垂杨柳中学二次方程不等式和函数应用题复习专题.docx
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垂杨柳中学二次方程不等式和函数应用题复习专题
二次方程、不等式和函数的应用题
垂杨柳中学巴彦秀
一、知识点:
1.一元二次方程的应用;
2.二次函数的应用;
3.利用二次函数图象和性质解决有关一元二次方程、二次函数最值、不等式的实际问题。
二、
设未知数、列代数式、找(不)相等关系函数关系,
解题思路:
式,函数式等
利用二次函数图象解方程,不等
列二次方程或函数关系等
实际问题数学问题
双检验
实际问题的答案数学问题的解
1.理解问题;
2.分析问题中的量和量之间的关系,列出代数式;
3.根据题目中的相等关系,列出一元二次方程或二次函数关系式;
4.求解(利用二次函数图象和性质可以解出任何二次方程、二次函数最值、不等式的解);
5.检验结果的合理性等.
三、重、难点
难点:
审清题,找出相等关系;理解一元二次方程,二次不等式与二次函数之间的关系。
重点:
用含未知数的代数式表示需要的各量。
四、本专题分为三课时
(如果学生基础好,第三课时可以不用)
第一课时(矩形面积=长×宽)
教学目的:
1.通过培养学生对实际问题的审题和分析,帮他们找“抓问题关键词”的方法,能够找到量与量的之间关系,从而达到列出一元二次方程或二次函数解决实际问题的目的.
2.题设结合实际图形给出了一定数与量的关系,要求在分析的基础上直接写出函数关系式,并进行应用。
解答的关键是认真分析题意,正确写出数量关系式。
还要注意自变量的取值范围。
3.培养学生分析问题、应用适当的数学模型解决实际问题的能力。
例题选讲
例1.如图,在一面靠墙(墙的最大可用长度为8米)的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。
(1)面积为S=20平方米,求AB的长?
(2)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;
(3)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?
解:
(1)∵AB为x米、篱笆长为24米
∴花圃宽为(24-4x)米
∴x(24-4x)=20
(说明:
相等关系---从面积公式得出,列一元二次方程可以解决,但要注意验根)
(2)∵AB为x米、篱笆长为24米
∴花圃宽为(24-4x)米
∴S=x(24-4x)
=-4x2+24x
x>0
∵24-4x>0
24-4x<8
∴(4≤x<6)
(说明:
把二次函数关系式与一元二次方程进行比较,让学生体会它们之间的区别和联系,要注意自变量的取值范围的根据以及与验根的联系)
(3)分析:
虽然当x=
=3时,
S最大值=
=36(平方米)
但是墙的可用长度为8米
∴0<24-4x≤84≤x<6
∴当x=4cm时,S最大值=32平方米
答:
若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积是32平方米。
(说明:
借助二次函数图象的直观性,当顶点的横坐标不在自变量的取值范围内,运用图象法求出二次函数的最大值或最小值)
练习:
1.(2011东城期末)如图,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2,请你计算AB的长度(可利用的围墙长度超过6m).
2.(2011西城期末)学校要围一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另
三边用总长为36米的篱笆恰好围成(如图所示).设矩形
的一边AB的长为x米(要求AB<AD),矩形ABCD的面
积为S平方米.
(1)求S与
之间的函数关系式,并直接写出自变量
的取值范围;
(2)要想使花圃的面积最大,AB边的长应为多少米?
第一课时学案(矩形面积=)
例题选讲
例1.如图,在一面靠墙(墙的最大可用长度为8米)的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。
(1)面积为S=20平方米,求AB的长?
(2)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;
(3)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?
练习:
1.(2011东城期末)如图,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2,请你计算AB的长度(可利用的围墙长度超过6m).
2.(2011西城期末)学校要围一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另
三边用总长为36米的篱笆恰好围成(如图所示).设矩形
的一边AB的长为x米(要求AB<AD),矩形ABCD的面
积为S平方米.
(1)求S与
之间的函数关系式,并直接写出自变量
的取值范围;
(2)要想使花圃的面积最大,AB边的长应为多少米?
第二课时(总利润=总收入—总成本)
教学目的:
1.通过培养学生对实际问题的审题和分析,帮他们找“抓问题关键词”的方法,能够找到量与量的之间关系,从而达到列出一元二次方程或二次函数解决实际问题的目的.
2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,利用二次函数的图象展开,突出体现数形结合思想。
3.培养学生分析问题、应用适当的数学模型解决实际问题的能力。
难点:
理解二次函数、二次方程与一元二次不等式(二次函数最值)的关系。
例题选讲
例1 某商场销售一批名牌衬衫.平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天多售出2件.求:
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)若要使商场平均每天盈利最多,请你帮助设计方案.
