三角形全等4.docx
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三角形全等4.docx
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三角形全等4
全等三角形
51、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,并且DE=DF.求证:
(1)△ADE≌△CDF;
(2)四边形ABCD是菱形.
52、四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.
(1)求证:
△ADE≌△ABF;
(2)填空:
△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点,按顺时针方向旋转 度得到;
(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
53、已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图
(1).易证BD+AB=
CB,过程如下:
过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE.
∵四边形ACDB内角和为360°,∴∠BDC+∠CAB=180°.
∵∠EAC+∠CAB=180°,∴∠EAC=∠BDC.
又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=
CB.
又∵BE=AE+AB,∴BE=BD+AB,∴BD+AB=
CB.
(1)当MN绕A旋转到如图
(2)和图(3)两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图
(2)给予证明.
(2)MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=
时,则CD= 2 ,CB=
+1 .
54、如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:
BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:
△AEF≌△BCF.
55、一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于点O,点PD分别在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于点E,求证:
△BPO≌△PDE.
(1)理清思路,完成解答
(2)本题证明的思路可用下列框图表示:
根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程.
(2)特殊位置,证明结论
若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证:
AP=CD.
(3)知识迁移,探索新知
若点P是一个动点,点P运动到OC的中点P′时,满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′,请直接写出CD′与AP′的数量关系.(不必写解答过程)
56、已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF
(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;
①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
②若正方形ADEF的边长为2
,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.
57、已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 ,QE与QF的数量关系式 ;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
58、
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=
其中
为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
m
59、(2013•常德压轴题)已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.
(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:
MB∥CF;
(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;
(3)如图2,当∠BCE=45°时,求证:
BM=ME.
全等三角形
51、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,并且DE=DF.求证:
(1)△ADE≌△CDF;
(2)四边形ABCD是菱形.
解:
(1)∵DE⊥AB,DF⊥BC∴∠AED=∠CFD=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C,
∵在△AED和△CFD中
∴△AED≌△CFD(AAS);
(2)∵△AED≌△CFD,∴AD=CD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.
52、四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.
(1)求证:
△ADE≌△ABF;
(2)填空:
△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点,按顺时针方向旋转 90 度得到;
(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°,
而F是DCB的延长线上的点,∴∠ABF=90°,
在△ADE和△ABF中
,∴△ADE≌△ABF(SAS);
(2)解:
∵△ADE≌△ABF,∴∠BAF=∠DAE,而∠DAE+∠EBF=90°,
∴∠BAF+∠EBF=90°,即∠FAE=90°,∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90度得到;故答案为A、90;
(3)解:
∵BC=8,∴AD=8,在Rt△ADE中,DE=6,AD=8,
∴AE=
=10,∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90度得到,
∴AE=AF,∠EAF=90°,∴△AEF的面积=AE2=×100=50(平方单位).
53、已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图
(1).易证BD+AB=
CB,过程如下:
过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE.
∵四边形ACDB内角和为360°,∴∠BDC+∠CAB=180°.
∵∠EAC+∠CAB=180°,∴∠EAC=∠BDC.
又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=
CB.
又∵BE=AE+AB,∴BE=BD+AB,∴BD+AB=
CB.
(1)当MN绕A旋转到如图
(2)和图(3)两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图
(2)给予证明.
(2)MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=
时,则CD= 2 ,CB=
+1 .
(1)如图
(2):
AB﹣BD=
CB.
证明:
过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°﹣∠DCE,∠BCD=90°﹣∠ECD,
∴∠BCD=∠ACE.∵DB⊥MN,∴∠CAE=90°﹣∠AFC,∠D=90°﹣∠BFD,
∵∠AFC=∠BFD,∴∠CAE=∠D,又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=
CB.
又∵BE=AB﹣AE,∴BE=AB﹣BD,∴AB﹣BD=
CB.
如图(3):
BD﹣AB=
CB.
