系数计算。
二、常数项约数求根法根据定理:
“如果整系数多项式anxn+an-1xn-1++a1x+a0可分解出因式Px-Q,即方程anxn+an-1xn-1++a1x+a0=0有有理数根Q
P(P、Q是互质整数),那么,P一定是首项系数an的约数,Q一定是常数项a0的约数”,我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。
“常数项约数求根法”分为两种类型:
第一种类型:
首项系数为1。
对首项(最高次数项)系数为1的高次方程,直接列出常数项所有约数,代入原方程逐一验算,使方程值为零的约数,就是方程的根。
依次用原方程除以带根的因式,逐次降次,直至将高次方程降为二次或一次方程求解。
例1解方程x4+2x3-4x2-5x-6=0解:
第一步:
首先列出“常数项”-6的所有约数1、2、3、
第二步:
将这些约数逐一代入原方程验算,确定原方程中所含的
带根”因式。
根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项
系数和,排除1根,f
(2)=16+16-16-10-6=0f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式(x-2)(x+3)第三步:
用长除法将原方程降次。
(x4+2x3-4x2-5x-6)(x-2)
首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外,然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。
特别注意此时代入方程验算的值一定是QP而不是Q,因为此时原方程的因式是(Px-Q),其余的解法步骤同
首项系数为1的解法步骤相同
三、倒数方程求根法
1、定义:
系数成首尾等距离的对称形式的方程,叫做倒数方程。
如ax4+bx3+cx2+dx+e=0,其中,ae,bd或者a=-e,b=-d
2、性质:
倒数方程有三条重要性质:
(1)倒数方程没有零根;
(2)如果a是方程的根,则1也是方程的根;
a
(3)奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1,分解出因式(x+1)或(x-1)后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。
3、倒数方程求解方法:
如果ax4+bx3+cx2+dx+e=0是倒数方程,由于倒数方程没有零根,即x0,所以,方程两边同除以x2得:
a(x2+12)+b(x+1)+e=0,xx令x+1=y,x2+12=y2-2,即原方程变为:
xx
1
ay2+by+(e-2a)=0,解得y值,再由x+1=y,解得x的值。
x
例1解方程2x4+3x3-16x2+3x+2=0
解:
x20方程两边同除以x2得:
3211
2x2+3x-16+3+22=0,即2(x2+12)+3(x+1)-16=0,
xxxx
2[(x+1)2-2]+3(x+1)-16=0,令x+1=y,代入方程整理
xxx
51得:
2y2+3y-20=0,解之得:
y1=-4,y2=5即x+1=-4,
2x
x2+4x+1=0,
412=423=-23,
2=2=-23,
的根。
2x2+2=5x,2x2-5x+2=0
x4=2
1
-2-3,x3=12,x4=2都是原方程
例2解方程6x5-4x4-3x3+3x2-4x-6=0
项系数相等,用一般表达式表述为ax4+bx3+cx2+dx+e=0,其中
a=e,b=d,或者a=-e,b=-d对首尾对应项系数相等的方程,我们一眼就能发现是“倒数方程”,两边同除以x2,化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解。
但有些方程,首尾等距离对应项系数不相等,但这些系数又有这样的规律:
如ax4+bx3+cx2+k?
bxk2?
a0(a0)
即常数项可以分解成同四次项系数相同的数字“a”和另一个因数“k2”的乘积,一次项系数可分解出同三次项系数相同的数字b和与常数项k2相同的数字k的乘积,凡是具有这样规律特征的方程,也可以
如:
(ax2+bx+c)2+m(ax2+bx+c)+d=0,此时设y=(ax2+bx+c),也可转化为含y的一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y
从而求出原方程的根x之值。
第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时,方程左边按照“创造相同的多项式,换元替换”的要求,将(x+a)(x+c);
(x+b)(x+d)结合(一般是最小数与最大数,中间数与中间数组合),展开相乘,创造相同的多项式(ax2+bx+c)或成比例的多项式
m(ax2+bx+c),然后设y=ax2+bx+c,将原方程转化为含y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值,将y值代入ax2+bx+c=y求x之
例2解方程(x2-3x+2)2=9x-3x2-2解:
本例属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第二种
类型(ax2+bx+c)2+m(ax2+bx+c)+d=0,因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理,对应项系数成比例,即:
(x2-3x+2)2+3(x2-3x+2)-4=0设y=x2-3x+2,则原方程转化为y2
+3y-4=0
0
35
x=
2
y4,或者y=1x2-3x+2=-4,x2-3x+6=0
无实数根,x2-3x+2=1,x2-3x+1=0原方程的根x1=35,x2=35
22
例3解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x2
解:
本例题属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第三种类型(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设y换元的相同多项式”。
根据这个要求,只有将(x+2)(x+12)和(x+3)(x+8)组合(最小数2和最大数8组合,中间数3和8结合),才能创造出“相同”的多项式“x2+24”,即x214x24x211x244x2,设yx224则原方程转化为
y2+25xy+150x2=0,
15129
2
例4解方程(x-6)4+(x-8)4=16
解:
本题属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第四种
类型(x-a)4+(x-b)4=c的形式。
(x-6)4+(x-8)4=(x-7+1)4+(x-7-1)4,
则原方程转化为:
y14y1416
22
1216,(y4+4y2+1+4y3+2y2+4y)+(y4+4y2+1-4y3
的三次项和一次项,变为含y的双二次方程ay4+by2+c=0求解
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