广东中考数学二轮复习核心母题一.docx
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广东中考数学二轮复习核心母题一
核心母题一 函 数
【核心母题】
1.直线l的表达式为y=-2x+2,分别交x轴、y轴于点A,B.
(1)写出A,B两点的坐标,并画出直线l的图象;
(2)将直线l向上平移4个单位得到l1,l1交x轴于点C,作出l1的图象,则l1的表达式是________;
(3)将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2,l2交l1于点D,作出l2的图象,则tan∠CAD=__________.
【知识链接】一次函数的图象与性质.
【母题分析】
(1)令x=0求得y,令y=0求得x,即可得出A,B的坐标,从而画出直线l的图象;
(2)将直线l向上平移4个单位可得直线l1,根据“上加下减”的原则求解即可得出其表达式;
(3)由旋转得出其函数图象,由图象可知,tan∠CAD=tan∠OBA=
可得答案.
【母题解答】
2.已知抛物线y=-
x2+bx+c经过点(1,0),(0,
).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)将抛物线y=-
x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
【知识链接】二次函数的图象与性质.
【母题分析】
(1)把已知点的坐标代入抛物线表达式求出b与c的值即可;
(2)指出满足题意的平移方法,并写出平移后的表达式即可.
【母题解答】
3.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=
的图象交于A,B两点,与y轴交于C点,点A的横坐标是2,点B的纵坐标是-2.
(1)求一次函数的表达式;
(2)求△AOB的面积.
【知识链接】反比例函数的图象与性质.
【母题分析】
(1)由点A,B的横、纵坐标结合反比例函数表达式即可得出点A,B的坐标,再由点A,B的坐标利用待定系数法即可得出直线AB的表达式;
(2)先求出点C的坐标,利用三角形的面积公式结合A,B点的横坐标即可得出结论.
【母题解答】
角度一一次函数与二次函数结合
子题1:
已知一次函数y=
x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( )
【子题分析】本题可根据一次函数图象经过的象限,即可得出
<0,c>0,由此即可得出二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=-
>0,与y轴的交点在y轴正半轴,再对照四个选项中的图象即可得出结论.
【子题解答】
角度二一次函数与反比例函数结合
子题2:
如图为一次函数y=ax-2a与反比例函数y=-
(a≠0)在同一坐标系中的大致图象,其中较准确的是( )
【子题分析】本题可根据题意列出方程组,根据一元二次方程解的情况判断.
【子题解答】
角度三二次函数与反比例函数结合
子题3:
在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=
(b≠0)与二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象大致是( )
【子题分析】本题可直接利用二次函数图象的开口方向和对称轴位置得出a,b的取值范围,进而利用反比例函数的性质得出答案.
【子题解答】
角度四一次函数、二次函数、反比例函数结合
子题4:
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=
在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
【子题分析】本题可直接利用二次函数图象经过的象限得出a,b,c的取值范围,进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案.
【子题解答】
角度五一次函数变换背景
子题5:
晓琳和爸爸到某公园运动,两人同时从家出发,沿相同路线前行,途中爸爸有事返回,晓琳继续前行5分钟后也原路返回,两人恰好同时到家.晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1(米),y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系如图所示,下列结论:
①两人同行过程中的速度为200米/分;②m的值是15,n的值是3000;③晓琳开始返回时与爸爸相距1800米;④运动18分钟或30分钟时,两人相距900米.其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【子题分析】①两人同行过程中的速度就是20分钟前进4000米的速度;
②爸爸有事返回的时间比晓琳原路返回的时间20分钟少5分钟,n的值用速度乘以时间即可;
③晓琳开始返回时与爸爸的距离是他们的速度和乘以时间5分钟;
④两人相距900米是y1-y2=900.
