一元二次方程的应用.docx
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一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
2.某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售,销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
3.雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元,第三天收到捐款12100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;
(2)按照
(1)中收到捐款的增长率速度,第四天该单位能收到多少捐款?
4.如图所示,在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
(1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积;
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.
5.“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.
(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?
(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车进价为1000元/辆,售价为1300元/辆.根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?
6.小林准备进行如下操作实验;把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,小林该怎么剪?
(2)小峰对小林说:
“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗?
请说明理由.
7.某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件,为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件.
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?
8.2010年底某市汽车拥有量为100万辆,而截止到2012年底,该市的汽车拥有量已达到144万辆.
(1)求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度,要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆,预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%,求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求.
9.根据遵义市统计局发布的2011年遵义市国民经济和社会发展统计公报相关数据,我市2011年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①,2010年与2011年社会消费品销售额按行业划分绘制条形统计图②,根据图中信息回答下列问题:
(1)图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是 _________ 度,乡村消费品销售额为 _________ 亿元;
(2)2010年到2011年间,批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行业是 _________ ;
(3)预计2013年我市的社会消品总销售额到达504亿元,求我市2011﹣2013年社会消费品销售总额的年平均增长率.
10.如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
11.某商场新进一批商品,每个成本价25元,销售一段时间发现销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间成一次函数关系,如下表:
x(元/个)
30
50
y(个)
190
150
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若该商品的销售单价在45元~80元之间浮动,
①销售单价定为多少元时,销售利润最大?
此时销售量为多少?
②商场想要在这段时间内获得4550元的销售利润,销售单价应定为多少元?
12.小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地,妈妈准备在该空地上建造一个花园,并使花园面积为空地面积的一半,小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选,请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x值.
13.随着“十一五”期间中央系列强农惠农政策的出台,农民的收入和生活质量及消费走势发生了巨大的变化,农民的生活消费结构趋于理性化,并呈现出多层次的消费结构,为了解我市农民消费结构状况,随机调查了部分农民,并根据调查数据,将2008年和2010年我是农民生活消费支出情况绘成了如下的统计图表:
请解答如下问题:
(1)2008年的生活消费,支出总额是多少?
支出费用中支出最多的项目是哪一项?
(2)2010年我市农民生活消费支出构成表中a、b、c的值分别是多少?
(3)2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率是多少?
14.如图①:
要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2:
3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
分析:
由横、竖彩条的宽度比为2:
3,可设每个横彩条的宽为2x,则每个竖彩条的宽为3x.为更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如图②的情况,得到矩形ABCD.
结合以上分析完成填空:
如图②:
用含x的代数式表示:
AB= _________ cm;AD= _________ cm;矩形ABCD的面积为 _________ cm2;列出方程并完成本题解答.
15.如图1的矩形包书纸示意图中,虚线是折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的正方形,正方形的边长为折叠进去的宽度.
(1)如图2,《思维游戏》这本书的长为21cm,宽为15cm,厚为1cm,现有一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书,展开后如图1所示.求折叠进去的宽度;
(2)若有一张长为60cm,宽为50cm的矩形包书纸,包2本如图2中的书,书的边缘与包书纸的边缘平行,裁剪包好展开后均如图1所示.问折叠进去的宽度最大是多少?
16.如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米.
(1)用含x的式子表示横向甬道的面积;
(2)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用为239万元?
17.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2,求道路的宽.
(部分参考数据:
322=1024,522=2704,482=2304)
18.如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16厘米,AD=6厘米.动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以2厘米/秒的速度向点B移动,点Q以1厘米/秒的速度向点D移动,当点P到达点B时,两动点同时停止.问:
(1)两动点经过几秒时,使得BP=CQ;
(2)两动点经过几秒时,使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的
;
(3)连接BQ,两动点经过几秒,使得△BQP是等腰三角形(直接写出答案).
一元二次方程的应用
参考答案与试题解析
解:
(1)设每轮传染中平均每人传染了x人,1+x+x(x+1)=64x=7或x=﹣9(舍去).
