高考数学同步专题突破及解析 1.docx
- 文档编号:26133981
- 上传时间:2023-06-17
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:55.63KB
高考数学同步专题突破及解析 1.docx
《高考数学同步专题突破及解析 1.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学同步专题突破及解析 1.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学同步专题突破及解析1
§2.1 数 列
2.1.1 数 列
学习目标
1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式.
知识点一 数列及其有关概念
1.按照一定次序排列起来的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,….
2.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗?
答案 不是.顺序不一样.
知识点二 通项公式
如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.不是所有数列都能写出通项公式,若数列有通项公式,通项公式表达式不一定唯一.
知识点三 数列的分类
1.按项数分类:
项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
2.按项的大小变化分类:
从第二项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第二项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项都相等的数列叫做常数列.
1.1,1,1,1是一个数列.( √ )
2.数列1,3,5,7,…的第10项是21.( × )
3.每一个数列都有通项公式.( × )
4.如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.( × )
题型一 数列的分类
例1 下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )
A.1,,,,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
答案 C
解析 A,B都是递减数列,D是有穷数列,只有C符合题意.
反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项,不能有例外.
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列?
哪些是递增数列?
哪些是递减数列?
哪些是摆动数列?
哪些是常数列?
(1)2010,2012,2014,2016,2018;
(2)0,,,…,,…;
(3)1,,,…,,…;
(4)-,,-,,…;
(5)1,0,-1,…,sin,…;
(6)9,9,9,9,9,9.
解
(1)(6)是有穷数列;
(1)
(2)是递增数列;(3)是递减数列;(4)(5)是摆动数列;(6)是常数列.
题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,-,,-;
(2),2,,8;
(3)9,99,999,9999.
解
(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+.
(2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:
,,,,…,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+.
(3)各项加1后,变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1,n∈N+.
反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中项的构成规律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,确定变化部分随序号变化的规律,继而将an表示为n的函数关系.
跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)-,,-,;
(2),,,;
(3)7,77,777,7777.
解
(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数,分子都是比序号大1的数的平方减1,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+.
(3)这个数列的前4项可以变为×9,×99,×999,×9999,
即×(10-1),×(100-1),×(1000-1),×(10000-1),
即×(10-1),×(102-1),×(103-1),×(104-1),
所以它的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N+.
题型三 数列通项公式的简单应用
例3
(1)已知数列,,,,…,那么0.94,0.96,0.98,0.99中是该数列中某一项值的数应当有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 C
解析 数列,,,,…的通项公式为an=,
0.94==,0.96==,0.98==,0.99=,
,,都在数列中,故有3个.
(2)已知数列{an}的通项公式为an=2n2-10n+4.
问当n为何值时,an取得最小值?
并求出最小值.
解 ∵an=2n2-10n+4=22-,
∴当n=2或3时,an取得最小值,其最小值为a2=a3=-8.
反思感悟
(1)判断某数是不是该数列的项,相当于已知y求x,若求出的x是正整数,则y是该数列的项,否则不是.
(2)利用函数的性质研究数列的单调性与最值.
跟踪训练3
(1)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+),那么是这个数列的第______项.
答案 10
解析 ∵=,∴n(n+2)=10×12,∴n=10.
(2)已知数列{an}中,an=-n2+25n(n∈N+),则数列{an}的最大项是第________项.
答案 12或13
解析 ∵an=-2+2是关于n的二次函数,又n∈N+,
∴当n=12或n=13时,an最大.
归纳法求数列的通项公式
典例 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有_______小圆圈.
答案 n2-n+1
解析 观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1.故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
[素养评析] 归纳是逻辑推理的一类,可以发现新命题.本例完美诠释了“观察现象,归纳规律,大胆猜想,小心求证”这一认识发展规律.
1.下列叙述正确的是( )
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列是递增数列
答案 D
解析 由数列的通项an=知,
an+1-an=-=>0,
即数列是递增数列,故选D.
2.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为( )
A.an=n,n∈N+B.an=n+1,n∈N+
C.an=n+2,n∈N+D.an=2n,n∈N+
答案 B
解析 这个数列的前4项都比序号大1,所以,它的一个通项公式为an=n+1,n∈N+.