【子题解答】
角度六二次函数结论选择型
子题6:
如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;②b-a>c;③4a+2b+c>0;④3a>-c;⑤a+b>m(am+b)(m≠1).其中正确的结论有( )
A.①②③B.②③⑤
C.②③④D.③④⑤
【子题分析】由二次函数图象可以得出很多结论,此类题目通常设置多个正确或错误结论,从中进行选择.本题可由抛物线对称轴的位置判断a,b的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【子题解答】
角度七二次函数与圆、四边形等综合
子题7:
如图,抛物线y=
(x+2)(x-8)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为M,以AB为直径作⊙D.下列结论:
①抛物线的对称轴是直线x=3;②⊙D的面积为16π;③抛物线上存在点E,使四边形ACED为平行四边形;④直线CM与⊙D相切.其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【子题分析】①根据抛物线的表达式得出抛物线与x轴的交点A,B坐标,由抛物线的对称性即可判定;
②求得⊙D的直径AB的长,得出其半径,由圆的面积公式即可判定;
③若存在点E使四边形ACED为平行四边形,则CE∥AD,CE=AD,根据计算即可判定;
④求得直线CM、直线CD的表达式,通过它们的斜率进行判定.
【子题解答】
角度八反比例函数与几何图形结合
子题8:
如图,在平面直角坐标系中,函数y=kx与y=-
的图象交于A,B两点,过A作y轴的垂线,交函数y=
的图象于点C,连接BC,则△ABC的面积为( )
A.2B.4C.6D.8
【子题分析】反比例函数通常与三角形、四边形、圆等相结合构造复杂题目.解答本题可根据正比例函数y=kx与反比例函数y=-
的图象交点关于原点对称,可得出A,B两点坐标的关系,根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同,可得出A,C两点坐标的关系,设A点坐标为(x,-
),表示出B,C两点的坐标,再根据三角形的面积公式即可解答.
【子题解答】
模型一一次函数模型
子题9:
在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k和b的取值范围是()
A.k>0,b>0B.k>0,b<0
C.k<0,b>0D.k<0,b<0
子题10:
若b>0,则一次函数y=-x+b的图象大致是()
模型二反比例函数模型
(1)反比例函数k的几何意义
S△AOP=
|k|
S△OBP=
|k|
S矩形OAPB=|k|
S△APP′=2|k|
S△ABC=|k|
S▱ABCD=|k|
(2)反比例函数与一次函数结合
⇒
⇒
⇒
子题11:
如图,正比例函数y=x与反比例函数y=
的图象相交于A,B两点,BC⊥x轴于点C,则△ABC的面积为()
A.1 B.2
C.
D.
类型三二次函数模型
(1)函数图象与系数的关系
(2)平移中的面积计算
子题12:
如图,将函数y=
(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n),平移后的对应点分别为点A′,B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是()
A.y=
(x-2)2-2
B.y=
(x-2)2+7
C.y=
(x-2)2-5
D.y=
(x-2)2+4
子题13:
如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,-2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为________.
参考答案
【核心母题突破】
【核心母题】
1.
(1)当y=0时,-2x+2=0,
解得x=1,即点A(1,0).
当x=0时,y=2,即点B(0,2).
如图,直线AB即为所求.
(2)作出l1的图象如图所示.y=-2x+6
(3)作出l2的图象如图所示.
2.
(1)把(1,0),(0,
)代入抛物线表达式得
解得
则抛物线表达式为y=-
x2-x+
.
(2)抛物线表达式为y=-
x2-x+
=-
(x+1)2+2,
将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位可以使顶点恰好落在原点,此时抛物线表达式变为y=-
x2.
3.
(1)在反比例函数y=
中,当x=2时,y=4,
∴点A的坐标为(2,4).
当y=-2时,x=-4,
∴点B的坐标为(-4,-2).
∵一次函数过A,B两点,
∴
解得
∴一次函数的表达式为y=x+2.
(2)令y=x+2中x=0,则y=2,
∴点C的坐标为(0,2),
∴S△AOB=
OC·(xA-xB)=
×2×[2-(-4)]=6.
【母题衍生角度】
角度一
子题1:
观察一次函数图象可知,
<0,c>0,
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=-
>0,与y轴的交点在y轴正半轴.故选A.
角度二
子题2:
由ax-2a=-
,
则x-2=-
,整理得x2-2x+1=0,
∵Δ=0,∴一次函数y=ax-2a与反比例函数y=-
只有一个公共点.故选B.
