高等代数知识点.docx

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高等代数知识点

第一章

定义1数域

定义2数域P上的一元多项式

定义3多项式相等

定义4一元多项式环

带余除法

定义5整除

定理1r（x）=0

定义6最大公因式

定理2d（x）=u（x）f（x）+v（x）g（x）;

（f（x）,g（x））=u（x）f（x）+v（x）g（x）

定义7互素（f（x）,g（x））=1

定理3u（x）f（x）+v（x）g（x）=1

定理4f，g互素且f|gh，贝Uf|h

推论f1|g,f2|g，且fl,f2互素，则f1f2|g,

定义8不可约多项式

定理5一个不可约多项式p，能够表达成P|fg,

贝Up|f或者p|g

因式分解及其唯一性定理数域P上的一个多项式f,都可以唯

一的分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积。

第四章

1转轴----坐标系（xl,y1,z1）至9（x2,y2,z2）的坐标变换矩阵是A,如果令X1=（x1,y1,z1）的转置，X2=（x2,y2,z2）的转置，则X1=AX2。

2单位矩阵E=数量矩阵为kE=

如：

AE=A,EA=A

3矩阵的加法,乘法,减法,结合律,交换律,零矩阵

4秩（A+B）秩A+秩B

5女口：

A=则矩阵的数量乘积

kA=

6矩阵的转置记作A的转置为A'。

例如A=

则A'=

注意：

转置的性质（A'）'=A（A+B）'=A'+B'（AB）'=B'A'

（kA）'=kA'

定理1假设AB是数域P上的两个nn矩阵，那么|AB|=|A||B|

即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积

推论1|A1A2An|=|A1||A2||An|

定义6数域P上的一个nn矩阵A,如果|A|0,称为非退化的，

否则称为退化的

推论2假设AB是数域P上的两个nn矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的

定理2假设A是数域P上的nm矩阵，B是数域P上的ms矩阵，于是秩（AB）min［秩A，秩B］。

即乘积的秩不超过个因子的秩

推论3如果A=A1A2An，那么秩Amin（秩Ai）

定义7如果有n级方阵B，使得AB=BA=E则n级方阵A称为是可逆的

定义8如果有n级方阵B，使得AB=BA=E那么B就称为A的逆矩阵，记作A-1

定义9假设Aij是矩阵A=中aij的代数余子式，

矩阵A*=称为A的伴随矩阵。

*

AA=AA*=dE

其中d=|A|

定理3矩阵A可逆的充分必要条件是A是非退化的，

而a-1=-a*

推论如果A,B可逆，那么AB与A，也可逆，

且（AyTAj'ABJ^E^A-1

注意：

对于一个线性方程组，系数矩阵为A，X=（x1,x2,）'等

号后面的B=（b1,b2bn）'那么AX=B,X=A1B,则X是线性方程组的唯一解

定理4A是一个s矩阵，如果P是ss可逆矩阵，Q是n

可逆矩阵，那么秩A=aPA=KAQ,（利用的是乘积的秩小于等于各因子的秩）

性质AB=0的充分必要条件是B列向量是AX=0的解

矩阵的分块的性质对于相n的A矩阵和m的矩阵，如

果A的行的分法与B的猎德分法相同，那么，分块矩阵的乘法运算和非分块矩阵的运算一样。

矩阵B的行向量B1B2Bm，那么B=，那么

AB=

。

有上面的AB可得，

AB的行向量是B伯2Bm的线性组合。

不全是零，其余地方的数全是零

一种特殊形式。

而对角矩阵是准对角矩阵的一种特殊形式

对于有相同分块的两个准对角矩阵，如果他们相应的分块是同级的，那么它们的加法，乘法所得的结果仍然是准对角矩阵

定义10由单位矩阵经过一系列的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

注意：

1P（i,j）表示互换E的i,j行互换E的i,j列；P（i（c））表示用数域P的一个非零的常数c乘E的i行或i列；P（i，j（k））表示把矩阵E的j行乘k加到i行上，或者是表示矩阵E的i列乘k加到j列上。

