专题14 边角边判定三角形全等重难点题型举一反三苏科版解析版.docx
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专题14边角边判定三角形全等重难点题型举一反三苏科版解析版
专题1.4边角边判定三角形全等-重难点题型
【苏科版】
【知识点1基本事实“边角边”(SAS)】
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.
【题型1边角边判定三角形全等的条件】
【例1】(2021春•锦江区校级期中)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC,能添加的一组条件是( )
A.∠B=∠E,BC=ECB.∠B=∠E,AC=DC
C.∠A=∠D,BC=ECD.BC=EC,AC=DC
【分析】由AB=DE知,由全等三角形的判定定理SAS知,缺少的添加是:
一组对应边相等及其对应夹角相等.
【解答】解:
A、若AB=DE,∠B=∠E,BC=EC,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出△ABC≌△DEC,故符合题意.
B、若AB=DE,AC=DC,∠B=∠E,由SSA不能判定△ABC≌△DEC,故不符合题意;
C、若AB=DE,BC=EC,∠A=∠D,由SSA不能判定△ABC≌△DEC,故不符合题意;
D、若AB=DE,BC=EC,AC=DC,由SSS不能判定△ABC≌△DEC,故不符合题意;
故选:
A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理,能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键,注意:
全等三角形的判定定理有:
ASA,SAS,AAS,SSS,两直角三角形全等,还有HL.
【变式1-1】(2020秋•喀什地区期末)如图,已知∠ABC=∠DCB,能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是( )
A.AB=DCB.∠A=∠DC.∠ACB=∠DBCD.AC=DB
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题.
【解答】解:
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
故选:
A.
【点评】本题考查全等三角形的判定,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
【变式1-2】(2020秋•通州区期中)根据下列条件能画出唯一△ABC的是( )
A.AB=1,BC=2,CA=3B.AB=7,BC=5,∠A=30°
C.∠A=50°,∠B=60°,∠C=70°D.AC=3.5,BC=4.8,∠C=70°
【分析】根据各个选项中的条件,可以判断是否可以画出唯一△ABC,从而可以解答本题.
【解答】解:
当AB=1,BC=2,CA=3时,1+2=3,则线段AB、BC、CA不能构成三角形,故选项A不符合题意;
当AB=7,BC=5,∠A=30°时,可以得到点B到AC的距离为3.5,可以画出两个三角形,如图1所示,故选项B不符合题意;
当∠A=50°,∠B=60°,∠C=70°时,可以画出很多的三角形ABC,如图2所示,故选项C不符合题意;
当AC=3.5,BC=4.8,∠C=70°时,可以画出唯一的三角形ABC,故选项D符合题意;
故选:
D.
【点评】本题考查全等三角形的判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
【变式1-3】(2020•奎文区一模)如图,点D、E分别在线段AB、AC上,且AD=AE,若由SAS判定△ABE≌△ACD,则需要添加的一个条件是 .
【分析】由题意可得∠A=∠A,AD=AE,则添加AB=AC,由SAS判定△ABE≌△ACD.
【解答】解:
添加AB=AC,
∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,
∴△ABE≌△ACD(SAS)
故答案为:
AB=AC.
【点评】本题考查了全等三角形的判定,灵活运用全等三角形的判定是本题的关键.
【题型2边角边判定三角形全等(求角的度数)】
【例2】(2020秋•宽城区期末)如图,AB=AC,点D、E分别是AB、AC上一点,AD=AE,BE、CD相交于点M.若∠BAC=70°,∠C=30°,则∠BMD的大小为( )
A.50°B.65°C.70°D.80°
【分析】根据SAS证明△ADC与△AEB全等,利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可.
【解答】解:
在△ADC与△AEB中,
,
∴△ADC≌△AEB(SAS),
∴∠B=∠C,∠AEB=∠ADC,
∵∠BAC=70°,∠C=30°,
∴∠AEB=∠ADC=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°,
∴∠BMC=∠DME=360°﹣∠AEB﹣∠ADC﹣∠BAC=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°,
∴∠BMD=180°﹣130°=50°,
故选:
A.
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据全等三角形的判定和性质解答.
【变式2-1】(2020秋•乐亭县期末)如图,在△ABC中,∠B=40°,AB=CB,AF=CD,AE=CF,则∠EFD=( )
A.50°B.60°C.70°D.80°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A=∠C=70°,证明△AEF≌△CFD(SAS),由全等三角形的性质得出∠AFE=∠CDF,则可得出答案.
【解答】解:
∵∠B=40°,AB=CB,
∴∠A=∠C
(180°﹣40°)=70°,
在△AEF和△CFD中,
,
∴△AEF≌△CFD(SAS),
∴∠AFE=∠CDF,
∵∠AFE+∠EFD+∠CFD=180°,∠C+∠CDF+∠CFD=180°,
∴∠EFD=∠C=70°.
