椭圆和双曲线练习题及答案docx.docx
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椭圆和双曲线练习题及答案docx
圆锥曲线测试题
一、选择题(共12题,每题5分)
22
1已知椭圆二11(a5)的两个焦点为FI、F2,且∣F1F2∣=8,弦
a25
AB过点Fi,则△ABF2的周长为()
(A)10(B)20(C)2-41(D)441
22
2椭圆丄丄J上的点P到它的左准线的距离是10,那么点P
10036
到它的右焦点的距离是()
(A)15(B)12(C)10(D)8
22
3椭圆—y1的焦点F1、F2,P为椭圆上的一点,已知PF^PF2,
259
则厶F1PF2的面积为()
(A)9(B)12(C)10(D)8
4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是()
(A)X-y2=2(B)y2-x2=2
(C)X2-y2=4或y2_X2=4(D)X2-y2=2或y2-X2=2
22
5双曲线--y1右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P
169
点到左准线的距离为()
(A)6(B)8(C)10(D)12
6过双曲线X2—y2=8的右焦点F2有一条弦PQ∣PQ∣=7,F1是左焦点,那么△F1PQ的周长为()
(A)28(B)14-8、2(C)1482(D)82
7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∙F1MF2=120,
则双曲线的离心率为()
(A)3(B)兰(C)H(D)三
233
8在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,2,焦点到相
应准线的距离为1,则该双曲线的离心率为()
(A)—(B)2(C)2(D)22
2
22
9如果椭圆2LL"的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直369
线方程是()
(A)X—2y=O(B)X2y—4=0(C)2x3y-12=0(D)x2y—8=0
那么点P到y轴的距离是()
(A)
(B)竽
(C)2」6(D)23
11
中心在原点,焦点在
y轴的椭圆方程是
22
XSinl"ycos:
-1,
A.
π
(0,—)
4
B
D.
[J)
42
12
已知双曲线
(Z,F)
π
:
(0,2),
π
(0,—]
42
则C的离心率为(
)w.w.w.k.s.5.u.c.o.
m
A、6
B、
7C、5D、
5
58
9
5
二、
填空题(20
)
■3的直线交C于A、B两点,若AF=4FB,
22
13与椭圆Z丄=1具有相同的离心率且过点(2,-3)的椭圆的
43
O
14离心率-T,一条准线为-3的椭圆的标准方程
标准方程是
是。
22
15以知F是双曲线—=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的
412
动点,贝SPFI+∣PA的最小值为
22
16已知双曲线x2-^2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为
ab
FCgO),F2(c,O),若双曲线上存在一点P使SinPFIF^a,则该双曲线
SinPF2F1C
的离心率的取值范围是.
三、解答题(70)
17)已知椭圆C的焦点F1(—242,0)和F2(2迈,0),长轴长6,设直线y=χ2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点
坐标。
22
18)已知双曲线与椭圆-y1共焦点,它们的离心率之和为
925
83
3
14'求双曲线方程.
19)求两条渐近线为X—2y=0且截直线X-y-3=0所得弦长为
的双曲线方程。
20.
