运用解直角三角形解决的实际问题.doc

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运用解直角三角形解决的实际问题

运用解直角三角形知识来解决应用问题，要在充分理解题意的基础上，将实际问题抽象为数学问题，建立起与解直角三角形知识有关的数学模型，计算时要力求准确，并会按要求的精确度进行近似计算．

C

B

A

北

东

图1

例1（聊城市中考题）美丽的东昌湖滨于江北水城以灵性，周边景点密布．如图所示，为湖滨的两个景点，为湖心一个景点．景点在景点的正东，从景点看，景点在北偏东方向，景点在北偏东方向．一游客自景点驾船以每分钟米的速度行驶了分钟到达景点，之后又以同样的速度驶向景点，该游客从景点到景点需用多长时间（精确到分钟）？

分析：

要求游客从景点到景点需用多长时间，需求的长，可通过解和分别求出，从而利用求出，问题得解．

解：

根据题意，得．

C

B

A

北

东

Ｄ

图2

过点作垂直于直线，垂足为（如图2）．

在中，，

．

在中，．

．．

即该游客自景点驶向景点约需27分钟．

例2（娄底市中考题）去年夏季山洪暴发，我市好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45º时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60º．改造后斜坡BE与地面成45º角，求AE至少是多少米？

（精确到0.1米）

B

D

C

F

E

A

N

例2

分析：

由已知，考虑过作于，将置于直角三角形中，在再通过解和，求出，再利用，求出，问题得解．

解：

在中，米，，

（米），米．

连接，过作于，

，四边形是矩形．米．

在中，由已知，当时，米．

米．

所以至少是11米．

例3（自贡市中考题）如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用例3

所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少？

（精确到0.01m）

分析：

此类问题的解题思路是构建直角三角形模型，一般需要将两个直角三角形联系起来，通过列方程解决问题．

解：

过C作CE⊥AB于E，则CE为河宽．

设CE＝x（米），于是BE＝x＋60（米）．

在Rt△BCE中，tan30°＝，∴x＝x＋60．∴x＝30（＋1）≈81.96（米）．

例4

所以河宽约为81.96米．

例4（资阳市中考题）一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形.现需将其整修并进行美化，方案如下：

①将背水坡AB的坡度由1：

0.75改为1∶；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.

（1）求整修后背水坡面的面积；

（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？

分析：

解决本题的关键在于准确计算出整修后背水坡面面积，然后比较种草与种花不同的种植方案所需要的花费.

解：

（1）作AE⊥BC于E.

因为原来的坡度是1∶0.75，所以=.

设AE=4k，BE=3k，所以AB=5k，又因为AB=5米，所以k=1，则AE=4米.

设整修后的斜坡长为AB′，由整修后坡度为1∶，有，所以=30°.

所以AB′=2AE=8米.所以整修后背水坡面面积为90×8=720米2.

（2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2.

因为要依次相间地种植花草，有两种方案：

第一种是种草5块，种花4块，需要20×5×80+25×4×80=16000元；

第二种是种花5块，种草4块，需要20×4×80+25×5×80=16400元.

所以应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元.

例5（长沙市中考题）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：

小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？

姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？

（可能用到的参考数值：

，，）

分析：

本题是一道设计比较新颖的实际问题，要判断乘电梯是否会碰头，从图形来看需要计算电梯和天花板之间的最小距离，然后与人的高度比较.

例5

解：

如图3，作CD⊥AC交AB于D，则∠CAB=27°，

在Rt△ACD中，CD=AC·tan∠CAB=4×0.51=2.05（米）.

所以小敏不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险．

3/3