运筹学课后习题二.docx
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运筹学课后习题二
习题二
2.1某人根据医嘱,每天需补充A、B、C三种营养,A不少于80单位,B不少于150单位,C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分.已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示.
(1)试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型;
(2)假定有一个厂商计划生产一中药丸,售给此人服用,药丸中包含有A,B,C三种营养成分.试为厂商制定一个药丸的合理价格,既使此人愿意购买,又使厂商能获得最大利益,建立数学模型.
表2-22
含量食物
营养成分
一
二
三
四
五
六
需要量
A
13
25
14
40
8
11
≥80
B
24
9
30
25
12
15
≥150
C
18
7
21
34
10
0
≥180
食物单价(元/100g)
0.5
0.4
0.8
0.9
0.3
0.2
【解】
(1)设xj为每天第j种食物的用量,数学模型为
(2)设yi为第i种单位营养的价格,则数学模型为
2.2写出下列线性规划的对偶问题
(1)
【解】
(2)
【解】
(3)
【解】
(4)
【解】
对偶问题为:
2.3考虑线性规划
(1)说明原问题与对偶问题都有最优解;
(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解;
(3)利用公式CBB-1求原问题的最优解;
(4)利用互补松弛条件求原问题的最优解.
【解】
(1)原问题的对偶问题为
容易看出原问题和对偶问题都有可行解,如X=(2,1)、Y=(1,0,1),由定理2.4知都有最优解。
(2)对偶问题最优单纯形表为
C(j)
4
2
7
0
0
R.H.S.
Basis
C(i)
y1
y2
y3
y4
y5
y3
7
0
-1/5
1
4/5
-1/5
28/5
y1
4
1
7/5
0
-3/5
2/5
4/5
C(j)-Z(j)
0
-11/5
0
-16/5
-1/5
w=42.4
对偶问题的最优解Y=(4/5,0,28/5),由定理2.6,原问题的最优解为X=(16/5,1/5),Z=42.4
(3)CB=(7,4),
(4)由y1、y3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的,解等式
得到原问题的最优解为X=(16/5,1/5)。
2.4证明下列线性规划问题无最优解
证明:
首先看到该问题存在可行解,例如x=(2,1,1),而上述问题的对偶问题为
由约束条件①②知y1≤0,由约束条件③当y2≥0知y1≥1,对偶问题无可行解,因此原问题也无最优解(无界解)。
2.5已知线性规划
的最优解
,求对偶问题的最优解.
【解】其对偶问题是:
由原问题的最优解知,原问题约束③的松弛变量不等于零(
),x1、x3不等于零,则对偶问题的约束①、约束③为等式,又由于
知y3=0;解方程
得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0);w=55/2=27.5
2.6用对偶单纯形法求解下列线性规划
【解】将模型化为
对偶单纯形表:
cj
3
4
5
0
0
CB
XB
X1
X2
X3
X4
X5
b
0
0
X4
X5
-1
[-2]
-2
-2
-3
-1
1
0
0
1
-8
-10
C(j)-Z(j)
3
4
5
0
0
0
0
3
X4
X1
0
1
[-1]
1
-5/2
1/2
1
0
-1/2
-1/2
-3
5
C(j)-Z(j)
0
1
7/2
0
3/2
0
5
3
X2
X1
0
1
1
0
5/2
-2
-1
1
1/2
-1
3
2
C(j)-Z(j)
0
0
1
1
1
b列全为非负,最优解为x=(2,3,0);Z=18
【解】将模型化为
3
4
0
0
b
XB
CB
X1
X2
X3
X4
X3
0
[-1]
-1
1
0
-4
X4
0
2
1
0
1
2
Cj-Zj
3
4
0
0
X1
3
1
1
-1
0
4
X4
0
0
[-1]
2
1
-6
Cj-Zj
0
1
3
0
X1
3
1
0
1
1
-2
X2
4
0
1
-2
-1
6
Cj-Zj
0
0
5
1
出基行系数全部非负,最小比值失效,原问题无可行解。
【解】将模型化为
cj
2
4
0
0
0
b
XB
CB
X1
X2
X3
X4
X5
X3
0
2
3
1
0
0
24
X4
0
