高中数学第一章坐标系1.docx
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高中数学第一章坐标系1
——教学资料参考参考范本——
高中数学第一章坐标系1
______年______月______日
____________________部门
[读教材·填要点]
1.球坐标系
设空间中一点M的直角坐标为(x,y,z),点M在xOy坐标面上的投影点为M0,连接OM和OM0,设z轴的正向与向量的夹角为φ,x轴的正向与0的夹角为θ,M点到原点O的距离为r,则由三个数r,θ,φ构成的有序数组(r,θ,φ)称为空间中点M的球坐标.在球坐标中限定r≥0,0≤θ<2π,0≤φ≤π.
2.直角坐标与球坐标的转化
空间点M的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为
[小问题·大思维]
球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系?
提示:
空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.
将球坐标化为直角坐标
[例1] 已知点M的球坐标为,求它的直角坐标.
[思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系.解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义,然后代入相应的公式求解即可.
[精解详析] ∵M的球坐标为,
∴r=5,φ=,θ=.
由变换公式
得
故它的直角坐标为.
已知球坐标求直角坐标,可根据变换公式直接求解,但要分清哪个角是φ,哪个角是θ.
1.已知点P的球坐标为,求它的直角坐标.
解:
由变换公式得
x=rsinφcosθ=4sincos=2,
y=rsinφsinθ=4sinsin=2,
z=rcosφ=4cos=-2.
∴它的直角坐标为(2,2,-2).
将直角坐标化为球坐标
[例2] 设点M的直角坐标为(1,1,),求它的球坐标.
[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系.解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可,但应注意θ与φ的取值范围.
[精解详析] 由坐标变换公式,可得
r===2.
由rcosφ=z=,
得cosφ==,φ=.
又tanθ==1,θ=(x>0,y>0),
所以知M点的球坐标为.
由直角坐标化为球坐标时,我们可以先设点M的球坐标为(r,θ,φ),再利用变换公式求出r,θ,φ代入点的球坐标即可;也可以利用r2=x2+y2+z2,tanθ=,cosφ=求解.特别注意由直角坐标求球坐标时,θ和φ的取值应首先看清点所在的象限,准确取值,才能无误.
2.设点M的直角坐标为,求它的球坐标.
解:
由变换公式得
r===1.
由rcosφ=z=-得cosφ=-,φ=.
又tanθ==(r>0,y>0),
得θ=,
∴M的球坐标为.
球坐标系的应用
[例3] 在赤道平面上,我们选取地球球心O为极点,以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立坐标系.有A,B两个城市,它们的球坐标分别为AR,,,BR,,.飞机沿球的大圆圆弧飞行时,航线最短,求最短的路程.
[思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离.解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法.
[精解详析] 如图所示,因为A,
B,
可知∠AOO1=∠O1OB=,
∴∠O1AO=∠O1BO=.
又∠EOC=,∠EOD=,
∴∠COD=-=.
∴∠AO1B=∠COD=.
在Rt△OO1B中,∠O1BO=,OB=R,
∴O1B=O1A=R.
∵∠AO1B=,∴AB=R.
在△AOB中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=.
故飞机沿经过A,B两地的大圆飞行,航线最短,其路程为R.
我们根据A,B两地的球坐标找到纬度和经度,当飞机沿着过A,B两地的大圆飞行时,飞行最快.求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A,B两地的球面距离.
3.用两平行面去截球,如图,在两个截面圆上有两个点,它们的球坐标分别为A,B8,θB,,求出这两个截面间的距离.
解:
由已知,OA=OB=8,∠AOO1=,
∠BOO1=.
∴在△AOO1中,OO1=4.
在△BOO2中,∠BOO2=,OB=8,
∴OO2=4,则O1O2=OO1+OO2=8.
即两个截面间的距离O1O2为8.
一、选择题
1.已知一个点P的球坐标为,点P在xOy平面上的投影点为P0,则与的夹角为( )
A.- B.
C.D.
解析:
选A ∵φ=,
∴OP与OP0之间的夹角为=.
2.点M的球坐标为(r,φ,θ)(φ,θ∈(0,π)),则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )
A.(-r,-φ,-θ)B.(r,π-φ,π-θ)
C.(r,π+φ,θ)D.(r,π-φ,π+θ)
解析:
选D 设点M的直角坐标为(x,y,z),则点M关于(0,0,0)的对称点M′的直角坐标为(-x,-y,-z),设M′的球坐标为(r′,φ′,θ′),因为
所以
可得
即M′的球坐标为(r,π-φ,π+θ).
3.点P的球坐标为,则它的直角坐标为( )
A.(1,0,0)B.(-1,-1,0)
C.(0,-1,0)D.(-1,0,0)
解析:
选D x=rsinφcosθ=1·sin·cosπ=-1,
y=rsinφsinθ=1·sinsinπ=0,
z=rcosφ=1·cos=0,
∴它的直角坐标为(-1,0,0).