解:
(1)设每件衬衫应降价x元,则(40-x)(20+2x)=l200.
整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.
因为要尽快减少库存,∴x=20.
(2)商场每天盈利(40-x)(20+2x)=-2(x-15)2+1250.
当x=15时,商场盈利最多,共1250元.
答:
(1)每件衬衫应降价20元.
(2)每件衬衫降价15元时,商场盈利最多.
说明(相等关系:
单价×件数=销售总额;总利润=总收入—总成本。
然后再利用二次函数求最值。
)
例2某超市销售一款进价为50元/个的书包,物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个,市场调查发现:
以60元/个的价格销售,平均每周销售书包100个;若每个书包的销售价格每提高1元,则平均每周少销售书包2个.
(1)求该超市这款书包平均每周的销售量y(个)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;
(2)求该超市这款书包平均每周的销售利润w(元)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)当每个书包的销售价为多少元时,该超市这款书包平均每周的销售利润最大?
最大利润是多少元?
解:
(1)由题意,有
,
即
(2)由题意,有
,
即
(3)∵抛物线
的开口向下,在对称轴
的左侧,
随
的增大而增大.(说明思路:
利用二次函数的图象的直观性,突出体现数形结合思想。
)
由题意可知
∴当
时,
最大为1600.
因此,当每个书包的销售价为70元时,该超市可以获得每周销售的最大利润1600元.
(说明:
1.比较例1和例2中的自变量x,它们的含义不同,题目的难度也就不同,对学生审题,理解也就提出了更高的要求。
2.例2借助二次函数图象的直观性,当顶点的横坐标不在自变量的取值范围内,运用图象法求出二次函数的最大值或最小值)
提高选用
(1)问题:
市场上常有这样一个规律,某商品价格愈高,购买的人愈少;价格愈低,购买的人愈多。
现有某杂志,若定价每本2元则可发行10万本,若每本价格提高0.2元,发行量就减少5000本。
要使总收入不低于22.4万元,则杂志的定价应为多少元?
设每本杂志定价为x元,售价提高0.2元,则发行量减少5000x本,
总收入:
(2+0.2x)(100000-5000x)≥224000
整理得:
x2-10x+24≤0 这是一个一元二次不等式,怎样求解呢?
(2)探究解法
例画出函数y=x2-10x+24的图像,利用图像回答:
(1)方程x2-10x+24=0的解是什么?
(2)X取何值时函数值大于或等于0?
(3)X取何值时函数值小于或等于0?
(说明:
借助二次函数y=x2-10x+24图象的直观性,引导学生观察二次函数
y=x2-10x+24图象上任一点在图象上移动时,由点P的横坐标x的变化引起点P的纵坐标y的变化情况,从而获得对一元二次不等式x2-10x+24≤0的解集的感性认识。
)
思考:
1、一元二次方程、一元二次不等式与相应的二次函数之间有什么内在联系?
2、完成问题的书写步骤。
(获取感性认识后,再来完成思考和解答题的书写步骤,使学生体会知识的系统性和完整性。
)
练习:
1.(2011东城期末)李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2000千克核桃,并借一仓库储存.在存放过程中,平均每天有6千克的核桃损耗掉,而且仓库允许存放时间最多为60天.若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
(1)存放x天后,将这批核桃一次性出售,如果这批核桃的销售总金额为y元,试求出y与x之间的函数关系式;
(2)如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计340元,李经理要想获得利润22500元,需将这批核桃存放多少天后出售?
(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)
2.(2011海淀城期末)某商店销售一种进价为20元/双的手套,经调查发现,该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足
(20≤x≤40),设销售这种手套每天的利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?
最大利润是多少?
第二课时学案(总利润=)
例1 某商场销售一批名牌衬衫.平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天多售出2件.求:
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)若要使商场平均每天盈利最多,请你帮助设计方案.
例2某超市销售一款进价为50元/个的书包,物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个,市场调查发现:
以60元/个的价格销售,平均每周销售书包100个;若每个书包的销售价格每提高1元,则平均每周少销售书包2个.
(1)求该超市这款书包平均每周的销售量y(个)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;
(2)求该超市这款书包平均每周的销售利润w(元)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)当每个书包的销售价为多少元时,该超市这款书包平均每周的销售利润最大?
最大利润是多少元?