故选:
C.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质:
判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等.也考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理.
【变式2-2】(2020秋•长垣市月考)如图,在△ABC中,∠B=∠C,E、D、F分别是AB、BC、AC上的点,且BE=CD,BD=CF,若∠A=104°,则∠EDF的度数为( )
A.24°B.32°C.38°D.52°
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B=∠C=38°,由“SAS”可证△BDE≌△CFD,可得∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD,由外角的性质可求解.
【解答】解:
∵AB=AC,∠A=104°,
∴∠B=∠C=38°,
在△BDE和△CFD中,
,
∴△BDE≌△CFD(SAS),
∴∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD,
∴∠BED+∠BDE=∠CDF+∠CFD,
∵∠BED+∠B=∠CDE=∠EDF+∠CDF,
∴∠B=∠EDF=38°,
故选:
C.
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质,等腰三角形的性质的运用,三角形内角和定理的运用,三角形外角的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.
【变式2-3】(2021春•沙坪坝区校级月考)如图,△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.BE⊥AC,垂足为G,AB=CF,BE=AC.
(1)求证:
AE=AF;
(2)求∠EAF的度数.
【分析】
(1)利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论;
(2)由全等三角形的性质可得∠E=∠CAF,由余角的定义可求得∠EAF的度数.
【解答】
(1)证明:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°,
∴∠ACD=∠EBA,
在△AEB和△FAC中,
,
∴△AEB≌△FAC(SAS),
∴AE=FA;
(2)解:
∵△AEB≌△FAC,
∴∠E=∠CAF,
∵∠E+∠EAG=90°,
∴∠CAF+∠EAG=90°,
即∠EAF=90°.
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质,证明△AEB≌△FAC是解题的关键.
【题型3边角边判定三角形全等(求线段的长度)】
【例3】(2020秋•越秀区校级月考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠ADB,AB=5,CD=6,则AC的长为( )
A.3B.9C.11D.15
【分析】在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD≌△AED,得到∠B=∠AED,再证明ED=EC,进而代入数值解答即可.
【解答】解:
在AC上截取AE=AB,连接DE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
在△ABD和△AED中,
,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴∠B=∠AED,BD=DE,
∵∠B=2∠ADB,
∴∠AED=2∠ADB,
而∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB,
∴∠CED=∠EDC,
∴CD=CE,
∴AB+CD=AE+CE=AC=5+6=11.
故选:
C.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质;此题利用了全等三角形中常用辅助线﹣截长补短法构造全等三角形,然后利用全等三角形解题,这是解决线段和差问题最常用的方法,注意掌握.
【变式3-1】(2020春•南岗区校级期中)如图,△ABC中,AB=AC,D、E分别在CA、BA的延长线上,连接BD、CE,且∠D+∠E=180°,若BD=6,则CE的长为( )
A.6B.5C.3D.4.5
【分析】延长BE使AF=AD,连接CF,由“SAS”可证△ABD≌△ACF,可得∠F=∠D,BD=CF=6,由平角的性质可得∠F=∠FEC=∠D,即可求解.
【解答】解:
如图,延长BE使AF=AD,连接CF,
在△ABD和△ACF中,
,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴∠F=∠D,BD=CF=6,
∵∠D+∠BEC=180°,∠BEC+∠FEC=180°,
∴∠D=∠FEC,
∴∠F=∠FEC,
∴CF=CE=6,
故选:
A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
【变式3-2】(2020秋•洪山区期末)如图,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为( )
A.8B.7C.6D.5
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC(SAS),得到ED=CD,从而BC=BD+CD=DE+BD=5,即可求得△BDE的周长.
【解答】解:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中,
,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴ED=CD,
∴BC=BD+CD=DE+BD=5,
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=(6﹣4)+5=7.
故选:
B.
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定,解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC.
【变式3-3】(2020秋•广州校级月考)如图,在△ABC中,AB=8,AC=5,AD是△ABC的中线,则AD的取值范围是( )
A.3<AD<13B.1.5<AD<6.5C.2.5<AD<7.5D.10<AD<16
【分析】延长AD到E,使AD=DE,连接BE,证明△ADC≌△EDB,推出EB=AC,根据三角形的三边关系定理求出即可.
【解答】解:
延长AD到E,使AD=DE,连接BE,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
在△ADC和△EDB中,
,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴EB=AC,
根据三角形的三边关系定理:
8﹣5<AE<8+5,
∴1.5<AD<6.5,
故选:
B.
【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定,三角形的三边关系定理,倍长中线等知识点的理解和掌握,能推出8﹣5<2AD<8+5是解此题的关键.
