几种高等数学中的构造函数法1汇总.docx

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几种高等数学中的构造函数法1汇总

编号

几种高等数学中的构造函数法

摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用.

关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法

中图分类号O172

Theconstructorofhighermathematics

ChengyanInstructorWangRenhu

（N.O.06,Class1of2009.SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,Departmentof

Mathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000,China）

AbstractTheconstructormethodinhighermathematicsisanimportantwayof

thinking,Studyfound,analogy,andguess,experimentandinduction,etc,Towiden,traininganalysisproblem,problem-solvingabilityandtheinnovationisbeneficial.Thispaperbrieflyintroducedthemethodanditsapplication.

Keywordstectonic;analysis;Severalformcombination;Forpoormethod;observation

1分析法

分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明.

例1.1[1]拉格朗日中值定理如果函数f（x）在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,那么在a,b内至少有一点ab,使等式f（b）f（a）f'（）（ba）成立.

分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F（x）.欲证f'（）f（b）f（a）

ba,需证

f（ξ）-

'

f（b）-f（a）b-af（b）-f（a）⎡

=0,而等式左边可转化为⎢f（x）-

b-a⎣

⋅x

⎤

于是,可取函数x⎥⎦x=ξ

'

F（x）=f（x）-

f（b）-f（a）b-a

容易验证F（x）满足罗尔定理的条件,顺此思路,即可证本定

理.

例1.2[3]设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内可导,又f（x）不是线性函数,且f（b）>f（a）.试证ξ∈（a,b）,使得f'（ξ）>

f（b）-f（a）b-a

.

f（b）-f（a）b-a

（x-a）

分析过点（a,f（a））与（b,f（b））的线性函数为y=f（a）+是线性函数,则

F（x）≡f（x）-f（a）-

f（b）-f（a）b-a

因f（x）不

（x-a）≠0

只要证明F'（ξ）=f'（ξ）-

f（b）-f（a）b-a

>0

即可.

f（b）-f（a）b-a

（x-a）

证明设辅助函数F（x）=f（x）-f（a）-

则F（x）在[a,b]上连续,在

（a,b）内可导,F（a）=F（b）.由于F（x）≠0,存在x0∈（a,b）,使F（x0）≠0.

当F（x0）>0时,由Lagrange中值定理,∃ξ∈（a,x0）使F'（ξ）=即f'（ξ）>

F（b）-F（a）

b-a

F（x0）-F（a）

x0-a

>0

.

F（b）-F（x0）

b-x0

>0,即f（ξ）>

'

当F（x0）<0时,同理,∃ξ∈（x0,b）,使F'（ξ）=

F（b）-F（a）

b-a

.

例1.3[5]计算n阶行列式

a+x1

D=

a+x1

a+x1

n

a+x2a+x2

a+x2

n

a+xna+xn

a+xn

n

.

分析该题直接利用行列式“两项和性质”显然无法实现,如果后一列乘（-1）加到前一列,虽然每一列有公因式可提,但行列式中的元素却变得更复杂,无法进行计算.但从行列式D中可以捕捉到“范德蒙行列式的影子”,所以,应想办法构造一个行列式,既让它等于D,又能转化为范德蒙行列式.于是,有下列解法.

解构造行列式,即先将原n阶行列式D加边成一个n+1阶行列式,

1000

n2

1a+x1a+x1

a+x1

n

2

2

2

1a+x2a+x2

a+x2

n2

2

1a+xna+xn,a+xn

2

n2

然后将此n+1阶行列式第一行乘-ai（i=1,2,„,n）加到第i+1行,再将所得行列式按第一列拆成两个n+1阶行列式相减,并根据范德蒙行列式可得,

1-a

1x1x1x11x1x1x1

2

2

1x2x2x21x2x2x2

2

2

1xn

2

1xnxnxn

n2

D=-a2

-a20

n

n

n

1a

2

1x1x1x1

2

1x2x2x2

2

1xnxnxn

n2

=0

xn--axn

n

n

n

a

n

n

n

=2x1x2xn

∏（x

1≤i≤j≤n

i

-xj）-∏（xi-a）⋅

i=1

n

∏（x

1≤i≤j≤n

i

-xj）

n

⎡⎤

=∏（xi-xj）⎢2x1x2xn-∏（xi-a）⎥.