提高选用
(1)问题:
市场上常有这样一个规律,某商品价格愈高,购买的人愈少;价格愈低,购买的人愈多。
现有某杂志,若定价每本2元则可发行10万本,若每本价格提高0.2元,发行量就减少5000本。
要使总收入不低于22.4万元,则杂志的定价应为多少元?
设每本杂志定价为x元,售价提高0.2元,则发行量减少5000x本,
总收入:
(2+0.2x)(100000-5000x)≥224000
整理得:
x2-10x+24≤0 这是一个一元二次不等式,怎样求解呢?
(2)探究解法
例画出函数y=x2-10x+24的图像,利用图像回答:
(1)方程x2-10x+24=0的解是什么?
(2)X取何值时函数值大于或等于0?
(3)X取何值时函数值小于或等于0?
练习:
1.(2011东城期末)李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2000千克核桃,并借一仓库储存.在存放过程中,平均每天有6千克的核桃损耗掉,而且仓库允许存放时间最多为60天.若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
(1)存放x天后,将这批核桃一次性出售,如果这批核桃的销售总金额为y元,试求出y与x之间的函数关系式;
(2)如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计340元,李经理要想获得利润22500元,需将这批核桃存放多少天后出售?
(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)
2.(2011海淀城期末)某商店销售一种进价为20元/双的手套,经调查发现,该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足
(20≤x≤40),设销售这种手套每天的利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?
最大利润是多少?
(选用)第三课时(增长率)
教学目的:
1.通过培养学生对实际问题的审题和分析,帮他们找“抓问题关键词”的方法,能够找到量与量的之间关系,从而达到列出一元二次方程或二次函数解决实际问题的目的.
2.通过对题目的分析,增强学生对增长率问题理解。
3.培养学生分析问题、应用适当的数学模型解决实际问题的能力。
例题选讲
例1.钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨,3月上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?
分析:
设平均每月增长的百分率为X,则
2月份比1月份增产吨,
2月份的产量是吨,
3月份比2月份增产吨,
3月份的产量是吨,
列方程:
,
整理,得,
解这个方程,得、,
经检验,
答:
。
注:
1)如果某个量原来的值是a,每次增长的百分率是x,则增长1次后的值是a(1+x),增长2次后的值是a(1+x)2,……增长n次后的值是a(1+x)n,这就是重要的增长率公式.
同样,若原来的量的值是a,每次降低的百分率是x,则n次降低后的值是a(1-x)n,这就是降低率公式.
2)增长率没有单位
3)对于连续变化的问题都是以前一个时间段为基础的。
4)平均每月增长率不是每月增长率的平均数
练习
1.某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元,设每年利润的平均增长率为x,可以列方程得()
A.5(1+x)=9
B.5(1+x)2=9
C.5(1+x)+5(1+x)2=9
D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9
说明:
平均增长率问题,利用平均增长率公式a(1+x)2=b即可
2.某型号的手机连续两次降价,每个售价由原来的1185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为x,则列方程正确的是( )
A.580(1+x)2=1185 B.1185(1+x)2=580
C.580(1-x)2=1185 D.1185(1-x)2=580
说明:
平均降低率问题与平均增长率问题类似,只要把平均增长率公式a(1+x)=b中的“+”号换成“-”号即可.
3.某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元,如果平均每月的增长率为x,则根据题意列出的方程应为()
A.200(1+x)2=1000
B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
(4)小明将500元压岁钱存入银行,参加教育储蓄,两年后本息共计615元,若设年利率为x,则方程为_____________.
说明:
审(3)、(4)题时都要注意题目中的“共”,这是经常容易被忽略的。
第三课时学案(增长率)
例1.钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨,3月上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?
分析:
设平均每月增长的百分率为X,则
2月份比1月份增产吨,
2月份的产量是吨,
3月份比2月份增产吨,
3月份的产量是吨,
列方程:
,
整理,得,
解这个方程,得、,
经检验,
答:
。
练习
1.某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元,设每年利润的平均增长率为x,可以列方程得()
A.5(1+x)=9
B.5(1+x)2=9
C.5(1+x)+5(1+x)2=9
D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9
说明:
平均增长率问题,利用平均增长率公式a(1+x)2=b即可
2.某型号的手机连续两次降价,每个售价由原来的1185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为x,则列方程正确的是( )
A.580(1+x)2=1185 B.1185(1+x)2=580
C.580(1-x)2=1185 D.1185(1-x)2=580
3.某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元,如果平均每月的增长率为x,则根据题意列出的方程应为()
A.200(1+x)2=1000
B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
(4)小明将500元压岁钱存入银行,参加教育储蓄,两年后本息共计615元,若设年利率为x,则方程为_____________.
.
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