4.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A.P(5,1,1),B
B.P(1,1,5),B
C.P,B(1,1,5)
D.P(1,1,5),B
解析:
选B 球坐标与直角坐标的互化公式为
柱坐标与直角坐标的互化公式为
设P点的直角坐标为(x,y,z),
则x=cos=×=1,
y=sin=1,z=5.
设B点的直角坐标为(x′,y′,z′),
则x′=sincos=××=,
y′=sinsin=××=,
z′=cos=×=.
所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为.
二、填空题
5.以地球中心为坐标原点,地球赤道平面为xOy坐标面,由原点指向北极点的连线方向为z轴正向,本初子午线所在平面为zOx坐标面,如图所示.若某地在西经60°,南纬45°,地球的半径为R,则该地的球坐标可表示为________.
解析:
由球坐标的定义可知,该地的球坐标为R,,.
答案:
6.已知点M的球坐标为,则它的直角坐标为________,它的柱坐标是________.
解析:
由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.
答案:
(-2,2,2)
7.设点M的直角坐标为(-1,-1,),则它的球坐标为________.
解析:
由坐标变换公式,
得r===2,
cosφ==,∴φ=.
∵tanθ===1,
又∵x<0,y<0,∴θ=.
∴M的球坐标为.
答案:
8.在球坐标系中,方程r=1表示________,方程φ=表示空间的________.
解析:
数形结合,根据球坐标的定义判断形状.
答案:
球心在原点,半径为1的球面 顶点在原点,轴截面顶角为的圆锥面
三、解答题
9.如图,请你说出点M的球坐标.
解:
由球坐标的定义,记|OM|=R,OM与z轴正向所夹的角为φ.设M在xOy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R,θ,φ)表示.
∴M点的球坐标为M(R,θ,φ).
10.已知点P的球坐标为,求它的直角坐标.
解:
根据坐标变换公式
得
∴点P的直角坐标为.
11.如图,建立球坐标系,正四面体ABCD的棱长为1,求A,B,C,D的球坐标.(其中O是△BCD的中心)
解:
O是△BCD的中心,则OC=OD=OB=,AO=.
∴C,D,B,A.
[对应学生用书P19]
[对应学生用书P19]
利用平面直角坐标系解决几何问题
1.利用问题的几何特征,建立适当坐标系,主要是兼顾到它们的对称性,尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴,y轴(坐标原点).
2.坐标系的建立,要尽量使我们研究的曲线的方程简单.
[例1] 线段AB与CD互相垂直且平分于点O,|AB|=2a,|CD|=2b,动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,求动点P的轨迹方程.
[解] 以AB的中点O为原点,直线AB为x轴建立直角坐标系,如图所示.设P(x,y),则A(-a,0),B(a,0),C(0,-b),D(0,b),由题设,知
|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.
∴·
=·.
化简得x2-y2=,
∴动点P的轨迹方程为x2-y2=.
平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(X,Y)对应点P′(x′,y′),称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.
[例2] 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线(X-5)2+(Y+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.
[解] 将代入(X-5)2+(Y+6)2=1中,
得(2x-5)2+(2y+6)2=1.化简,得
2+(y+3)2=.
该曲线是以为圆心,为半径的圆.
极坐标的求法
1.在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程F(ρ,θ)=0.如果曲线C是由极坐标(ρ,θ)满足方程的所有点组成的,则称此二元方程F(ρ,θ)=0为曲线C的极坐标方程.
2.平面上点的极坐标的表示形式不唯一,因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式,有些表示形式可能不满足方程,这里要求至少有一组能满足极坐标方程.
3.求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法,其在极坐标中仍然适用.注意求谁设谁,找出所设点的坐标ρ,θ的关系.
[例3] △ABC的底边BC=10,∠A=∠B,以B为极点,BC为极轴,求顶点A的轨迹的极坐标方程.
[解] 如图,令A(ρ,θ).
△ABC内,设∠B=θ,∠A=,
又|BC|=10,|AB|=ρ,所以由正弦定理,得=.化简,得A点轨迹的极坐标方程为ρ=10+20cosθ.
极坐标与直角坐标的互化
1.互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位.
2.互化公式为
3.直角坐标方程化极坐标方程可直接将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入即可,而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ,ρsinθ的整体形式,然后用x,y代替较为方便,常常两端同乘以ρ即可达到目的,但要注意变形的等价性.
[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程,并指出它们分别表示什么曲线.
(1)ρ=2acosθ(a>0);
(2)ρ=9(sinθ+cosθ);
(3)ρ=4;
(4)2ρcosθ-3ρsinθ=5.
[解]
(1)ρ=2acosθ,两边同时乘以ρ,
得ρ2=2aρcosθ,即x2+y2=2ax.
整理得x2+y2-2ax=0,即(x-a)2+y2=a2.
它是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆.
(2)两边同时乘以ρ得ρ2=9ρ(sinθ+cosθ),
即x2+y2=9x+9y,
又可化为2+2=.