(1)椭圆C:
a2⅛=1(a>b>0)上的点A(1,号)到两焦点的距离
之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K是⑴中椭圆上的动点,F1是左焦点,求线段F1K的
中点的轨迹方程;
⑶已知椭圆具有性质:
若M、N是椭圆C上关于原点对称的
两点,P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都
22
X2y
存在并记为kPM、kPN时,那么kpM∙kpN是与点P位置无关的
定值。
试对双曲线⅛-⅛-i写出具有类似特性的性质,
加以证明。
解:
(i)24∙Ji
(X2)2--2
(2)设中点为(X,y),Fi(-i,o)K(-2-X,-y)在刍与詔上-*i
⑶设M(xι,yι),N(-xι,-yι),P(xo,yo),Xo≠xι
为定值。
没有交点。
(2)过点P(i,2)的直线交双曲线于A、B两点,若P为弦
AB的中点,求直线AB的方程;
(3)是否存在直线I,使Q(1,1)为1被双曲线所截弦的中点。
若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
解:
(1)当直线I的斜率不存在时,I的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当I的斜率存在时,设直线I的方程为y—2=k(x-1),代入C的方程,并整理得(2—k2)x2+2(k2-2k)x—k2+4k—6=0(*)
()当2—k2=0,即k=±、2时,方程(*)有一个根,I与C有一个交占
∕λj八、、・
(i)当2—k2≠0,即k≠±2时
Δ=:
2(k2—2k)]2—4(2—k2)(—k2+4k—6)=16(3—2k)
1当△=0,即3—2k=0,k=I时,方程(*)有一个实根,I与C有一个交占
I∕λj八、、・
2当△>0,即kV号,又k≠±2,故当kv—2或一2Vkv2或2VkVI时,方程(*)有两不等实根,I与C有两个交点.
3当Δv0,即k>I时,方程(*)无解,I与C无交点.
综上知:
当k=±'∙2,或k=1,或k不存在时,I与C只有一
2
个交占.
I八、、)
当、2VkV-,或一,2VkV.2,或kV—2时,I与C有两个
2
交点;
当k>3时,I与C没有交点.
2
(2)假设以P为中点的弦为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则
2xι2—yι2=2,2x2—y22=2两式相减得:
2(xι—x2)(x1+x2)=(yι—
y2)(y1+y2)
又Tχ1+x2=2,y1+y2=4∙'∙2(xι—X2)=y1—yι即
kAB=Xγι=1
Xi—X2
但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与有交点,所以以P
为中点的弦为:
y=x+1.
(3)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且
A(xι,yι),B(x2,y2),贝U2xi2—yι2=2,2x22—y∑2=2两式相减得:
2(x1
—X2)(x1+x2)=(y1—y2)(y1+y2)
又τx1+x2=2,y1+y2=2二2(x1—x2)=y1—y1即
kAB=y1一y2=2
X1_X2
但渐近线斜率为±,2,结合图形知直线AB与C无交点,故假设
不正确,即以Q为中点的弦不存在
22
2,-3)的椭圆
13)与椭圆Ly=1具有相同的离心率且过点
43
22o2.2
的标准方程是D1或空.竺i。
14)离心率「于
一条准线为X=3的椭圆的标准方程是
9y*2*
862525
520解:
设双曲线方程为χ2-4y2=•.
22C
联立方程组得:
X-4yR,消去y得,3χ2-24x+(36+)=0
X_y_3=O
设直线被双曲线截得的弦为AB,且A(xι,yJ,B(X2,y2),那么:
X1+X2=8
36+λ
I3 2 .: =24-12(36)0 那么: |AB|=J(l+k2)[(x1+X2)2-4χ1x2]=J(1+1)(82-=^812^=竽 2 解得: =4,所以,所求双曲线方程是: ^-y2=1 4 17)已知椭圆C的焦点F1(-2/2,0)和F2(242,0),长轴长6,设直线y=χ∙2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标。 (8分) 解: 由已知条件得椭圆的焦点在X轴上,其中c=2.2,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是: 22 Z+y2=1.联立方程组行y,消去y得,10x2+36x+27=0. 9[y=x+2 设A(χ1y),B(X2,y2),AB线段的中点为M(x°,y°)则: 18x1+x29 为X2一亏,χo=丁1 所以y0=χ0+2=1.也就是说线段AB中点坐标为(--,1). 0555 22 18)已知双曲线与椭圆H1共焦点,它们的离心率之和为 925 匕,求双曲线方程.(10分) 5 解: 由于椭圆焦点为F(0,_4),离心率为e=45,所以双曲线的焦点 5 为F(0,-4),离心率为2, 从而c=4,a=2,b=2.3. 22 所以求双曲线方程为: Z-Z=1. 412 20)求两条渐近线为x-2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为竽的双曲线方程。 (10分)
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