第二章 24 第2课时等比数列的性质.docx
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第二章24第2课时等比数列的性质
第2课时 等比数列的性质
学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质,并能用相关性质简化计算.
知识点一 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q,则
an=a1qn-1①
=amqn-m②
=
·qn③
其中当②中m=1时,即化为①.
当③中q>0且q≠1时,y=
·qx为指数型函数.
知识点二 等比数列常见性质
(1)对称性:
a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m且n,m∈N*);
(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an;
(3)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列;
(4)在等比数列{an}中,连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或
)的等比数列;
(5)若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),
,{a
}都是等比数列,且公比分别是q,
,q2.
(6)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与
也都是等比数列,公比分别为pq和
.
1.an=amqn-m(n,m∈N*),当m=1时,就是an=a1qn-1.( )
2.等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是单调数列.( )
3.若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.( )
4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列.( )
题型一 等比数列通项公式的推广应用
例1 等比数列{an}中.
(1)已知a4=2,a7=8,求an;
(2)若{an}为递增数列,且a
=a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式an.
反思感悟
(1)应用an=amqn-m,可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式,不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1,q共同确定,但只要单调,必有q>0.
跟踪训练1 已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于( )
A.21B.42C.63D.84
题型二 等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
反思感悟 抓住各项序号的数字特征,灵活运用等比数列的性质,可以顺利地解决问题.
跟踪训练2 设各项均为正的等比数列{an}满足a4a8=3a7,则log3(a1a2…a9)等于( )
A.38B.39C.9D.7
题型三 由等比数列衍生的新数列
例3 已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于( )
A.4
B.6C.7D.5
反思感悟 借助新数列与原数列的关系,整体代换可以减少运算量.
跟踪训练3 等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,求a36的值.
等比数列的实际应用
典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?
[素养评析]
(1)等比数列实际应用问题的关键是:
建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题,解数学模型即解等比数列问题.
(2)发现和提出问题,建立和求解模型,是数学建模的核心素养的体现.
1.在等比数列{an}中,若a2=8,a5=64,则公比q为( )
A.2B.3C.4D.8
2.等比数列{an}中,若a2a6+a
=π,则a3a5等于( )
A.
B.
C.
D.
3.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比是( )
A.
B.
C.2D.2
4.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,求插入的6个数的积的值.
5.已知an=2n+3n,判断数列{an}是不是等比数列?
1.解题时,应该首先考虑通式通法,而不是花费大量时间找简便方法.
2.所谓通式通法,指应用通项公式,前n项和公式,等差中项,等比中项等列出方程(组),求出基本量.
3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要.
一、选择题
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
2.在等比数列{an}中,若a2019=8a2016,则公比q的值为( )
A.2B.3C.4D.8
3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为( )
A.100B.-100
C.10000D.-10000
4.等比数列{an}中,a1+a2=3,a2+a3=6.则a8等于( )
A.64B.128C.256D.512
5.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列,则该等比数列的公比q为( )
A.
B.3C.±
D.±3
6.(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为( )
A.8B.9C.10D.11
7.(2018·济南模拟)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于( )
A.12B.13C.14D.15
二、填空题
8.设数列{an}为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=.
9.已知数列{an}是等比数列,且an>0,a3a5+2a4a6+a5a7=81,则a4+a6=.
10.已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=.
11.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则a41a42a43a44=.
三、解答题
12.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
13.在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.
14.在等比数列{an}中,若a7a11=6,a4+a14=5,则
=.
15.在等差数列{an}中,公差d≠0,a1,a2,a4成等比数列,已知数列a1,a3,
,
,…,
,…也成等比数列,求数列{kn}的通项公式.
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