3.数列{an}中,an=2n2-3,n∈N+,则125是这个数列的第________项.
答案 8
解析 令2n2-3=125,解得n=8(n=-8舍去).
所以125是该数列的第8项.
4.已知数列{an}的通项公式an=,n∈N+,则a1=________;an+1=________.
答案 1
解析 a1==1,
an+1==.
5.写出数列:
1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式.
解 该数列的通项公式为an=(-1)n+1·(2n-1),n∈N+.
1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质
(1)确定性:
一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性:
数列中的数可以重复.
(3)有序性:
一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且也与这些数的排列次序有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:
(1)分式中分子、分母的特征;
(2)相邻项的变化特征;
(3)拆项后的特征;
(4)各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.
一、选择题
1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N+,则该数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0B.0,1,0,1
C.,0,,0D.2,0,2,0
答案 A
解析 当n分别等于1,2,3,4时,a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N+,则-8是该数列的( )
A.第5项B.第6项
C.第7项D.非任何一项
答案 C
解析 解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
3.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( )
A.an=n2-n+1B.an=
C.an=D.an=n2+1
答案 C
解析 令n=1,2,3,4,代入A,B,C,D检验,即可排除A,B,D,故选C.
4.数列,,,,…的第10项是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由数列的前4项可知,数列的一个通项公式为an=,n∈N+,
当n=10时,a10==.
5.已知an+1-an-3=0,n∈N+,则数列{an}是( )
A.递增数列B.递减数列
C.常数列D.不能确定
答案 A
解析 an+1=an+3>an,n∈N+,即该数列每一项均小于后一项,故数列{an}是递增数列.
6.设an=+++…+(n∈N+),那么an+1-an等于( )
A.B.
C.+D.-
答案 D
解析 ∵an=+++…+,
∴an+1=++…+++,
∴an+1-an=+-=-.
7.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式an等于( )
A.(10n-1)B.(10n-1)
C.D.(10n-1)
答案 C
解析 代入n=1检验,排除A,B,D,故选C.
8.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为( )
A.an=n,n∈N+B.an=,n∈N+
C.an=,n∈N+D.an=n2,n∈N+
答案 C
解析 ∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,
∴a1=1,a2=,a3=,…,an=,….
二、填空题
9.观察数列的特点,用一个适当的数填空:
1,,,,________,,….
答案 3
解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数,所以需要填空的数为=3.
10.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式是________________.
答案 an=2n+1,n∈N+
11.323是数列{n(n+2)}的第________项.
答案 17
解析 由an=n2+2n=323,解得n=17(负值舍去).
∴323是数列{n(n+2)}的第17项.
三、解答题
12.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式an是n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式;
(2)判断88是不是数列{an}中的项?
解
(1)设an=kn+b,k≠0.
则解得
∴an=4n-2,n∈N+.
(2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5∉N+.
∴88不是数列{an}中的项.
13.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,n∈N+,请回答下列问题:
(1)这个数列共有几项为负?
(2)这个数列从第几项开始递增?
(3)这个数列中有无最小值?
若有,求出最小值;若无,请说明理由.
解
(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),
所以当0 所以数列{an}共有9项为负. (2)因为an+1-an=2n-7, 所以当an+1-an>0时,n>, 故数列{an}从第4项开始递增. (3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36, 根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值-36, 即这个数列有最小值,最小值为-36. 14.已知数列{an}的通项公式是an=(n∈N+),则a3+=________. 答案 解析 a3=2-3=,a4==, ∴=,∴a3+=. 15.已知数列,n∈N+. (1)求证: 该数列是递增数列; (2)在区间内有无数列中的项? 若有,有几项;若没有,请说明理由. (1)证明 ∵an=====1-, ∴an+1-an=- ==>0,n∈N+, ∴{an}是递增数列. (2)解 令 ∴ ∴ ∴ ∴当且仅当n=2时,上式成立, 故区间内有数列中的项,且只有一项为a2=.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考数学同步专题突破及解析 高考 数学 同步 专题 突破 解析