最小二乘法线性拟合.docx
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最小二乘法线性拟合
4.最小二乘法线性拟合(非常好)
我们知道,用作图法求出直线的斜率a和截据b,可以确定这条直线所对应的经验
公式,但用作图法拟合直线时,由于作图连线有较大的随意性,尤其在测量数据比较分
散时,对同一组测量数据,不同的人去处理,所得结果有差异,因此是一种粗略的数据
处理方法,求出的a和b误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同
一组数据,只要处理过程没有错误,得到的斜率a和截据b是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据,用计算的方法求出最佳的a
和b。
显然,关键是如何求出最佳的a和b。
(1)求回归直线
设直线方程的表达式为:
y二abx(2-6-1)
要根据测量数据求出最佳的a和bo对满足线性关系的一组等精度测量数据(Xi,yi),假定自变量Xi的误差可以忽略,则在同一Xi下,测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下:
di=yi-a-bx-i
d^—y2~a-bx2
dn=yn~a~bxn
显然最好测量点都在直线上(即di=d2=,,=dn=0),求出的a和b是最理想的,但
测量点不可能都在直线上,这样只有考虑di、d2、”、dn为最小,也就是考虑di+d2+,,
+dn为最小,但因di、d2、,,、dn有正有负,加起来可能相互抵消,因此不可取;而|di|+
|d2|+,,+|dn|又不好解方程,因而不可行。
现在米取一种等效方法:
当d^+d/+,,+dn2
222
对a和b为最小时,di、d2、,,、dn也为最小。
取(di+d2+,,+dn)为最小值,求a
和b的方法叫最小二乘法。
n
D八di2
iJ
D对a和b分别求一阶偏导数为:
n
-na-b'Xi]
iT
n
-b'Xj2]
id
再求二阶偏导数为:
满足最小值条件,令一阶偏导数为零:
引入平均值:
2'
x-x
(2-6-7
将a、b值带入线性方程y=abx,即得到回归直线方程。
(2)y、a、b的标准差
在最小二乘法中,假定自变量误差可以忽略不计,是为了方便推导回归方程。
操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。
实际上两者均是变量,都有误差,从而导致结果y、a、b的标准差(n>6)如下:
、(%-bXi-a)2
(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)
⑶相关系数
相关系数是衡量一组测量数据Xi、yi线性相关程度的参量,其定义为:
(2-6-11)
xy_xy
(x2-x)(y2一/)
r值在0<|r|w1中。
|r|越接近于1,x、y之间线性好;r为正,直线斜率为正,称为正相关;r为负,直线斜率为负,称为负相关。
|r|接近于0,则测量数据点分散或为、屮之间为非线性。
不论测量数据好坏都能求出a和b,所以我们必须有一种判断测量
数据好坏的方法,用来判断什么样的测量数据不宜拟合,判断的方法是|r| 数据是非线性的.r0称为相关系数的起码值,与测量次数n有关,如下表2-6-2 表2-6-2相关系数起码值r0 n r n r n r0 3 1.000 9 0.798 15 0.641 4 0.990 10 0.765 16 0.623 5 0.959 11 0.735 17 0.606 6 0.917 12 0.708 18 0.590 7 0.874 13 0.684 19 0.575 8 0.834 14 0.661 20 0.561 在进行一元线性回归之前应先求出r值,再与r0比较,若|r|>r0,则x和y具有 线性关系,可求回归直线;否则反之。 R 例9: 灵敏电流计的电流常数K和内阻Rg的测量公式为R2sU_Rg测得的 ©Rd9 数据同例7,其中间处理过程如下,试用最小二乘法求出K和Rg,并写出回归方程的表 达式。 解: 测量公式与线性方程表达式y=a+bx比较: Rs y=R2x=Ub-a=-R9 KiR1d勺 数据处理如表2-6-3: 表2-6-3Rs=0.100QR1=4350.0Qd=40.0mm i 1 2 3 4 5 6 7 8 平均值 R(Q) 400.0 350.0 300.0 250.0 200.0 150.0 100.0 50.0 225.0 U(V) 2.82 2.49 2.15 1.82 1.51 1.18 0.84 0.56 1.67125 R;(104q2) 16.00 12.25 9.000 6.250 4.000 2.250 1.000 0.250 6.375 F(V2) 7.95 6.20 4.62 3.31 2.28 1.39 0.71 0.31 3.34625 RU(102qV) 11.3 8.72 6.45 4.55 3.02 1.77 0.84 0.28 4.615625 中间过程可多取位: X=1.67125y=225.0x2=3.34625 相关系数 a=y-bx=-33.4 代换 Rg=-a=33.4Q 丘二b=154.6192304 KRd K=Rs=3.7170X10-gA/mmbRd 计算标准差为: 计算不确定度: 测量结果表达式 因为 ②操作步骤和方法 (i)按[MODE][0]键,计算器进入单变量统计计算状态。 屏右上角显示“STAT1' 指示符。 (ii)清除内存数据: 按[INV][ON/C.CE]键。 (iii)数据输入: 依次先键入数值,然后按[DATA]键,每完成一次输入的同时,屏 幕均会显示数据的个数n值。 (iv)数据修正: 按[DATA]键之前,要删除错误数据,按[ON/C.CE];按[DATA]键后 要删除错误数据,再次输入该错误值,然后按[INV][DEL]。 (v)取分析结果: [INV][X]: 平均值 [INV][、X]: 数据和 2 [INV][vX]: 数据平方和 [INV][S]: 测量列的标准偏差 [INV][n]: 数据个数 例10: 一组等精度测量值为: 83.1>83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、 2 83.1>83.2,试求x、、•x、'x、S、n。 