人教版数学中考专题训练 相交线与平行线.docx
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人教版数学中考专题训练相交线与平行线
相交线与平行线
例1 (2020·杭州市西湖区)如图,有下列3个结论:
①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2;②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1;③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4,以上结论正确的是________.
变式1 (2020·杭州市萧山区)如图,直线AB,CD相交于点O,射线OE⊥CD,给出下列结论:
①∠2和∠4互为对顶角;②∠3+∠2=180°;③∠5与∠4互补;④∠5=∠3-∠1;其中正确的是________(填序号).
例2 (2019·天台)如图,已知∠1+∠2=180°,∠ACB=∠AED.求证:
∠B=∠3.
变式2 (2020·新昌)如图,将一条两边沿互相平行的纸带折叠,已知∠α=76°,则∠1=( )
A.28°B.30°
C.38°D.45°
例3 (2020·东阳)已知:
如图所示,∠ABD和∠BDC的平分线交于E,BE交CD于点F,∠1+∠2=90°.
(1)求证:
AB∥CD;
(2)试探究∠2与∠3的数量关系.
例4 (2020·宁波市鄞州区)如图,AD∥BC,FC⊥CD,∠1=∠2,∠B=60°.
(1)求∠BCF的度数;
(2)如果DE是∠ADC的平分线,那么DE与AB平行吗?
请说明理由.
例5 如果两个角的差的绝对值等于90°,就称这两个角互为垂角,例如:
∠1=120°,∠2=30°,|∠1-∠2|=90°,则∠1和∠2互为垂角.(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)
(1)如图1所示,O为直线AB上一点,OC⊥AB,OE⊥OD,图中哪些角互为垂角?
(写出所有情况)
(2)如图2所示,O为直线AB上一点,∠AOC=60°,将∠AOC绕点O顺时针旋转n°(0<n<120),OA旋转得到OA′,OC旋转得到OC′,当n为何值时,∠AOC′与∠BOA′互为垂角?
巩固练习
一、选择题
1.(2020·东阳)下列图形中∠1与∠2不是同位角的是( )
2.(2020·杭州市萧山区)如图,△ABC沿BC所在的直线平移到△DEF的位置,且C点是线段BE的中点,若AB=5,BC=2,AC=4,则AD的长是( )
A.5B.4C.3D.2
第2题图 第3题图 第4题图
3.(2020·余姚)如图所示,将一把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=40°,则∠2的度数为( )
A.60°B.50°C.40°D.30°
4.(2020·绍兴市越城区)如图,已知直线a,b被直线c所截,且a∥b,∠1=48°,那么∠2的度数为( )
A.42°B.48°C.52°D.132°
5.(2020·杭州市萧山区)如图,AB∥CD,EF⊥CD,∠1=60°,则∠2等于
( )
A.60°B.40°C.30°D.35°
第5题图 第6题图
6.(2020·杭州市西湖区)如图,直线AB∥CD,点F在直线AB上,点N在直线CD上,∠EFA=25°,∠FGH=90°,∠HMN=25°,∠CNP=30°,则∠GHM=( )
A.45°B.50°C.55°D.60°
二、填空题
7.(2020·丽水)如图,已知AB∥CD,∠1=55°,则∠3的度数是________.
第7题图 第8题图
8.(2020·衢州)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB⊥AC,垂足为A.如果∠B=∠D=50°,∠CAD=40°,那么∠BCD=________度.
9.(2019·临海)如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,AB∥OC,DC与OB交于点E,则∠DEO的度数为________.
第9题图 第10题图 第11题图
10.(2020·宁波市鄞州区)如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=4,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于________.
11.(2020·东阳)已知直线AB∥CD,点P、Q分别在AB、CD上,如图所示,射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转,并不断往返旋转;射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止,此时射线PB也停止旋转.
(1)若射线PB、QC同时开始旋转,当旋转30秒时,PB′与QC′的位置关系为________;
(2)若射线QC先转45秒,射线PB才开始转动,当射线PB旋转的时间为_______秒时,PB′∥QC′.
三、解答题
12.(2020·绍兴市越城区)如图,点E在直线AB上,点F在直线CD上,若∠1=∠2,∠C=∠B,则∠3=∠4,请说明理由.
第12题图
13.(2020·杭州市余杭区)如图,在三角形ABC中,D,E,F分别是三边上的点,且DE平分∠ADF,∠ADF=2∠DFB.
(1)判断DE与BC是否平行,并说明理由;
(2)若EF∥AB,∠DFE=3∠CFE,求∠ADE的度数.第13题图
14.(2020·义乌)在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点A,B,C都在格点(正方形网格的交点称为格点)上.现将△ABC平移,使点A平移到点D,点E,F分别是B,C的对应点.