-1
-2
0
1
0
-10
X5
0
-1
[-3]
0
0
1
-15
Cj-Zj
2
4
0
0
0
X3
0
1
0
1
0
1
9
X4
0
-1/3
0
0
1
-2/3
0
X2
4
1/3
1
0
0
-1/3
5
Cj-Zj
2/3
0
0
0
4/3
最优解X=(0,5);Z=20
【解】将模型化为
Cj
2
3
5
6
0
0
b
XB
CB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X5
0
-1
[-2]
-3
-4
1
0
-2
X6
0
-2
1
-1
3
0
1
-3
Cj-Zj
2
3
5
6
0
0
X2
3
1/2
1
3/2
2
-1/2
0
1
X6
0
-5/2
0
[-5/2]
1
1/2
1
-4
Cj-Zj
1/2
0
1/2
0
3/2
0
X2
3
[-1]
1
0
13/5
-1/5
3/5
-7/5
X3
5
1
0
1
-2/5
-1/5
-2/5
8/5
Cj-Zj
0
0
0
1/5
8/5
1/5
X1
2
1
-1
0
-13/5
1/5
-3/5
7/5
X3
5
0
[1]
1
11/5
-2/5
1/5
1/5
Cj-Zj
0
0
0
1/5
8/5
1/5
X1
2
1
0
1
-2/5
-1/5
-2/5
8/5
X2
3
0
1
1
11/5
-2/5
1/5
1/5
Cj-Zj
0
0
0
1/5
8/5
1/5
原问题有多重解:
X
(1)=(7/5,0,1/5,);最优解X
(2)=(8/5,1/5,0);Z=19/5
如果第一张表X6出基,则有
Cj
2
3
5
6
0
0
b
XB
CB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X5
0
-1
-2
-3
-4
1
0
-2
X6
0
[-2]
1
-1
3
0
1
-3
Cj-Zj
2
3
5
6
0
0
X5
0
0
[-5/2]
-5/2
-11/2
1
-1/2
-1/2
X1
2
1
-1/2
1/2
-3/2
0
-1/2
3/2
Cj-Zj
0
2
4
9
0
1
X2
3
0
1
1
11/5
-2/5
1/5
1/5
X1
2
1
0
1
-7/5
-1/5
-2/5
8/5
Cj-Zj
0
0
2
23/5
4/5
3/5
7.某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C,有关资料见表2-23.
表2-23
产品
材料消耗
原材料
A
B
C
每月可供原材料(Kg)
甲
乙
丙
2
1
1
200
1
2
3
500
2
2
1
600
每件产品利润
4
1
3
(1)怎样安排生产,使利润最大.
(2)若增加1kg原材料甲,总利润增加多少.
(3)设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg,若要转卖原材料乙,工厂应至少叫价多少,为什么?
(4)单位产品利润分别在什么范围内变化时,原生产计划不变.
(5)原材料分别单独在什么范围内波动时,仍只生产A和C两种产品.
(6)由于市场的变化,产品B、C的单件利润变为3元和2元,这时应如何调整生产计划.
(7)工厂计划生产新产品D,每件产品D消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg,2kg及1kg,每件产品D应获利多少时才有利于投产.
【解】
(1)设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的月生产量,数学模型为
最优单纯形表:
C(j)
4
1
3
0
0
0
R.H.S.
Ratio
XB
CB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
4
1
1/5
0
3/5
-1/5
0
20
X3
3
0
3/5
1
-1/5
2/5
0
160
X6
0
0
0
0
-1
0
1
400
C(j)-Z(j)
0
-8/5
0
-9/5
-2/5
0
Z=560
最优解X=(20,0,160),Z=560。
工厂应生产产品A20件,产品C160种,总利润为560元。
(2)由最优表可知,影子价格为
故增加利润1.8元。
(3)因为y2=0.4,所以叫价应不少于1.6元。
(4)依据最优表计算得
(5)依据最优表计算得
(6)变化后的检验数为λ2=1,λ4=-2,λ5=0。
故x2进基x1出基,得到最最优解X=(0,200,0),即只生产产品B200件,总利润为600元。
C(j)
4
3
2
0
0
0
R.H.S.