答:
每轮传染中平均一个人传染了7个人;
(2)64×7=448(人).
解:
设单价降低x元销售,由题意得出:
200×(10﹣6)+(10﹣x﹣6)(200+50x)+(4﹣6)[(600﹣200)﹣(200+50x)]=1250,即800+(4﹣x)(200+50x)﹣2(200﹣50x)=1250,整理得:
x2﹣2x+1=0,
解得:
x1=x2=1,∴10﹣1=9.
解:
(1)设捐款增长率为x,根据题意列方程得,10000×(1+x)2=12100,解得x1=0.1,x2=﹣2.1(不合题意,舍去);答:
捐款增长率为10%.
(2)12100×(1+10%)=13310元..
解:
(1)ab﹣4x2;
(2)依题意有:
ab﹣4x2=4x2,将a=6,b=4,代入上式,得x2=3,解得x1=
,x2=﹣
(舍去).即正方形的边长为
解:
(1)设平均增长率为a,根据题意得:
64(1+a)2=100解得:
a=0.25=25%或a=﹣2.25
四月份的销量为:
100(1+25%)=125(辆).答:
四月份的销量为125辆.
(2)设购进A型车x辆,则购进B型车
辆,根据题意得:
2×
≤x≤2.8×
解得:
30≤x≤35利润W=(700﹣500)x+
(1300﹣1000)=9000+50x.∵50>0,∴W随着x的增大而增大.当x=35时,
不是整数,故不符合题意,
∴x=34,此时
=13(辆).答:
为使利润最大,该商城应购进34辆A型车和13辆B型车.
解:
(1)设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为(40﹣x)cm,由题意,得
(
)2+(
)2=58,解得:
x1=12,x2=28,当x=12时,较长的为40﹣12=28cm,
当x=28时,较长的为40﹣28=12<28(舍去)∴较短的这段为12cm,较长的这段就为28cm;
(2)设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为(40﹣m)cm,由题意,得
(
)2+(
)2=48,变形为:
m2﹣40m+416=0,∵△=(﹣40)2﹣4×416=﹣64<0,
∴原方程无解,∴小峰的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.
解:
(1)由题意,得60(360﹣280)=4800元.答:
降价前商场每月销售该商品的利润是4800元;
(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价x元,由题意,得(360﹣x﹣280)(5x+60)=7200,解得:
x1=8,x2=60∵有利于减少库存,∴x=60.
解:
(1)设2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x,根据题意,100(1+x)2=144
1+x=±1.2∴x1=0.2=20%x2=﹣2.2(不合题意,舍去)
(2)设2012年底到2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为y,根据题意得:
144(1+y)﹣144×10%≤155.52解得:
y≤0.18
解:
(1)根据2011年城镇消费品销售额占总额80%,得出“乡村消费品销售额”所占百分比为:
1﹣80%=20%,则“乡村消费品销售额”所占的圆心角是:
360°×20%=72°;利用条形图可知:
消费总额为:
50+260+40=350亿元,故乡村消费品销售额为:
350×20%=70亿元;故答案为:
72,70;
(2)利用条形图可得:
批发业:
35(1+x)=50,解得:
x=
,零售业:
220(1+y)=260,
解得:
y=
,餐饮住宿业:
35(1+z)=40,解得:
z=
,∵
>
>
,
∴批发业销售额增长的百分数最大;故答案为:
批发业;
(3)根据2011年销售总额为350亿元,设年平均增长率是x.根据题意,得
350(1+x)2=504,1+x=±1.2,x1=20%,x2=﹣2.2(不合题意,应舍去).
答:
我市2011﹣2013年社会消费品销售总额的年平均增长率是20%.
解:
设AB=x米,则BC=(50﹣2x)米.根据题意可得,x(50﹣2x)=300,解得:
x1=10,x2=15,当x=10,BC=50﹣10﹣10=30>25,故x1=10(不合题意舍去),答:
可以围成AB的长为15米,BC为20米的矩形.