(1)请在图中画出平移后的△DEF;第14题图
(2)△DEF的面积为________;
(3)在网格中画出一个格点P,使得S△BCP=
S△DEF.(画尽可能多)
15.(2020·宁波市北仑区)宁波正着力打造“三江六岸”景观带,计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯.如图1,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射.若灯A转动的速度是2度/秒,灯B转动的速度是1度/秒,假定甬江两岸是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM∶∠BAN=2∶1.
(1)填空:
∠BAN=________°;
(2)若灯B射线先转动30s,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,灯A转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图2,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前,假设射出的光束交于点C,过点C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120°,请探究:
在转动过程中,∠BAC与∠BCD之间的数量关系是否发生变化?
若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.
第15题图
参考答案
例题精选
例1 ①②
变式1:
①②④
例2 ∵∠1+∠DFE=180°,∠1+∠2=180°,∴∠DFE=∠2,∴AB∥EF,∴∠3=∠ADE,∵∠ACB=∠AED,∴DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∴∠B=∠3.
变式2:
A
例3
(1)证明:
∵BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC,∴∠1=
∠ABD,∠2=
∠BDC,∵∠1+∠2=90°,∴∠ABD+∠BDC=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行);
(2)∵DE平分∠BDC,∴∠2=∠FDE.∵∠1+∠2=90°,∴∠BED=180°-(∠1+∠2)=∠DEF=90°,∴∠3+∠FDE=90°,∴∠2+∠3=90°.
例4
(1)∵AD∥BC,∴∠1=∠B=60°,又∵∠1=∠2,∴∠2=60°,又∵FC⊥CD,∴∠BCF=90°-60°=30°;
(2)DE∥AB.证明:
∵AD∥BC,∠2=60°,∴∠ADC=120°,又∵DE是∠ADC的平分线,∴∠ADE=60°,又∵∠1=60°,∴∠1=∠ADE,∴DE∥AB.
例5
(1)互为垂角的角有4对:
∠EOB与∠DOB,∠EOB与∠EOC,∠AOD与∠COD,∠AOD与∠AOE;
(2)如图:
∵∠AOC=60°,将∠AOC绕点O顺时针旋转n°,∴∠AOC′=60°+n°,∠BOA′=180°-n°,∴|(60°+n°)-(180°-n°)|=90°,∴2n°-120°=±90°,∴n=15或n=105,将∠AOC绕点O顺时针旋转15°或105°时,∠AOC′与∠BOA′互为垂角.
巩固练习
一、选择题
1.D 2.B 3.B 4.B 5.C
第6题图
6.D
二、填空题
7.55° 8.130 9.75° 10.8
11.
(1)PB′⊥QC′
(2)15或63或135
三、解答题
12.理由是:
∵∠1=∠2,∠2=∠5,∴∠1=∠5,∴AF∥DE,∴∠3+∠A=180°,∵∠C=∠B,∴AB∥CD,∴∠4+∠A=180°,∴∠3=∠4.
第13题图
13.
(1)DE∥BC.理由:
∵DE平分∠ADF,∴∠ADF=2∠EDF,又∵∠ADF=2∠DFB,∴∠EDF=∠DFB,∴DE∥BC;
(2)设∠EFC=α,则∠DFE=3∠CFE=3α,∵EF∥AB,∴∠B=∠EFC=α,又∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=α,∵DE平分∠ADF,DE∥BC,∴∠DFB=∠EDF=∠ADE=α,∵∠DFB+∠DFE+∠CFE=180°,∴α+3α+α=180°,解得α=36°,∴∠ADE=36°.
14.
(1)如图所示,△DEF即为所求;
(2)△DEF的面积为:
4×4-
×2×3-
×1×4-
×2×4=7; (3)如图所示,点P即为所求
第14题图
15.
(1)60;
(2)设A灯转动t秒,两灯的光束互相平行,①当0<t<90时,如图1,∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD,∴2t=1·(30+t),解得t=30; ②当90<t<150时,如图2,∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°,∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA,∴∠PBD+∠CAN=180°,∴1·(30+t)+(2t-180)=180,解得t=110,综上所述,当t=30秒或110秒时,两灯的光束互相平行;
第15题图
(3)∠BAC和∠BCD关系不会变化.理由:
设灯A射线转动时间为t秒,∵∠CAN=180°-2t,∴∠BAC=60°-(180°-2t)=2t-120°,又∵∠ABC=120°-t,∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t,而∠ACD=120°,∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-(180°-t)=t-60°,∴∠BAC∶∠BCD=2∶1,即∠BAC=2∠BCD,∴∠BAC和∠BCD关系不会变化.
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