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课时训练
第一章 集合与常用逻辑用语
第1课时 集合的概念
一、填空题
1.下面有四个命题:
①集合N中最小的数是1;
②若-a不属于N,则a属于N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;
④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.
其中正确命题的个数为___________.
答案:
0
解析:
①最小的数应该是0;②反例:
-0.5N,但0.5N;③当a=0,b=1时,a+b=1;④元素的互异性.
2.下列集合中表示同一集合的是________.(填序号)
①M={(3,2)},N={(2,3)};
②M={2,3},N={3,2};
③M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1};
④M={2,3},N={(2,3)}.
答案:
②
解析:
①中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,集合N表示由点(2,3)所组成的单点集,故集合M与N不是同一个集合;③中的集合M表示由直线x+y=1上的所有点组成的集合,集合N表示由直线x+y=1上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合;④中的集合M有两个元素,而集合N只含有一个元素,故集合M与N不是同一个集合;对于②,由集合元素的无序性,可知M,N表示同一个集合.
3.方程组的解集是____________.
答案:
{(5,-4)}
解析:
由得该方程组的解集为{(5,-4)}.
4.设集合A={3,m},B={3m,3},且A=B,则实数m的值是____________.
答案:
0
解析:
由{3,m}={3m,3},得m=3m,m=0.
5.已知集合A={2+,a},B={-1,1,3},且AB,则实数a的值是________.
答案:
1
解析:
由题知a=1,2+=3,从而a=1.
6.设非空数集M{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有________个.
答案:
6
解析:
集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个),不含奇数元素的集合有{2},,共2个,故满足要求的集合M共有8-2=6(个).
7.已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则BA时,a=________.
答案:
1或2
解析:
验证a=1时B=满足条件;验证a=2时B={1}也满足条件.
8.已知集合A=,试用列举法表示集合A=________.
答案:
解析:
由题意可知6-x是8的正约数,当6-x=1时,x=5;当6-x=2时,x=4;当6-x=4时,x=2;当6-x=8时,x=-2;而x≥0,∴x=2,4,5,即A={2,4,5}.
9.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 答案: (-∞,4] 解析: 当B=时,有m+1≥2m-1,则m≤2;当B≠时,若BA,如图. 则解得2 综上,m的取值范围为(-∞,4]. 10.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0}.若AB,则实数c的取值范围是________. 答案: [1,+∞) 解析: A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1), B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c), 因为AB,画出数轴,如图所示,得c≥1. 二、解答题 11.下列三个集合: ①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}. (1)它们是不是相同的集合? (2)它们的各自含义是什么? 解: (1)它们不是相同的集合. (2)集合①是函数y=x2+1的自变量x所允许的值组成的集合.因为x可以取任意实数,所以{x|y=x2+1}=R;集合②是函数y=x2+1的所有函数值y组成的集合,由二次函数图象知y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};集合③是函数y=x2+1图象上所有点的坐标组成的集合. 12.设集合A的元素为实数,且满足①1A,②若a∈A,则∈A. (1)若2∈A,试求集合A; (2)若a∈A,试求集合A; (3)集合A能否为单元素集合? 若能,求出该集合;若不能,请说明理由. 解: (1)由题意知=-1∈A,=∈A,而=2,∴A=. (2)由题意知∈A,=∈A,而=a.∴A=. (3)假设A为单元素集合,则必有=a=, ∴a为a2-a+1=0的根. ∵a2-a+1=0无实解, ∴这样的a不存在,即A不可能是单元素集合. 13.已知集合A={x|>0},B={x|x2-2x-a2-2a<0}. (1)当a=4时,求A∩B; (2)若AB,求实数a的取值范围. 解: (1)A={x|1 当a=4时,B={x|x2-2x-24<0}={x|-4<x<6}, ∴A∩B=(1,6). (2)B={x|(x+a)(x-a-2)<0}, ①当a=-1时,B=,∴AB不成立; ②当a+2>-a,即a>-1时,B=(-a,a+2), ∵AB,∴解得a≥5; ③当a+2<-a,即a<-1时,B=(a+2,-a), ∵AB,∴解得a≤-7. 综上,实数a的取值范围是(-∞,-7]∪[5,+∞). 第2课时 集合的基本运算 一、填空题 1.设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩(∁UB)=________. 答案: {1} 解析: 由题意得,∁UB={1,5,6},A={1,2},故A∩(∁UB)={1}. 2.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________. 答案: 5 解析: x-y∈{-2,-1,0,1,2}. 3.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=____________. 答案: {(0,1),(-1,2)} 解析: A,B都表示点集,A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可. 4.设全集U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},B∁RA,实数a的取值范围为____________. 答案: [-1,+∞) 解析: ∵A={x|x>1},∴∁RA={x|x≤1}.如图所示, ∵B={x|x<-a},要使B∁RA,则-a≤1,即a≥-1. 5.(原创)集合A={x|kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z},B={x|-2≤x≤2},则集合A∩B=________. 答案: [-2,0]∪ 解析: 由已知集合A=…∪[-π+,-π+π]∪[,π]∪[π+,π+π]∪…,B={x|-2≤x≤2},利用数轴表示易得A∩B=[-2,0]∪[,2]. 6.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人. 答案: 8 解析: 由题意知,同时参加三个小组的人数为0,令同时参加数学、化学小组的人数为x人,则有20-x+6+5+4+9-x+x=36,故x=8. 7.