1≤i≤j≤ni=1⎣⎦

2数形结合法

建立在数形结合基础上的几何图像常能引导人们去获得解决问题的方法,通过对几何

图像的观察,构造出符合条件的辅助函数,使问题得以解决.

例2.1[2]设f（x）在[a,+∞）内连续、可导,且当x>a时f'（x）>k>0（k为常数）,如果

f（a）⎤⎡

f（a）<0,则方程f（x）=0在⎢a,a-

k⎥⎣⎦

内有且仅有一个根,如图2.

线段AB的斜率刚好为k,y=f（x）在AB的上方,因此很容易找到辅助函数（曲线与直线之差）

证明

（1）存在性.

作辅助函数F（x）=f（x）-[k（x-a）+f（a）],则F（a）=0,

f（a）⎤f（a）⎤⎡⎡,F⎢a-=fa-⎥⎢⎥kk⎣⎦⎣⎦

因为F'（x）=f'（x）-k>0,所以F（x）单调增加,故

f（a）⎤f（a）⎤⎡⎡F⎢a-=fa->F（a）=0,⎥⎢⎥k⎦k⎦⎣⎣

因此,由f（a）<0,f⎢a-

⎣

根.

（2）唯一性.⎡f（a）⎤>0k⎥⎦及连续函数的性质,f（x）在⎢a,a-⎣⎡f（a）⎤k⎥⎦内至少有一个

由f'（x）>0,f（x）单调增加,所以f（x）在⎢a,a-

⎣⎡f（x）⎤k⎥⎦内至少有一个根,问题得证.

例2.2[4]某人身高1.5米,站立在离河岸3米处往水中看去恰好看到对岸河边一根电线杆在水中的倒影,已知水面低于河岸0.5米,河宽15米,求电线杆的高度.

解我们如下构造图形,

河宽为FD,离河岸CB处身高为AB的人从A点往河中看,正好看到电线杆GH在水中整个倒影FM.F,E,D点在水面所处的直线上,H,C,B在河岸所处的直线上.其中AB=1.5m,BC=3m,FE+ED=15m,HF=CD=0.5m,求GH.

易证∆ABC∽∆CDE,∆ABC∽∆GEF.

因此ED

CD=BC

AB⇒ED=1m,GH+HF

EF=AB

BC⇒GH=6.5m,即电线杆的高为6.5m.

例2.3[4]设x,y,z都在（0,1）内,求证:

x（1-y）+y（l-z）+z（1-x）<1.

分析证明代数不等式,直接从条件人手难达目的,注意结论并考虑条件可知:

x,y,z,1-y,1-z,1-x均为正数,且似两线段积之

和,给每个正数赋予线性形象,从线性联想三角形面积公式S=1

2absinc构造一边长为1的正三角形ABC.

在AB,BC,CD上各取一点P,Q,E使得

AP=x,BQ=z,CD=y,

则BP=1-x,CQ=1-z,AE=1-y,

由图易知S∆ABC=S∆APE+S∆BPQ+S∆CQE不等式成立.

3作差法

通过作差的方法构造辅助函数

对于形如f（x）>g（x）（或f（x）

1.构造函数F（x）=f（x）-g（x）;

2.证F'（x）>0（或<0）得出单调性

;

3.求出f（x）在区间端点之一处的函数值或极限值;

4.最后根据函数单调性及区间端点的函数值得出所证的不等式.例3.1[2]证明当x>0时,x>ln（1+x）.

证明令F（x）=x-ln（1+x）,x≥0,当x>0时F'（x）=1-

11+x

=

x1+x

>0,所以F（x）

在

（0,∞）上单调递增.又

x>ln（1+x）.

F（0）=0

故当x>0时,F（x）>F（0）=0,即x-ln（1+x）>0,所以

例3.2[2]设f（x）在[a,b]上连续且单调增加,求证

⎰

b

a

xf（x）dx≥

a+b2

⎰

b

a

f（x）dx

分析将要证明的不等式中的b换成x,构造变上限定积分

F（x）=

⎰

x

a

tf（t）dt-

a+x2

⎰

x

a

f（t）dt

然后证明F（b）≥0.