2P（i，j）-1=P（i，j），P（i（c））-1=P（i（c-1）），P（i，j（k））-1=P（i，j（-k））

定义11如果B可以由A经过一系列的初等变换得到，那么就称A与B等价

定理5任意一个sxn的矩阵A都与一形式为的矩

阵等价，那么它就称为A的标准形，其中1的个数等于A的秩1的个数可以是0。

等价的性质如果两个sxm的矩阵A,B,他么人呢等价的充要条件是他们的秩相等。

注意；矩阵A,B等价A,B的秩相等A,B的标准形相同存在初等矩阵P1P2Ps,Q1Q2…Qm，使得

A=P1P2PsBQ1Q2…Qm

定理6n级矩阵A为可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩

阵的乘积的形式，即A=Q1Q2…Qm。

A与E等价。

推论1两个sxm的矩阵AB等价的充要条件是存在可逆的

sxs矩阵P,mxm矩阵Q使得A=PBQ

推论2可逆矩阵一定能经过一系列初等变换转换成单位矩阵

推论2的应用；n级可逆矩阵A与n级单位矩阵E合成一个新

的nx2n矩阵（AE）,Q1Q2…Qm（AE）=（EA-1）

单位矩阵的分块相应的得到初等分块矩阵

（以上5个仅仅

是行变换得到的，另外列变换还有5个）特例；

课本P198第二题的（7）（8）

定义如果AB=BA那么矩阵B就称为与A可交换性质1与对角矩阵可交换的矩阵仍然是对角矩阵

2假设A是nxn矩阵，证明：

存在一个nxn非零的矩阵B

使得AB=0的充要条件是|A|=0

3nxn矩阵A,B,满足A

B=0,那么秩A+秩B

注意：

求A-1的方法1直接假设A-1的矩阵，使得A与假设的矩阵相乘得E,利用矩阵对应元素相等得出A-1

方法2利用A-1=1/dA*

方法3利用（A,E）得出（E,A-1）

第五章二次型

二次型的形式：

22

f（x1,x2）=aiiXi+2ai2XiX2++2ainXiXn+a22X2+2a2nX2Xn+…・・

+annxnxn

定义i非退化的线性替换

注：

i二次型的矩阵都是对称的

2f（xi,x2）=X'AX=

3非退化线性替换X=CY,则X'AX=Y'C'ACY=Y'BY

定义2合同满足存在数域P上的可逆的n级矩阵使得

B=C'C（其中A不一定是对称的矩阵）

合同的性质：

反身性，对称性，传递性

注意：

二次型经过非退化的线性替换，新的二次型的矩阵与原来的二次型矩阵是合同的

定理i数域P上若任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换转化成平方和的形式

定理2在数域P上，任何一个对称矩阵都合同于一个对角矩

阵

二次型转化成标准形后的矩阵是对角矩阵二次型的规范性完全被它的秩确定

定理3任意一个复系数的二次型，规范性唯一

同的充要条件是他们的秩相等

定理4任意一个实数域的二次型的规范性唯一

定理5任意一个实对称矩阵合同于

定义3正惯性指数p,负惯性指数q,符号差p-q。

其中p+q==次型的秩标准形中正的平方项的个数与规范性中正的平方项的个数相等

定义4正定二次型

定理6正定二次型的正惯性指数等于n

定义5如果X'AX是正定的,那么实对称矩阵A是正定的

性质实对称矩阵正定当且仅当它与E合同

推论正定矩阵的行列式大于零

定义6顺序主子式

定理7二次型正定充要条件是全部的顺序主子式大于零

定义7负定,半正定,半负定,不定

定理8二次型半正定正惯性指数=秩有可逆矩阵C使得

C'C=其中di>0所有的主子式都》0有实矩阵C使得A=C'C

A是正定的，那么所有的主子式都大于零

A是正定矩阵，那么A-1也是正定的

A是一个实矩阵，那么秩A'=aA

、亠、、/:

第八早

1集合就是作为整体看的一堆东西，组成集合的东西称为元

素，集合之间的交并包含于以及元素与集合间的属于和不属于。

2映射就是运算法则

3恒等映射或者单位映射：

即

（）（）=（

5原像，像，单射，满射，双射，

在这里，毎个像部有原像・这样的映射叫做i鬲射.同时r对于不相同的原像就有不相等的像,因此这样的映射叫做单軾一个既是单射又是满射的映射叫做双軾左圏为一个双射的映肘，可以看出原壕元秦的个数与像的元秦的个数相等。