角度三
子题3:
A.抛物线y=ax2+bx开口方向向上,则a>0,对称轴位于y轴的右侧,则a,b异号,即b<0,所以反比例函数y=
的图象位于第二、四象限,故本选项错误;
B.抛物线y=ax2+bx开口方向向上,则a>0,对称轴位于y轴的左侧,则a,b同号,即b>0,所以反比例函数y=
的图象位于第一、三象限,故本选项错误;
C.抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a<0,对称轴位于y轴的右侧,则a,b异号,即b>0,所以反比例函数y=
的图象位于第一、三象限,故本选项错误;
D.抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a<0,对称轴位于y轴的右侧,则a,b异号,即b>0,所以反比例函数y=
的图象位于第一、三象限,故本选项正确.故选D.
角度四
子题4:
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,∴a>0.
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧,
∴a,b异号,即b<0.
∵当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,
反比例函数y=
的图象分布在第二、四象限,故选B.
角度五
子题5:
①4000÷20=200(米/分),
∴两人同行过程中的速度为200米/分,①正确;
②m=20-5=15,n=200×15=3000,②正确;
③晓琳开始返回时,爸爸和晓琳各走了5分钟,所以他们的距离为(200+100)×5=1500(米),③不正确;
④设爸爸返回的表达式为y2=kx+b.
把(15,3000),(45,0)代入得
解得
∴y2=-100x+4500,
∴当0≤x<20时,y1=200x,y1-y2=900,
∴200x-(-100x+4500)=900,∴x=18.
当20≤x≤45时,y1=ax+b,
将(20,4000),(45,0)代入得
∴
∴y1=-160x+7200.
∵y1-y2=900,∴(-160x+7200)-(-100x+4500)=900,
解得x=30,∴④正确.故选C.
角度六
子题6:
①∵对称轴在y轴的右侧,∴ab<0,
由图象可知,c>0,∴abc<0,故①不正确;
②当x=-1时,y=a-b+c<0,∴b-a>c,故②正确;
③由对称知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,故③正确;
④∵x=-
=1,∴b=-2a,
∵a-b+c<0,∴a+2a+c<0,3a<-c,故④不正确;
⑤当x=1时,y的值最大,此时y=a+b+c,
当x=m时,y=am2+bm+c,
∴a+b+c>am2+bm+c(m≠1),
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),故⑤正确.
故②③⑤正确.故选B.
角度七
子题7:
∵在y=
(x+2)(x-8)中,当y=0时,x=-2或x=8,∴点A(-2,0),B(8,0),
∴抛物线的对称轴为x=
=3,故①正确;
∵⊙D的直径为8-(-2)=10,即半径为5,
∴⊙D的面积为25π,故②错误;
在y=
(x+2)(x-8)=
x2-
x-4中,
当x=0时,y=-4,
∴点C(0,-4).
当y=-4时,
x2-
x-4=-4,
解得x1=0,x2=6,∴E(6,-4),
则CE=6.
∵AD=3-(-2)=5,∴AD≠CE,
∴四边形ACED不是平行四边形,故③错误;
∵y=
x2-
x-4=
(x-3)2-
,
∴M(3,-
).
设直线CM表达式为y=kx+b.
将点C(0,-4),M(3,-
)代入得
解得
∴直线CM表达式为y=-
x-4.
设直线CD表达式为y=mx+n.
将点C(0,-4),D(3,0)代入得
解得
∴直线CD表达式为y=
x-4.
由-
×
=-1知,CM⊥CD于点C,
∴直线CM与⊙D相切,故④正确.故选B.
角度八
子题8:
∵正比例函数y=kx与反比例函数y=-
的图象交点关于原点对称,
∴设A点坐标为(x,-
),则B点坐标为(-x,
),C(-2x,-
),
∴S△ABC=
(-2x-x)·(-
-
)=
(-3x)·(-
)=6.故选C.
【母题衍生模型】
模型一
子题9:
C
子题10:
C
模型二
子题11:
A
模型三
子题12:
D
子题13:
12
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