它是以为圆心,以为半径的圆.
(3)将ρ=4两边平方得ρ2=16,即x2+y2=16.
它是以原点为圆心,以4为半径的圆.
(4)2ρcosθ-3ρsinθ=5,即2x-3y=5.
它是一条直线.
柱坐标系与球坐标系
1.柱坐标:
设M是空间内任意一点,它在xOy平面上的射影为M0,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点M0在平面xOy上的极坐标.这时点M的位置可由有序数组(ρ,θ,z)表示,叫做点M的柱坐标.
2.球坐标:
建立空间直角坐标系Oxyz,设M是空间任意一点,连接OM,记|OM|=r,OM与Oz轴正向所夹的角为φ,设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时,所转过的最小正角为θ,则M(r,θ,φ)为M点的球坐标.
[例5] 在柱坐标系中,求满足的动点M(ρ,θ,z)围成的几何体的体积.
[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱,如图所示,圆柱的底面半径r=1,h=2,∴V=Sh=πr2h=2π.
[例6] 如图,长方体OABC—D′A′B′C′中,OA=OC=a,BB′=OA,对角线OB′与BD′相交于点P,顶点O为坐标原点,OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上.试写出点P的球坐标.
[解] r=|OP|,φ=∠D′OP,θ=∠AOB,
而|OP|=a,∠D′OP=∠OB′B,
tan∠OB′B==1,∴∠OB′B=,
θ=∠AOB=.∴点P的球坐标为.
[对应学生用书P21]
一、选择题
1.点M的直角坐标是(-1,),则点M的极坐标为( )
A. B.
C.D.,k∈Z
解析:
选C ρ2=(-1)2+()2=4,∴ρ=2.
又∴
∴θ=π+2kπ,k∈Z.
即点M的极坐标为,k∈Z.
2.化极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0为直角坐标方程为( )
A.x2+y2=0或y=1 B.x=1
C.x2+y2=0或x=1D.y=1
解析:
选C ρ(ρcosθ-1)=0,ρ==0,或ρcosθ=x=1.
3.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为( )
A.一条射线和一个圆B.两条直线
C.一条直线和一个圆D.一个圆
解析:
选C ρcosθ=4sinθcosθ,cosθ=0,或ρ=4sinθ(ρ2=4ρsinθ),则x=0,或x2+y2=4y.
4.极坐标系内曲线ρ=2cosθ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )
A.-1B.-1
C.1D.
解析:
选A 将曲线ρ=2cosθ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径,即-1.
二、填空题
5.极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为________________.
解析:
原方程化为直角坐标方程为-=1,
∴c==,双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(,0),(-,0),故在极坐标系下,曲线的焦点坐标为(,0),(,π).
答案:
(,0),(,π)
6.点M的球坐标为,则它的直角坐标为________.
解析:
x=6·sin·cos=3,
y=6sinsin=3,
z=6cos=0,
∴它的直角坐标为(3,3,0).
答案:
(3,3,0)
7.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A,B两点,则|AB|=________.
解析:
过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x=3,曲线ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0,把x=3代入上式,得9+y2-12=0,
解得,y1=,y2=-,所以|AB|=|y1-y2|=2.
答案:
2
8.在极坐标系中,过点A(6,π)作圆ρ=-4cosθ的切线,则切线长为________.
解析:
圆ρ=-4cosθ化为(x+2)2+y2=4,点(6,π)化为(-6,0),故切线长为==2.
答案:
2
三、解答题
9.求由曲线4x2+9y2=36变成曲线X2+Y2=1的伸缩变换.
解:
设变换为将其代入方程X2+Y2=1,
得a2x2+b2y2=1.
又∵4x2+9y2=36,即+=1,
∴又∵a>0,b>0,
∴a=,b=.
∴将曲线4x2+9y2=36变成曲线X2+Y2=1的伸缩变换为
10.已知A,B两点的极坐标分别是,,求A,B两点间的距离和△AOB的面积.
解:
求两点间的距离可用如下公式:
|AB|===2.
S△AOB=|ρ1ρ2sin(θ1-θ2)|=2×4×sin=×2×4=4.
11.在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径为1.Q点在圆周上运动,O为极点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若P在直线OQ上运动,且满足=,求动点P的轨迹方程.
解:
(1)如图所示,设M(ρ,θ)为圆C上任意一点.在△OCM中,可知|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|=1,∠COM=.根据余弦定理,得1=ρ2+9-2·ρ·3·cos.化简整理,
得ρ2-6·ρcos+8=0为圆C的轨迹方程.
(2)设Q(ρ1,θ1),
则有ρ-6·ρ1cos+8=0.①
设P(ρ,θ),则OQ∶QP=ρ1∶(ρ-ρ1)=2∶3⇒ρ1=ρ,
又θ1=θ,所以
代入①得ρ2-6·ρcos+8=0,
整理得ρ2-15ρcos+50=0为P点的轨迹方程.
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- 高中数学 第一章 坐标系