【题型4边角边判定三角形全等(实际应用)】
【例4】(2020秋•浑源县期中)如图,A,B两点分别位于一个假山的两端,小明想用绳子测量A、B间的距离,首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到点D,使CD=AC,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度为8m,则AB间的距离为 8m .
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.
【解答】解:
在△CDE和△CAB中,
,
∴△CDE≌△CAB(SAS),
∴DE=AB=8m,
故答案为:
8m.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
【变式4-1】(2020秋•西湖区校级期中)如图1、2,小明为了测出塑料瓶直壁厚度,由于不便测出塑料瓶的内径,小明动手制作一个简单的工具(如图2,AC=BD,O为AC、BD的中点)解决了测瓶的内径问题,测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b,瓶直壁厚度x= (用含a,b的代数式表示).
【分析】直接利用全等三角形的判定与性质得出△DOC≌△BOA,进而得出答案.
【解答】解:
∵AC=BD,O为AC、BD的中点,
∴DO=OB.OA=CO,
在△DOC和△BOA中
,
∴△DOC≌△BOA(SAS),
∴AB=DC=b,
∴x+x+b=a,
解得:
x
.
故答案为:
.
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用,正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.
【变式4-2】(2020秋•温岭市期中)某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳,图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长度相等,O是它们的中点,为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm,由以上信息能求出CB的长度吗?
如果能,请求出CB的长度;如果不能,请说明理由.
【分析】根据中点定义求出OA=OB,OC=OD,然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等,根据全等三角形对应边相等即可证明.
【解答】解:
∵O是AB、CD的中点,
∴OA=OB,OC=OD,
在△AOD和△BOC中,
,
∴△AOD≌△BOC(SAS),
∴CB=AD,
∵AD=35cm,
∴CB=35(cm),
答:
CB的长度为35cm.
【点评】本题考查了全等三角形的应用,证明得到三角形全等是解题的关键.
【变式4-3】(2020春•郏县期末)如图所示,A、B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A、B间的距离,但绳子不够长,请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离,写出具体的方案,并解释其中的道理.
【分析】由题意知AC=DC,BC=EC,根据∠ACB=∠DCE即可证明△ABC≌△DEC,即可得AB=DE,即可解题.
【解答】解:
如图,先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,DE的长度就是A、B间的距离.
证明:
由题意知AC=DC,BC=EC,且∠ACB=∠DCE,
在△ABC和△DEC中,
,
∴△ABC≌△DEC(SAS),
∴DE=AB.
∴量出DE的长,就是A、B两点间的距离.
【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△ABC≌△DEC是解题的关键.
【题型5边角边判定三角形全等(证明题)】
【例5】(2020春•沙坪坝区校级期中)如图,在直角△ABC中,∠ABC=90°,过B点作BD⊥AC于D,E在CD上,且DE=AB,过点D作DF∥BC,使得DF=BD,连接EF.求证:
(1)∠ABD=∠C;
(2)DF⊥EF.
【分析】
(1)由直角三角形的性质可得出答案;
(2)证明△ABD≌△EDF(SAS),由全等三角形的性质得出∠ADB=∠DFE=90°,则可得出结论.
【解答】证明:
(1)∵∠ABC=90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵BD⊥AC,
∴∠BDA=90°,
∵∠ABD+∠A=90°,
∴∠ABD=∠C;
(2)∵DF∥BC,
∴∠FDE=∠C,
∵∠ABD=∠C,
∴∠ABD=∠FDE,
在△ABD和△EDF中,
,
∴△ABD≌△EDF(SAS),
∴∠ADB=∠DFE=90°,
∴DF⊥EF.
【点评】本题考查了直角三角形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.
【变式5-1】(2020秋•陆川县期中)如图,AD是△ABC的角平分线,且AB>AC,E为AD上任意一点,
求证:
AB﹣AC>EB﹣EC.
【分析】在AB上截取AF=AC,连接EF,证明△AEF≌△AEC,可得EF=EC,根据三角形三边的关系即可证明结论.
【解答】证明:
如图,在AB上截取AF=AC,连接EF,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠FAE=∠CAE,
在△AEF与△AEC中,
∵
,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴EF=EC,
在△BEF中,EB﹣EF<BF,
而BF=AB﹣AF=AB﹣AC,
∴EB﹣EC<AB﹣AC,
即AB﹣AC>EB﹣EC.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形三边的关系,解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质.
【变式5-2】(2020秋•合江县月考)已知△ABC和△ADE均为等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE.
(1)如图1,点E在BC上,求证:
BC=BD+BE;
(2)如图2,点E在CB的延长线上,求证:
BC=BD﹣BE.