Ratio
XB
CB
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
4
1
[1/5]
0
3/5
-1/5
0
20
100
X3
2
0
3/5
1
-1/5
2/5
0
160
800/3
X6
0
0
0
0
-1
0
1
400
M
C(j)-Z(j)
0
1
0
-2
0
0
560
X2
2
5
1
0
3
-1
0
100
M
X3
3
-3
0
1
-2
[1]
0
100
100
X6
0
0
0
0
-1
0
1
400
M
C(j)-Z(j)
-5
0
0
-5
1
0
X2
2
2
1
1
1
0
0
200
X4
0
-3
0
1
-2
1
0
100
X6
0
0
0
0
-1
0
1
400
C(j)-Z(j)
-2
0
-1
-3
0
0
(7)设产品D的产量为x7,单件产品利润为c7,只有当
时才有利于投产。
则当单位产品D的利润超过4.4元时才有利于投产。
8.对下列线性规划作参数分析
(1)
【解】μ=0时最优解X=(4,3,0);最优表:
C(j)
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3
1
0
1
0
0
4
X2
5
0
1
0
0.5
0
3
X5
0
0
0
-3
-1
1
0
C(j)-Z(j)
0
0
-3
-2.5
0
27
将参数引入到上表:
C(j)
3+2μ
5-μ
0
0
0
R.H.S.
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3+2μ
1
0
1
0
0
4
X2
5-μ
0
1
0
0.5
0
3
X5
0
0
0
-3
-1
1
0
C(j)-Z(j)
0
0
-3-2μ
-2.5+0.5μ
0
27
当-3-2μ≤0及-2.5+0.5μ≤0时最优基不变,有-1.5≤μ≤5。
当μ<-1.5时X3进基X1出基;μ>5时X4进基X2出基,用单纯形法计算。
参数变化与目标值变化的关系如下表所示。
From
To
From
To
Leaving
Entering
Range
(Vector)
(Vector)
OBJValue
OBJValue
Slope
Variable
Variable
1
0
5
27
52
5
X2
X4
2
5
M
52
M
8
3
0
-1.5
27
19.5
5
X1
X3
4
-1.5
-M
19.5
M
-3
目标值变化如下图所示。
(2)
【解】μ=0时最优解X=(4,3,0),Z=27;最优表:
C(j)
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3
1
0
1
0
0
4
X2
5
0
1
0
0.5
0
3
X5
0
0
0
-3
-1
1
0
C(j)-Z(j)
0
0
-3
-2.5
0
27
替换最优表的右端常数,得到下表。
C(j)
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3
1
0
1
0
0
4+μ
X2
5
0
1
0
0.5
0
3
X5
0
0
0
[-3]
-1
1
-5μ
C(j)-Z(j)
0
0
-3
-2.5
0
①μ<-4时问题不可行,-4≤μ<0时最优基不变。
μ=-4时Z=15。
②μ>0时X5出基X3进基得到下表:
C(j)
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3
1
0
0
-1/3
1/3
4-2/3μ
X2
5
0
1
0
1/2
0
3
X3
0
0
0
1
1/3
-1/3
5μ/3
C(j)-Z(j)
0
0
0
-3/2
-1
0≤μ≤6时为最优解。
μ=6时Z=15。
③μ>6时X1出基X4进基得到下表:
C(j)
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
-3
0
0
1
-1
-12+2μ
X2
5
3/2
1
0
0
1/2
9-μ
X3
0
1
0
1
0
0
4+μ
C(j)-Z(j)
μ=9时最优解X=(0,0,13,6,0),Z=0;μ>9时无可行解。
综合分析如下表所示。
From
To
From
To
Leaving
Entering
Range
(Vector)
(Vector)
OBJValue
OBJValue
Slope
Variable
Variable
1
0
0
27
27
3
X5
X3
2
0
6
27
15
-2
X1
X2
3
6
9
15
0
-5
X2
4
9
Infinity
Infeasible
5
0
-4
27
15
3
X1
6
-4
-Infinity
Infeasible
目标值变化如下图所示。
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