北京四中高三上月考数学教师版.docx
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北京四中高三上月考数学教师版
2020北京四中高三(上)12月月考
数学
(2020.12.07)
(试卷满分为150分,考试时间为120分钟)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.若全集U=R,A={x\<\},B={x\x>-\},则()
A.AcBB.BcAC.BcQ.AD.Q.AcB
A.y=x+\
2•下列函数中,既是奇函数又是减函数的为()
C.y=—x
••/
A•竺4•圆x2+y2^2x-Sy+\3=0的圆心到直线av+y-1=0的距离为1,则“=()
43厂
A.--B.--C.J3D.2
34
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
学习是件很有意思的事
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
&设d>o,b>0.若是3。
与3力的等比中项,则丄+0的最小值为()
ab
A.4>/3B.4+dC.4+2>/3D.8
9.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是歼C,空气的温度是%°C,/min后物体的温度可由公式e=q)+(q-q)严24’求得•把温度是iooc的物体,放在io°c的空气中冷却min后,物体的温度是4o°c,若ln3取1.099,贝打的值约等于()
A.6.61B.4.58C.2.89D.1.69
10•对于数列{©},若存在常数M,使得对任意正整数”,你与5+]中至少有一个不小于M,则记作{©}aM,那么下列命题正确的是()
A.若匕}t>M,则数列{%}各项均不小于M
B.若{an}>M,{bn}t>M,则{an+bn}t>2M
C.若贝
D.{©}AM,贝i]{2d”+1}>IM+1
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.若直线2x—y—5=0与直线x+“y+3=0相互平行,则实数"等于:
这两条平行直线间的距离为
学习是件很有意思的事
15.如图放宜的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动•设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则/'(x)的最小正周
期为;y=/(x)在其两个相邻零点间的图象与*轴所圉区域的而积为.
三、解答题(本大题共6小题,共85分)
16.(本小题满分14分)
已知等比数列匕}的各项均为正数,如=8,角+角=4&
(I)求数列{©}的通项公式:
(1【)设化=log‘”.证明:
{b„}为等差数列,并求他}的前“项和S”.
17.(本小题满分14分)
2
已知椭圆W:
^-+y2=l,直线/过点(0,-2)与椭圆W交于两点A,B,O为坐标原点.
3
(I)设C•为43的中点,当直线/的斜率为二时,求线段0C的长;
2
(II)当△04B面积等于1时,求直线/的斜率.
18.(本小题满分14分)
已知函数/(x)=sin(亦+0)”>O,9|v|J满足下列3个条件中的2个条件:
1函数/(X)的周期为兀:
2x=-是函数/(X)的对称轴;
6
3f[^=0且在区间[彳,彳]上单调;
(I)请指出这二个条件并说明理由,求出函数才(兀)的解析式;
(II)若A-ekyI,求函数/⑴的最值.
19.(本小题满分14分)
已知抛物线C:
y2=2px点过点[o,]]作直线/与抛物线C交于不同的两点M,N,
<2丿
过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(I)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(H)求证:
A为线段的中点.
学习是件很有意思的事
20.(本小题满分14分)
已知函数/(%)=/lnx-2x.
(I)求曲线y=f(x)在点(1,/
(1))处的切线方程:
(II)求证:
存在唯一的X°w(l,2),使得曲线y=f(x)在点(无,/(无))处的切线的斜率为/
(2)-/
(1);
(III)比较/(1.01)与201的大小,并加以证明.
21.(本小题满分15分)
己知集合S”={(州,兀2,…,兀)|州,花…,兀是正整数1,2,3,…/的一个排歹lJ}(nX2),函数
2=g(q_q)+g(q_d2)+…+g(q_q)沱{2,3,…勺=°,
称勺为①的满意指数•排列勺血,…心为排列%吆…“的生成列・
(I)当〃=6时,写出排列3,5,1,462的生成列:
(II)证明:
若你勺,和4卫;,・・・山:
为S”中两个不同排列,则它们的生成列也不同:
(III)对于S”中的排列勺卫2,…山八进行如下操作:
将排列4,幻,・・・,色从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它齐项顺序不变,得到一个新的排列.证明:
新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.
2020北京四中高三(上)12月月考数学
参考答案
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分,请将答案填涂在答题卡上
1-5:
DBCAB6-10:
CCCBD
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分
3
14•答案不唯一,例:
3,-15.4,龙+1
2
三、解答题:
本大题共6小题,共85分
16.(本小题满分14分)
解:
(I)解:
设等比数列{d讣的公比为⑴依题意°>0・1分
因为4=8,a3+a4=48,
两式相除得彳+_6=0,
解得§=舍去q=—3.
所以q=乞=4・
q
所以数列{©}的通项公式为务=q・严=2灯・7分
(II)解:
由(I)得bn=\og4an=—.
n+2n+\
所以S“=nb{+〃(y=/?