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a 答案: (-∞,-1] 解析: 因为C∩A=C,所以CA. ①当C=时,满足CA,此时-a≥a+3,得a≤-;②当C≠时,要使CA,则解得- 8.已知集合A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1}.若集合A∩B只有一个真子集,则实数a的取值范围是________. 答案: (1,+∞) 解析: 由于集合B中的元素是指数函数y=bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点,要使集合A∩B只有一个真子集,那么y=bx+1(b>0,b≠1)与y=a的图象只能有一个交点,所以实数a的取值范围是(1,+∞). 9.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论: ①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合. 其中正确的结论是________.(填序号) 答案: ② 解析: -4+(-2)=-6A,所以①不正确;设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;令A1={x|x=2k,k∈Z},A2={x|x=3k,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但A1∪A2不是闭集合,所以③不正确. 10.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是________. 答案: 解析: A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f (2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<. 二、解答题 11.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2-4x+a=0,a∈R}. (1)存在x∈B,使得A∩B≠,求a的取值范围; (2)若A∩B=B,求a的取值范围. 解: (1)由题意得B≠,故Δ=16-4a≥0,解得a≤4 ①. 令f(x)=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,其对称轴为直线x=2. ∵A∩B≠,又A=(-∞,-1)∪(3,+∞),∴f(3)<0,解得a<3 ②. 由①②得a的取值范围是(-∞,3). (2)∵A∩B=B,∴BA. 当Δ=16-4a<0,即a>4时,B是空集,这时满足A∩B=B; 当Δ=16-4a≥0时,a≤4 ③. 令f(x)=x2-4x+a,其对称轴为直线x=2, ∵A=(-∞,-1)∪(3,+∞)≠, ∴f(-1)<0,解得a<-5 ④. 由③④得a<-5. 综上,a的取值范围是(-∞,-5)∪(4,+∞). 12.设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当a=-4时,求A∩B和A∪B; (2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围. 解: (1)A=. 当a=-4时,B={x|-2 ∴A∩B=,A∪B={x|-2 (2)∁RA=. 当(∁RA)∩B=B时,B∁RA,即A∩B=. ①当B=,即a≥0时,满足B∁RA; ②当B≠,即a<0时, B={x|- 要使B∁RA,需≤,解得-≤a<0. 综上可得,a的取值范围是a≥-. 13.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∪B=A,求实数a的取值范围; (2)若U=R,A∩(∁UB)=A,求实数a的取值范围. 解: (1)由题意可知A={1,2},对于集合B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=4(2a+6), ∵A∪B=A,∴BA, ①当Δ<0,即a<-3时,B=,满足条件; ②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件; ③当Δ>0,即a>-3时,B=A={1,2}. 由韦达定理得矛盾. 综上,a的取值范围是a≤-3. (2)∵A∩∁UB=A,∴A∁UB,∴A∩B=; ①若B=,则Δ<0a<-3适合; ②若B≠,则a≥-3,此时1B且2B; 将x=2代入B的方程得a=-1或a=-3; 将x=1代入B的方程得a2+2a-2=0a=-1±; ∴a≠-1且a≠-3且a≠-1±. 综上,a的取值范围是a<-3或-3-1+. 第3课时 简单的逻辑联结词、量词 一、填空题 1.给出下列命题: ①原命题为真,它的否命题为假; ②原命题为真,它的逆命题不一定为真; ③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真; ④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真. 其中真命题是________.(填序号) 答案: ②③ 解析: 原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确. 2.设集合A=,B={x|0 答案: 充分不必要 解析: ∵A=={x|0 3.与命题“若a∈M,则bM”等价的命题是____________. 答案: 若b∈M,则aM 解析: 因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否命题即可. 4.“x1>0且x2>0”是“x1+x2>0且x1x2>0”的________条件. 答案: 充要 解析: 由条件显然易得结论,由x1x2>0可得x1,x2同号,由x1+x2>0可得x1,x2同正. 5.若命题p: x∈A∩B,则綈p是____________. 答案: xA或xB 解析: ∵“x∈A∩B”“x∈A且x∈B”,∴綈p: xA或xB. 6.已知命题p: 点P在直线y=2x-3上;命题q: 点P在直线y=-3x+2上.则使命题“p且q”为真命题的点P的坐标是______________. 答案: (1,-1) 解析: 命题“p且q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题,即点P既在直线y=2x-3上,又在直线y=-3x+2上,即点P是这两条直线的交点. 7.若命题“x∈R,使得x2+(1-a)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是________. 答案: (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析: 由题意可知,Δ=(1-a)2-4>0,解得a<-1或a>3. 8.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是________. 答案: [1,2) 解析: x[2,5]且x{x|x<1或x>4}是真命题.由得1≤x<2,故填[1,2). 9.已知条件p: |x+1|>2,条件q: x>a,且綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围是________. 答案: [1,+∞) 解析: 綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充分不必要条件,即qp,而p,/)q,条件p化简为x>1或x<-3,所以当a≥1时,qp. 二、解答题 10.设条件p: 2x2-3x+1≤0,条件q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解:
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