61M=（）1M'=

定义1线性空间：

如果加法与数量乘法满足下述规则加法满足下面四条规则

1=

2（）

3在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有，

0+=（具有这个性质的元素0称为零元素）

4对于V中每一个元素，都有V中的元素使得

数量乘法满足满足

51=

6k（p）=（kp）

数量乘法与加法满足

7（k+l）=k+l

8k（）=k

（在以上的规则中，常数属于数域P,向量属于集合V中

的任意元素）

8数域P上的一元多项式环P[x],构成数域P上的相形空间，如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x]n

元素属于数域P的的mxn矩阵，记作Pmxn

分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的线性空间，

这个线性空间记作Pn

9线性空间的元素叫做向量，线性空间又称为向量空间

定义2线性组合

定义3向量组的等价

定义4线性相关，线性无关

定义5线性空间的维数：

最多有n个线性无关的向量，那么线性空间的，如果能找到任意多个，就称为线性空间是无限维的

任意一个向

唯一确定的，这

的坐标，记作

定义6n维线性空间V中的一组基

量都可以用它们表示a=

其中a1,a2：

an是被a和

组数a1,a2：

an就称为在基

（a1,a2,---.an）

定理1如果线性空间中有n个线性无关的向量

且V中的任意一个向量都可以用它们表示，那么V是n维的，

而是V的一组基

10基变换与坐标变换（）=A

其中A=，A称为由基，到

的过度矩阵

11同一个向量在不同基下的坐标

定义7线性子空间（满足加法封闭和数乘封闭，即：

如果

W包含a,那么它就包含a的倍数，如果a,b属于W，那么，a+b也属于W）

定理2线性子空间注：

零子空间,平凡子空间,非平凡子空间

由a1,a2：

ar向量生成的子空间记作L（a1,a2rar）

定理31）两个向量组生成的子空间相同的充要条件是两向

量组等价2）L（a1,a2--.ar）的维数等于a1,a2,,,,,,,ar的秩

定理4任意一个子空间的基一定能扩充为整个空间的基

定理5如果V1V2是V的线性子空间，那么ViQV2也

是V的线性子空间

定义V1与V2的和记作V1+V2={a+b|a€V1,b€V2}、

定理6如果V1,V2是V的线性子空间，那么它们的和V1+V2也是V的子空间

性质L（a1,a2厂ar）+L（b1,b2・•：

bs）=L（a1,a2厂ar,b1,b2,—bs）

定理7如果V1,V2是V的线性子空间，那么，维V1+维V2=维（V1+V2）+维（V1QV2）

推论如果n维的线性空间V中的两个子空间V1/V2的维数之和大于n,那么V1,V2一定含有非零的公共向量

定义9如果和中的每个向量a,都有分解式a=a1+a2,al€

V1,a2€V2,分解式是唯一的，这个和就称为直和记作

V1©V2

定理8和V1+V2是直和的充要条件是等式a1+a2=0,al€

V1,a2€V2,只有在al,a2全为零时成立

简称：

零向量的分解式是唯一的

推论和V1+V2是直和的充要条件是V1QV2={0}

定理9和W=V1+V2是直和的充要条件是维W=维V1+维V2

定理10假设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在

一个子空间W使得V=U◎

定义10假设V1,V2,V3。

。

。

。

Vs是线性空间V的子空间，如果和V1+V2+。

。

。

。

+Vs中的向量a的分解式

a=a1+a2+ai属于Vi是唯一的

定理11V1,V2,oooVs是V的线性子空间，下面的条件

是等价的

1）W=V1+V2+ooo+Vs是直和

2）零向量的分解式是唯一的

3）ViQ={0}

4）维W=维

定义11数域P上的两个线性空间V和V称为同构的，如

果有V到V有一个双射，具有以下性质:

）

2））

这样的映射称为同构映射

性质V中的向量组a1,a2,ooas线性相关的充要条件是它

们的像线性相关。

同构的线性空间有相同的维数。

同构映射的

逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。

数域P上任意两个n维线性空间都同构

定理12数域P上的两个有限维线性空间同构的充要条件它们有相同的维数

性质：

假设a1,a2--an是n维线性空间的一组基，A是一个n

xs矩阵，（b1,b2「bs）=（a1,a2,--an）A则L（b1,b2,・・bs）的维数

等于A的秩

注意：

求直和时要先求是不是和，然后再看是不是直和求同构映射时要先看是不是双射，再看是不是满足法则求维数时要充分利用线性相关，齐次线性方程组的性质做题时要谨记定义，利用定义解题，牢记性质，还要注意知识点的连接