解:
(1)设y=kx+b(k≠0)由题意得:
;解得
;∴y=﹣2x+250;
(2)设该商品的利润为W元.∴W=(﹣2x+250)×(x﹣25)=﹣2x2+300x﹣6250=﹣2(x2﹣150x+752)+2×752﹣6250=﹣2(x﹣75)2+5000.∵﹣2<0,∴当x=75时,W最大,此时销量为y=﹣2×75+250=100(个).
(3)(﹣2x+250)×(x﹣25)=4550x2﹣150x+5400=0,∴x1=60,x2=90.∵x<80,∴x=60.
解:
选择方案一解答.据题意,得(8﹣x)(6﹣x)=
×8×6.解得:
x1=12,x2=2.x1不合题意,舍去.
∴x=2.
解:
(1)支出总额为2370+360+1060+390+420+400=5000,食品支出最多;
(2)a=6050﹣605﹣2630﹣521﹣1380﹣430=484,c=605÷6050=0.1,b=1﹣0.43﹣0.09﹣0.23﹣0.07﹣0.1=0.08;
(3)设2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率是x,由题意得5000×(1+x)2=6050,
解得:
x=0.1=10%,或x=﹣2.1(舍去),答:
2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率10%.
解:
(1)(20﹣6x),(30﹣4x),(24x2﹣260x+600);
(2)根据题意,得24x2﹣260x+600=(1﹣
)×20×30,整理,得6x2﹣65x+50=0,解方程,得x1=
,x2=10(不合题意,舍去),则2x=
,3x=
,
解:
(1)设折叠进去的宽度为xcm,则(2x+15×2+1)(2x+21)=875,化简得x2+26x﹣56=0,
∴x=2或﹣28(不合题意,舍去),即折叠进去的宽度为2cm.
(2)设折叠进去的宽度为xcm,则
①
得x≤﹣
,不符合题意;
②
得x≤﹣3,不符合题意;
③
得x≤2;
④
得x≤﹣
,不符合题意;
⑤
得x≤2;
⑥
得x≤4.5.
综上,x≤4.5.即折叠进去的宽度最大为4.5cm.
解:
(1)中间横道的面积=
(120+180)•x=150x,
(2)甬道总面积为150x+160x﹣2x2=310x﹣2x2,绿化总面积为12000﹣S花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用:
239=5.7x+(12000﹣S)×0.02,239=5.7x﹣0.02S+240,239=5.7x﹣0.02(310x﹣2x2)+240,
239=0.04x2﹣0.5x+240,0.04x2﹣0.5x+1=0,4x2﹣50x+100=0,x1=2.5,
∵甬道的宽不能超过6米,即x≤6,∴x2=10,不合题意舍去,解得:
x=2.5,
当x=2.5时,所建花坛的总费用为239万元.
解法
(1):
解:
利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,根据题意得:
(20﹣x)(32﹣x)=540
整理得:
x2﹣52x+100=0解得:
x1=50(舍去),x2=2
解法
(2):
解:
利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,根据题意得:
20×32﹣(20+32)x+x2=540
整理得:
x2﹣52x+100=0解得:
x1=2,x2=50(舍去)答:
道路宽应是2米.
解:
(1)设两动点经过t秒时,使得BP=CQ.
则16﹣2t=t,
解得t=
.
(2)设两动点经过x秒时,使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的
.则
(CQ+BP)•BC=
AB•AD,即
×(x+16﹣2x)×6=
×16×6,
解得x=
.答:
两动点经过
秒时,使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的
;
(3)两动点经过k(0≤k≤8)秒,使得△BQP是等腰三角形
①当BP=QP时,过点Q作QH⊥BP于点H.
则PQ=
,
所以16﹣2k=
,
整理得5k2﹣32k+36=0,
解得k1=
,k2=
;
②当BP=BQ时,BQ=
.
则16﹣2k=
,
整理得3k2﹣64k+220=0.该方程无解;
③当QP=BQ时,
=
,即
=
,
整理得,(16﹣3k)2=k2,解得k3=4,k4=8.
综上所述,当两动点经过
秒或
秒或4秒或8秒时,使得△BQP是等腰三角形
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- 一元 二次方程 应用