【分析】
(1)先证∠DAB=∠EAC,再证△DAB≌△EAC(SAS),得出BD=CE,则可得出结论;
(2)证明△DAB≌△EAC(SAS),得出BD=CE,进而得出结论.
【解答】
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE,
即∠DAB=∠EAC,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴BD=CE,
∴BC=BE+CE=BD+BE;
(2)证明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB,
即∠DAB=∠EAC,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴BD=CE,
∴BC=CE﹣BE=BD﹣BE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
【变式5-3】(2020秋•温岭市期中)
(1)如图1,已知在△ABC中,AD为中线,求证AB+AC>2AD.
(2)如图2,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.
求证:
BE+CF>EF.
【分析】
(1)根据SAS证明△ABD≌△CED,得出AB=EC,由三角形三边关系得出答案;
(2)根据全等三角形的判定和性质解答即可.
【解答】证明:
(1)延长AD至点E,使DE=AD,连接CE,如图1.
则AE=2AD,
在△ABD与△ECD中,
,
∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴AB=EC,
在△ACE中,有AC+CE>AE,即AC+AB>2AD;
(2)延长ED至点G,使DG=DE,连接CG,FG,如图2.
∵FD垂直平分EG,
∴EF=FG,
在△EDB与△GDC中,
,
∴△EDB≌△GDC(SAS),
∴BE=CG,
在△FCG中,CF+CG>FG,
即CF+BE>EF.
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质.关键是根据全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系解答.
【题型6边角边判定三角形全等(探究题)】
【例6】(2020秋•怀宁县期末)如图,已知:
AD=AB,AE=AC,AD⊥AB,AE⊥AC.猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系,并证明你的猜想.
【分析】证明△ACD≌△AEB,根据全等三角形的性质得到CD=BE,∠ADC=∠ABE,根据三角形内角和定理得出∠BFD=∠BAD=90°,证明结论.
【解答】解:
猜想:
CD=BE,CD⊥BE,
理由如下:
∵AD⊥AB,AE⊥AC,
∴∠DAB=∠EAC=90°.
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,
在△ACD和△AEB中,
,
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,
∵∠AGD=∠FGB,
∴∠BFD=∠BAD=90°,即CD⊥BE.
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
【变式6-1】(2020秋•唐山期中)如图,在△ABC中,AD,CE分别是BC、AB边上的高,AD与CE交于点F,连接BF,延长AD到点G,使得AG=BC,连接BG,若CF=AB.
(1)求证:
△ABG≌△CFB;
(2)在完成
(1)的证明后,爱思考的琪琪想:
BF与BG之间有怎样的数量关系呢?
它们之间又有怎样的位置关系?
请你帮琪琪解答这一问题,并说明理由.
【分析】
(1)根据SAS证明△ABG≌△CFB,再利用全等三角形的性质证明即可;
(2)根据全等三角形的性质得出∠G=∠FBD,再证明即可.
【解答】
(1)证明:
∵AD,CE是高,
∴∠BAD+∠AFE=∠BCF+∠CFD=90°,
∵∠AFE=∠CFD,
∴∠BAD=∠BCF,
在△ABG与△CFB中,
,
∴△ABG≌△CFB(SAS);
(2)解:
BF=BG,BF⊥BG,理由如下:
∵△ABG≌△CFB,
∴BF=BG,∠G=∠FBD,
∵AD⊥BC,
∴∠BDG=90°
∴∠G+∠DBG=90°,
∴∠FBD+∠DBG=90°,
∴∠FBG的度数为90°,
∴BF⊥BG.
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据SAS证明△ABG≌△CFB.
【变式6-2】(2021春•佛山月考)在△ABC中,AB=AC,点D是射线CB上的一动点(不与点B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段CB上,且∠BAC=90°时,那么∠DCE= 度;
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.
①如图2,当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图3,当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图3补充完整,写出此时α与β之间的数量关系并证明.
【分析】
(1)易证∠BAD=∠CAE,即可证明△BAD≌△CAE,可得∠ACE=∠B,即可解题;
(2)易证∠BAD=∠CAE,即可证明△BAD≌△CAE,可得∠ACE=∠B,根据∠B+∠ACB=180°﹣α即可解题;
(3)易证∠BAD=∠CAE,即可证明△BAD≌△CAE,可得∠ACE=∠B,根据∠ADE+∠AED+α=180°,∠CDE+∠CED+β=180°即可解题.
【解答】解:
(1)∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠B,
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°;
故答案为90.
(2)∵∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠B,
∵∠B+∠ACB=180°﹣α,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°﹣α=β,
∴α+β=180°;
(3)作出图形,
∵∠BAD+∠BAE=α,∠BAE+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠A
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