证明:
过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,
∵∠ACD=90°,∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB,
∴∠BCD=∠ACE.∵DB⊥MN,
∴∠CAE=90°﹣∠AFB,∠D=90°﹣∠CFD,
∵∠AFB=∠CFD,∴∠CAE=∠D,又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=
CB.
又∵BE=AE﹣AB,∴BE=BD﹣AB,∴BD﹣AB=
CB.
(2)如图
(1),过点B作BH⊥CD于点H,
∵∠ABC=45°,DB⊥MN,∴∠CBD=135°,∵∠BCD=30°,∴∠CBH=60°,∴∠DBH=75°,
∴∠D=15°,∴BH=BD•sin45°,∴△BDH是等腰直角三角形,
∴DH=BH=
BD=
×
=1,∵∠BCD=30°∴CD=2DH=2,
∴CH=
=
,∴CB=CH+BH=
+1;
54、如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:
BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:
△AEF≌△BCF.
证明:
(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAE=∠EAC,
在△ABE和△ACE中,
,∴△ABE≌△ACE(SAS),∴BE=CE;
(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF,
∴△ABF为等腰直角三角形,∴AF=BF,
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠EAF+∠C=90°,∵BF⊥AC,
∴∠CBF+∠C=90°,∴∠EAF=∠CBF,
在△AEF和△BCF中,
,∴△AEF≌△BCF(ASA).
55、一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于点O,点PD分别在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于点E,求证:
△BPO≌△PDE.
(1)理清思路,完成解答
(2)本题证明的思路可用下列框图表示:
根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程.
(2)特殊位置,证明结论
若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证:
AP=CD.
(3)知识迁移,探索新知
若点P是一个动点,点P运动到OC的中点P′时,满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′,请直接写出CD′与AP′的数量关系.(不必写解答过程)
(1)证明:
∵PB=PD,∴∠2=∠PBD,∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠C=45°,
∵BO⊥AC,∴∠1=45°,∴∠1=∠C=45°,
∵∠3=∠PBO﹣∠1,∠4=∠2﹣∠C,∴∠3=∠4,
∵BO⊥AC,DE⊥AC,∴∠BOP=∠PED=90°,在△BPO和△PDE中
∴△BPO≌△PDE(AAS);
(2)证明:
由
(1)可得:
∠3=∠4,∵BP平分∠ABO,
∴∠ABP=∠3,∴∠ABP=∠4,在△ABP和△CPD中
∴△ABP≌△CPD(AAS),∴AP=CD.
(3)解:
CD′与AP′的数量关系是CD′=
AP′.
理由是:
设OP=PC=x,则AO=OC=2x=BO,
则AP=2x+x=3x,由
(2)知BO=PE,PE=2x,CE=2x﹣x=x,
∵∠E=90°,∠ECD=∠ACB=45°,∴DE=x,由勾股定理得:
CD=
x,
即AP=3x,CD=
x,∴CD′与AP′的数量关系是CD′=
AP′
56、已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF
(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;
①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
②若正方形ADEF的边长为2
,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.
证明:
(1)∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=∠ABC=45°,∴AB=AC,
∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAF,
则在△BAD和△CAF中,
,∴△BAD≌△CAF(SAS),∴BD=CF,
∵BD+CD=BC,∴CF+CD=BC;
(2)CF﹣CD=BC;(3)①CD﹣CF=BC
②∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=∠ABC=45°,∴AB=AC,
∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°﹣∠BAF,∠CAF=90°﹣∠BAF,
∴∠BAD=∠CAF,∵在△BAD和△CAF中,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD,∵∠ABC=45°,∴∠ABD=135°,∴∠ACF=∠ABD=135°,
∴∠FCD=90°,∴△FCD是直角三角形.
∵正方形ADEF的边长为2
且对角线AE、DF相交于点O.
∴DF=
AD=4,O为DF中点.∴OC=
DF=2.
57、已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 AE∥BF ,QE与QF的数量关系式 QE=QF ;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
解:
(1)AE∥BF,QE=QF,理由是:
如图1,∵Q为AB中点,∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ,在△BFQ和△AEQ中
∴△BFQ≌△AEQ(AAS),∴QE=QF,故答案为:
AE∥BF,QE=QF.