技巧：

AB=C,那么ABX=CX，利用ABX=CX=0其实X就是解，利用基础解系的个数与秩的关系，求出AB与C的秩的关系

第七章

定义1线性空间V的一个变换称为线性变换，如果对于

线性空间V中的任意元素和数域P中的任意常数k都

有=k

注意它与同构映射，映射，线性子空间的比较、

经过线性变换，保持线性关系，线性组合式不变

线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组线性变换的运算

单位变换和E的性质差不多，，如果满足

那么线性变换是可逆的

线性变化的性质1线性变换的乘积还是线性变化2线性变换的乘积也适合结合律3线性变换的乘法一般不适合

交换4线性变换的和还是线性变换线性变换的加法适合结合律和交换律5如果线性变换是可逆的，那么它的逆变换也是线性变换6线性变换的多项式记作

7假设是i线性空间的一组基，如果两个线性变换线性变换在这组基上的作用效果相同，即（i）=（i），那么；对于任意一组向量

，一定有一个线性变换使得（）=i定理1设是i线性空间V的一组基，。

。

。

。

是

v中任一n个向量，存在唯一的线性变换使得（）

性变换，基向量的像可以被基线性表示出来，

（，

，）=（

）

=（

）A其中A=

，矩阵A称为

线性变换

在基的下的矩阵，

并且矩阵是唯一的（线

性变换和基一旦确定矩阵A就被唯一确定，同样，基和A被确定，那么也会被唯一确定）定理2在相同基下，1）线性变换的和对应矩阵的和2）线性变换的乘积对应矩阵的乘积

3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积

4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵定理3假设线性变换

在基下的矩阵是，向量在这组基下的坐标则在这组基下的坐标是（y1,y2：

・yn）可以按公式

（y1,y2….・yn）'A

定理4假设线性空间V中的线性变换在两组基

a1,a2・・an;b1,b2・・bn

下的坐标分别为A,B,从al・・an到b1,-bn的过度矩阵是X,那么b=x1ax

定义3假设AB是数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X,使得B=X“AX，就说A相似于B,记作AsB

相似的性质1）反身性2）对称性3）传递性定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看做同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵

性质：

如果B=^1AX,且f（x）是数域P上的一个一元多项式，那么，f（B）=X-1f（A）X

定义4设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中的一个数0，存在一个非零的向量，使得，那么，0称为的一个特征值，而称

为的属于特征值0的一个特征向量

性质：

1如果是线性变换的属于特征值0的特征向量，那么，的任意非零倍数也是线性变换的属于0的特征向量，所以特征向量不是被特征值唯一确定的，相反，特征值却被特征向量唯一确定，因为一个特征向量只属于一个特征值

2线性变换在基下的矩阵A,特征向量在这组基下的坐标是（X1,X2,……Xn）,特征值是°,那么，可以化成A（x1,x2,xn）'=0（x1,x2,xn）'或者写成（oE—A）（x1,x2,Xn）'0,那么的坐标满足齐次

线性方程组

定义5设A是数域P上的一个n级矩阵，是一个文字，矩阵E-A的行列式称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式

注意：

特征值及其特征向量的求法步骤1）假设一组基，

然后写出线性变换在这组基下的矩阵A2）求出A的

特征多项式3）令特征多项式等于零，所得的解就是特征值4）将特征值带入齐次线性方程组，解得基础解系，这组基础解系就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量

定义1特征子空间线性变换的任意一个特征

值，全部适合条件的向量所组成的集合，也

就是的属于的全部特征向量再添上0向量所组成的集合，是V的一个线性子空间，称为的一个特征子空间，记为Vk。

显然，Vk的维数就是属于k的线性无关的特征向量的最大个数，Vk={，}

2A的全部特征值的和为a11+a22+・・+ann（称

为A的迹），而A的全部特征值的积等于|A|。

定理6相似的矩阵具有相同的特征多项式注意：

特征多项式与基的选取无关，一个线性变换在任意一组基下的矩阵的特征多项式是相同的，都成为线性变换的特征多项式

哈密顿一凯莱定理假设A是数域P上的一个nxn矩

阵，f（）=E-A|是A的特征多项式，贝畀f（A）=An

—（a11+a22+・・+ann）An-1+・・+（-i）n|A|E=O定理7线性变换在一组基下的矩阵是对角矩阵的充要条件是线性变换有n个线性无关的特征向量定理8属于不同特征值的特征向量是线性无关的推论1如果在n维线性空间V中，线性变换的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即有n个不同的特征值，那么，线性变换在某组基下的矩阵是对角形的推论2在复数域上的线性空间中，如果线性变换的特征值没有重跟，那么线性变换在某组基下的矩阵是对角形的