解: 按键 显示 [MODE][0] ST10 [INV][ON/C.CE] 0 83.1[DATA] n1 83.3[DATA] n2 83.3[DATA] n3 83.7[DATA] n4 83.9[DATA] n5 83.6[DATA] n6 83.4[DATA] n7 83.4[DATA] n8 83.1[DATA] n9 83.2[DATA] n10 [INV][X] 83.4 [INV][瓦x] 834 [INV][迟x2] 69556.22 [INV][S] 0.262466929 [INV][n] 10 注: 当n》6时,认为二=S。 (2)最小二乘法求回归直线 ①求回归直线参量a、b、r的计算器运行公式 由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含Xi、yi两个变量的公式: nn 'y,-b'Xi i2 n 'Xi'yi_n'Xiyi iTiTi£ nn ('Xi)2-n'x: ii咼 nnn n'Xyix「yi i#i#i=1 r=I nnnn 、[n,X2-CXi)2][n'y: -Cyj2]Yimi=1imi# ②操作步骤和方法: STAT2 按[b]键, (i)按[MODE][.],计算器进入双变量统计计算状态。 屏幕右上角显示“指示符。 (ii)清除内存数据: 按[INV][ON/C.CE]键 (iii)双变量数据输入: 先键入x的值、按⑻键,然后键入y的值、再按[DATA]键,完成输入。 屏幕会同时显示数据的个数,即n值。 (iv)数据修正: 同单变量数据输入。 (v)取分析结果 [INV][a]: 回归直线的截距 [INV][b]: 回归直线的斜率 [INV][r]: 相关系数 还可以取以下值: 22[INV][x]、[INV][y]、[INV][工x]、[INV][工x]、[INV][工y]、[INV][工y]、 则: [INV][工xy],以便计算二y、二a、二b(计算器没有该三项的计算程序)。 例11: 灵敏电流计实验所测数据如下: Rs=0.100QR1=4350.0Qd=40.0mm R2(Q) 400.0 350.0 300.0 250.0 200.0 150.0 100.0 50.0 U(V) 2.82 2.49 2.15 1.82 1.51 1.18 0.84 0.56 要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能,求回归直线以及电流计的电流常数 K和内阻Rgo 按键 显示 [MODE][.] ST20 [INV][ON/C.CE] 0 2.82{a}400.0[b][DATA] n1 2.49[a]350.0[b][DATA] n2 2.15[a]300.0[b][DATA] n3 1.82[a]250.0[b][DATA] n4 1.51[a]200.0[b][DATA] n5 1.18[a]150.0[b][DATA] n6 0.84[a]100.0[b][DATA] n7 0.56[a]50.0[b][DATA] n8 [INV][a] a-32.12335698 [INV][b] b153.8509241 [INV][r] r0.9998323336 解: 测量公式R2二RsU-尺与线性方程表达式y=a+bx比较y=R2x=U, KRd 查表知道,当n=8时,ro=0.834,r>r0,说明UR2之间线性相关。 得到: 回归方程R2=154U-32 电流计内阻Rg=321 电流常数K=3.74X10-9A/mm 习 1指出下列测量结果的有效数字: (1)I=5010mA 8 ⑵C=2.99792458X10m/s 2•按“四舍五入”修约法,将下列数据只保留 (1)1.005 ⑵979.499 (3)980.501 ⑷6.275 (5)3.134 3.单位变换: (1)m=3.162±0.002kg =g =mg =T (2)0=(59.8±0.1)° =(_)“ (3)L=98.96±0.04cm =m =mm =jin 4•改错并且将一般表达式改写成科学表达式: 1192 (1)Y=(1.96X10±5.78X10)N/m (2)L=(160000±100)m 5•按有效数字运算规则计算下列各式: (1)1000-= 3 (2)3.2X10+3.2= (3)tg3005— 100.325+100.125 (4)= 100.325-100.125 2 (5)R1=5.10kQ,R2=5.10X10q, R=R]+R>+Rj= (6) 3位有效数字: R*=51Qo求: L=1.674m-8.00cm= 6.求下列公式的不确定度: 4m 二d2h -J ⑶L=h+d 3 x-y xy 7.用分度值为1mm的米尺测量一物体长度L,测得数据为: 98.98cm、98.96cm、98.97cm、 98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm,试求L、△L,并写出测量结果表达式 L±AL。 &测量出一个铅圆柱体的直径为d=(2.040±0.001)cm,高度为h=件120±0.001)cm, 质量为m=(149.10±0.05)g,试计算1、X,并表示测量结果。 9•某同学测量弹簧倔强系数的数据如下: F(g) 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 y(cm) 6.90 10.00 13.05 15.95 19.00 22.05 25.10 1 其中F为弹簧所受的作用力,y为弹簧的长度,已知y-y0=(-)F,试用作图法求弹 k 簧的倔强系数k及弹簧的原来长度y。 。 10•用伏安法测电阻时,测出的数据如下,试求回归直线,并求出测量结果R值。 I(mA) 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00 U(V) 1.00 2.01 3.05 4.00 5.01 5.99 6.98 8.00 9.00 9.96 11.用双臂电桥对某一电阻作多次等精度测量,测得数据如下: R(Q): 12.0612.1012.1212.1512.1612.1712.1912.2112.22 12.2512.2612.3512.4212.83 试用3二准则判断该测量列中是否有坏值,计算出检验后的算术平均值及平均值的标准差,正确表达测量结果。
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- 最小二乘法 线性 拟合