(2)QE=QF,证明:
如图2,延长FQ交AE于D,∵AE∥BF,∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中
∴△FBQ≌△DAQ(ASA),∴QF=QD,∵AE⊥CP,
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,∴QE=QF=QD,即QE=QF.
(3)
(2)中的结论仍然成立,
证明:
如图3,延长EQ、FB交于D,∵AE∥BF,∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中
,∴△AQE≌△BQD(AAS),∴QE=QD,∵BF⊥CP,
∴FQ是斜边DE上的中线,∴QE=QF.
58、
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=
其中
为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
m
(图1)
证明:
(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m
∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD
又AB=AC∴△ADB≌△CEA∴AE=BD,AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE
E
(2)∵∠BDA=∠BAC=
,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°—
∴∠DBA=∠CAE
∵∠BDA=∠AEC=
,AB=AC∴△ADB≌△CEA∴AE=BD,AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE
(3)由
(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE
(图3)
∵△ABF和△ACF均为等边三角形∴∠ABF=∠CAF=60°
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF
∴△DBF≌△EAF∴DF=EF,∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
∴△DEF为等边三角形
59、(2013•常德压轴题)已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.
(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:
MB∥CF;
(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;
(3)如图2,当∠BCE=45°时,求证:
BM=ME.
(1)证法一:
如答图1a,延长AB交CF于点D,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,∴点B为线段AD的中点,又∵点M为线段AF的中点,
∴BM为△ADF的中位线,∴BM∥CF.
证法二:
如答图1b,延长BM交EF于D,
∵∠ABC=∠CEF=90°,∴AB⊥CE,EF⊥CE,∴AB∥EF,
∴∠BAM=∠DFM,∵M是AF的中点,∴AM=MF,
∵在△ABM和△FDM中,
,∴△ABM≌△FDM(ASA),∴AB=DF,
∵BE=CE﹣BC,DE=EF﹣DF,∴BE=DE,∴△BDE是等腰直角三角形,
∴∠EBM=45°,∵在等腰直角△CEF中,∠ECF=45°,∴∠EBM=∠ECF,∴MB∥CF;
(2)解法一:
如答图2a所示,延长AB交CF于点D,则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD=a,AC=AD=
a,
∴点B为AD中点,又点M为AF中点,
∴BM=
DF.
分别延长FE与CA交于点G,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,
∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=
a,∴点E为FG中点,又点M为AF中点,
∴ME=
AG.∵CG=CF=
a,CA=CD=
a,∴AG=DF=
a,∴BM=ME=
×
a=
a.
解法二:
∵CB=a,CE=2a,∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a,∵△ABM≌△FDM,∴BM=DM,
又∵△BED是等腰直角三角形,∴△BEM是等腰直角三角形,∴BM=ME=
BE=
a;
(3)证法一:
如答图3a,延长AB交CE于点D,连接DF,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,AC=CD,
∴点B为AD中点,又点M为AF中点,∴BM=
DF.
延长FE与CB交于点G,连接AG,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,
∴CE=EF=EG,CF=CG,
∴点E为FG中点,又点M为AF中点,∴ME=
AG.
在△ACG与△DCF中,
,∴△ACG≌△DCF(SAS),∴DF=AG,∴BM=ME.
证法二:
如答图3b,延长BM交CF于D,连接BE、DE,∵∠BCE=45°,
∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°,
∴AB∥CF,∴∠BAM=∠DFM,∴M是AF的中点,∴AM=FM,
在△ABM和△FDM中,
,∴△ABM≌△FDM(ASA),
∴AB=DF,BM=DM,∴AB=BC=DF,
∵在△BCE和△DFE中,
,∴△BCE≌△DFE(SAS),
∴BE=DE,∠BEC=∠DEF,
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形,又∵BM=DM,∴BM=ME=
BD,故BM=ME.
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