证明令F（x）=

F（x）=xf（x）-

'

⎰

x

a

tf（t）dt-a+x2

a+x2

⎰

x

a

f（t）dt

则F（a）≥0,且对任意的x∈[a,b],有

12

12

⎰

x

a

f（t）dt-f（x）=

x-a2

f（x）-

⎰

x

a

f（t）dt=

12

⎰[f（x）-

a

x

f（t）]dt≥0

因此,f（x）在[a,b]上单调递增,又a≤t≤x,所以f（x）≥f（t）.可见F（x）单调递增,从而F（b）≥F（x）=0,即得⎰xf（x）dx≥

a

b

a+b2

⎰

b

a

f（x）dx

.

例3.3[3]设f（x）在[a,b]上连续且a

pf（c）+qf（d）=（p+q）f（ξ）（p,q）为正常数.

证明作辅助函数

F（x）=（p+q）f（x）-pf（c）-qf（d）,

因为F（x）在[c,d]⊂[a,b]上连续,又F（c）=q[f（c）-f（d）],F（d）=p[f（d）-f（c）],且p,q为正常数,所以F（c）⋅F（d）=-pq[f（c）-f（d）]≤0.

2

（1）当f（c）=f（d）时，F（c）=F（d）=0,则当ξ取c或d时,F（ξ）=0.即pf（c）+qf（d）=（p+q）f（ξ）.

（2）当f（c）≠f（d）时，

F（c）⋅F（d）<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈（c,d）⊂（a,b）,使F（ξ）=0,

即pf（c）+qf（d）=（p+q）f（ξ）

此方法在证明函数单调性、证明不等式等等证明题中经常用到.

4观察法

将欲证结果适当等价变形;替换;找原函数;作辅助函数.关键是适当"等价变形".例4.1[2]设f（x）在[a,b]（00（a

'f（ξ）f（ξ）'=ξ.

分析

（1）变形f（ξ）

f（ξ）'

'=ξ,ξf（ξ）-f（ξ）=0,'ξf（ξ）-f（ξ）ξ2=0,

（2）替换xf（x）-f（x）

x2=0,

⎡f（x）⎤（3）找原函数⎢=0,⎥⎣x⎦'

（4）作辅助函数F（x）=

证明作辅助函数F（x）=

F（a）=f（a）

a,F（b）=f（b）

bf（x）x.,因为F（x）在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,又f（x）x,且af（b）-bf（a）=0,所以F（a）=F（b）,F（x）满足罗尔定理,可得

存在ξ∈（a,b）,使F'（ξ）=0.

因此F（ξ）='ξf（ξ）-f（ξ）'

ξ2=0,即ξf（ξ）-f（ξ）=0,所以'f（ξ）f（ξ）'=ξ.

例4.2[3]设函数f（x）在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f（0）=0,f

（1）=1,试证对任意的λ∈R,必存在ξ∈（0,1）,使得f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1.

分析由f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1得到f'（x）-λf（x）=1-λx,由一阶非齐次微分方程的通解公式得

λdx⎡-λdx⎰dx+c⎤=eλxxe-λx+c=ceλx+x,（）f（x）=e⎰1-λxe⎰⎢⎥⎣⎦[]

即（f（x）-x）e-λx=c,于是便得到要找的辅助函数F（x）=（f（x）-x）e-λx.

证明设F（x）=（f（x）-x）e-λx,则F（x）在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且F（0）=F

（1）=0,所以满足罗尔定理,即对任意的λ∈R,必存在ξ∈（0,1）,使得

F（ξ）=f（ξ）-1-λ（f（ξ）-ξ）e'[']-λξ=0,

即f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1.

总之,通过构造辅助函数,我们可以利用知道的结论和定理来解决目前的题目,需要注意的是原题和辅助题目应是等价的,构造辅助函数的方法是多种多样的,具体问题应具体分析,只要我们仔细分析各类数学问题与函数的直接或间接联系,大胆联想、猜测、推理,就可以构造出合适的函数,恰当地使用构造函数法在高等数学解题中往往能起到事半功倍的功效.

参考文献

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[2]黄光谷,余尚智.高等数学方法导论[M].第2版.武汉:

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同济大学出版社,1999.

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