定理9等价于定理8

性质：

线性变换在一组基下的矩阵是对角形的充要条件是线性变换的特征子空间的维数之和等于空间的维数注意：

这里主要是求对角矩阵，方法步骤1）先确定一组基，2）令线性变换在这组基下的矩阵为给出的矩阵A3）求出A的特征多项式4）求出A的特征值5）

带入齐次线性方程组求出基础解系6）用假设的基表示

基础解系7）线性变换在基础解系下的矩阵就是对角矩阵，对角线上的数就是特征值（理解，这里主要是利用同一线性变换下的矩阵是相似的，相似的矩阵的特

征值是相同的）

定义6线性空间V的一个线性变换，的全体像组成的集合称为的值域，用表示。

所有被变成零向量的向量组成的集合称为的核，记为-1（0）性质：

线性变换的值域和核都是V的子空间。

值域的维数称为的秩，-1（0）的维数称为的

零度

定理10假设是线性空间V的一个线性变换，1

n是V的一组基，在这组基下的矩阵是A,则1）

的值域是由基像组成的子空间2）的秩=A的秩

（的秩等于基像组的秩）定理11值域基的原像以及核的一组基构成V的一组

基，且的秩+-1（0）的零度=V的维数=n

推论对于有线维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射注意：

虽然值域的维数+零度=n，但是-1（0）

并不一定是整个空间，下图表示了这种关系

i=i,原因如下

在这里定义絃性变换为Af向量为m,如果

A",那么A心分析如下:

AIAakAlai

定义7假设是数域P上线性空间V的线性变换，W

是V的子空间，如果W中的向量的像仍然在W中，换

句话说，对于W中的向量任意,€W，那么，我

们就称W是的不变子空间，简称一子空间

性质：

1整个空间V和零子空间，对于每个线性变换的

不变子空间2的值域与核都是的不变子空间

4如果线性变换与可交换，那么，的核与值域都是

的不变子空间4任何一个子空间都是数乘变换的不

变子空间5特征子空间也是不变子空间6不变子空

间的交与和还是不变子空间7W=L（a1,a2・・・.as）是

—子空间的充要条件是还属于W

8假设V可以分解成若干个一子空间的直和：

V=W1@W2@。

。

。

@Ws,在每一个子空间Wi中取基

aii,aj2,,。

。

。

ais,并把它们合并成V的一组基T,在

在Wi的基ai1,ai2,,。

。

。

ais下的矩阵；反之，如果线

性变换在基T下的矩阵是准对角形的，则由基aii,

ai2,,。

。

。

ais生成的子空间Wi是-子空间。

由此可得：

矩阵分解为准对角形与线性空间分解为不变子空间的直和是相当的。

定理12假设线性变换的特征多项式为f（k）,它可

以分解成一次因式的乘积

f（k）=（k-ki）r1（k-k2）r2-（k-ks）rs。

则V可以分解成不变子空间的直和V=W1@W2@。

。

。

@Ws，其中Wi=（内容看课本P309）

当块，由若干个若尔当块组成的准对角形矩阵称为若尔当形矩阵注意：

若尔当形矩阵是下三角形矩阵，主对角线上的元素是特征多项式的根（重跟按重数计算）

小结：

1可逆变换是双射

2与全体线性变化可交换的线性变化是数乘变化

3与全体矩阵可交换的矩阵是数量矩阵

4在某组确定基下，线性变换与方阵之间是双射

5一线性变换在任意一组基下的矩阵是相同的，那么这个线性变换是一个数乘变换

5求核AX=0,就是求X;求值域时，利用基的像是值域

的基

6如果A与B相似C与D相似，则与相似

7P[x]n的一组基是1，x，xn/2!

...,xn-1/（n-1）!

第八章

定义以数域P中的数位元素的矩阵称为数字矩阵，记作A;如果一个矩阵，它的元素是的多项式，这样的矩阵称为—矩阵，记作A（）

定义1—矩阵的秩是r,如果有r级子式不等于0,而