+3//-.14分
z,124
17.(本小题满分14分)
33
解:
(I)当直线/的斜率为二时,直线/的方程为y=-x-2・
2•2
由<°得5兀2-12x+6=0,
—+v2=l
设B(吃』2),0(心』())・
则X,+X2=y
所以点C*的坐标x()=-,y0=-x0-2=--,
525
(II)设直线1:
〉,=总一2,
所以△=(16疋)一48(1+4疋)=16(4疋一3)
16k12
X]+=t,X.Xi=・
1+4疋-1+4疋
\AB\=Jl+£i+x_4x$2
4J1+T丿4疋一3
1+4/
原点o到直线/的距离d=-=L=
ji+疋
因为△⑷而积等于I,所以羊歹汀解得“±£
带入判别式检验,符合题意,所以“土弓
18.
(本小题满分14分)
③不成立.
当X=O或x=-时,函数f(x)取得最小值丄.14分
32
19.(本小题满分14分)
(1)抛物线C的方程为r=x,焦点坐标为(土°),准线方程为x=-i;
(2)见解析.
【解析】
(1)由抛物线C:
y2=2px过点P(l,l),得p=-.
2
所以抛物线C的方程为y2=A-.
抛物线C的焦点坐标为f-,oL准线方程为x=--.
\4)4
(2)由题意,设直线/的方程为>,=总+丄(《工0),/与抛物线Q的交点为N(X2』2)・2
由y=kx+-^得似2”+(4£一4)兀+1=0.
则丙+兀2=押,V2=-^T-
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点人的坐标为(易,)"・/、
直线ON的方程为点B的坐标为再,空・
因为”+車_2壬=甘10一2牡
<2兀
+2)X1+(处2+-^1-2^2
(2R—2)粘+扣2+召)
所以X+上、=2召.
£
故A为线段的中点.
20.(本小题满分14分)
解:
(I〉函数f(x)=x2\nx-2x的定义域是(0,z),
导函数为f\x)=2x\nx+x-2.[1分]
所以广
(1)=一1,又/
(1)=-2,
所以曲线y=/(x)在点(1J
(1))处的切线方程为y=—x—l.[4分]
(II)由已知f
(2)—f(l)=41n2—2.[5分]
所以只需证明方程2Ainx+x-2=41n2-2在区间(1,2)有唯一解.
即方程2xlnx+x-41n2=0在区间(1,2)有唯一解.[6分]
设函数g(x)=2xlnx+x_41n2,[7分]
则g'(x)=21nx+3.
当xg(1,2)时,g'(x)>0,故g(x)在区间(1,2)单调递增.[8分]
又g(l)=l_41n2<0,g
(2)=2>0,
所以存在唯一的心丘(1,2),使得g(x°)=0.[9分]
综上,存在唯一的x0e(l,2)),使得曲线y=f(x)在点(x0J(x0))处的切线的斜率为/
(2)-/
(1).
[10分]
首先证明:
当X>1时,/(x)>_x—1・
设〃(x)=f(x)-(-x-l)=x2lnx-x+1,[12分]
则h\x)=x+2x\nx-\.
当x>l时,x-l>0,2xlnx>0,
所以/i(x)>0,故/?
(x)在(l,z)单调递增,[13分]
所以x>l时,有/?
(x)>/?
(l)=O,
即当x>l时,有f(x)>-x-l.
所以/(1.01)>-1.01-1=-2.01.[14分]
21.(本小题满分15分)
解:
(I)解:
当〃=6时,排列3,5,1.4,62的生成列为0.1,・2,1,4,3.4分
(H)证明:
设坷卫2,…,陽的生成列是»$,•••,";a;,心,…,心的生成列是与
从右往左数,设排列勺卫2,・・・,5与…第一个不同的项为勺与心,即:
%=心a,
显然“=1几「…,4+日;心下面证明:
如工b;.
由满意指数的左义知,色的满意指数为排列即勺,…"中前项中比©小的项的个数减去比①大的项的个数.
由于排列4皿2,・「5的前斤项各不相同,设这斤项中有/项比你小,则有比―/一1项比匕大,从而$=/—(&_/—1)=2/—k+1.
同理,设排列4卫;,…4;中有/'项比“;小,则有k-r-1项比“;大,从而b;=2T-k+l.
因为d],°2,…,色与d:
d;,…是k个不同数的两个不同排列,且代H";,
所以It从而4H%・
学习是件很有意思的事
所以排列绚,“2,…,©和4,…,4的生成列也不同.io分
(III)证明:
设排列舛,勺,…的生成列为久%…,“,且"&为竹,勺,…,®中从左至右第一个满意指数为
负数的项,所以^,>0,b2>0,-,bk_}>^bk<-\.11分
依题意进行操作,排列旳,“2,…,勺变为排列给坷宀,…“",%],…“,设该排列的生成列为b;,b;,…也.
13分
所以(b;+b;+•••+肉)一(玄+$+•••+’)
=[g(5-绞)+£(6-绞)+…+g(绞-厂-[g仏一a2)+・・・+g(("-%)]
=-2[g(@-®)+g(@-a2)+・・・+g(©-5-j]
=-2bk>2.
所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.15分
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12/12
2
12•已知双曲线C:
x2*4-—=1,则渐近线方程为:
离心率丘为・
4
13.已知函数f(x)=x\nx+x2,且心是函数/(x)的极值点,给岀以下几个命题:
(D0 ®x0>-: ③/(心))+兀<0: ④f(x°)+Xo>0, 其中正确命题的序号是. 14•能够说明“存在不相等的正数心b,使得a+b=ab-是真命题的一组gb的值为・
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