第一章 集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件
第一章集合与常用逻辑用语
1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件;
(3)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;
(4)如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件;
(5)如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件.
【知识拓展】
从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;
(6)若A
B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( × )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × )
(3)若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题.( √ )
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(5)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(6)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
1.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
答案 A
解析 对于A,其逆命题是若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x>y.
2.(教材改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )
A.若x C.若x>y,则x2>y2D.若x≥y,则x2≥y2 答案 B 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”. 3.(教材改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由(x-1)(x+2)=0可得x=1或x=-2, ∵{1}{1,-2}, ∴“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的必要不充分条件. 4.(2016·北京)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 D 解析 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件. 5.在下列三个结论中,正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A是B的必要不充分条件,则綈B也是綈A的必要不充分条件; ②“ ”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件; ③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①② 解析 易知①②正确.对于③,若x=-1,则x2=1,充分性不成立,故③错误. 题型一 命题及其关系 例1 (2016·宿州模拟)下列命题: ①“若a2 ②“全等三角形面积相等”的逆命题; ③“若a>1,则ax2-2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题; ④“若 x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是( ) A.③④B.①③C.①②D.②④ 答案 A 解析 对于①,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题;对于③,当a>1时,Δ=-12a<0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确.故选A. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. (1)命题“若x>0,则x2>0”的否命题是( ) A.若x>0,则x2≤0 B.若x2>0,则x>0 C.若x≤0,则x2≤0 D.若x2≤0,则x≤0 (2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福 答案 (1)C (2)D 题型二 充分必要条件的判定 例2 (1)(2015·四川)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件p: x>1或x<-3,条件q: 5x-6>x2,则綈p是綈q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)B (2)A 解析 (1)∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时loga3 ,b= 时,loga3 (2)由5x-6>x2,得2 即q: 2 所以q⇒p,p⇏q,所以綈p⇒綈q,綈q⇏綈p, 所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法: 根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. (1)(2016·四川)设p: 实数x,y满足x>1且y>1,q: 实数x,y满足x+y>2,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知p: x+y≠-2,q: x,y不都是-1,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A 解析 (1)当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p⇒q, 当x+y>2时,可以x=-1,y=4,即q⇏p, 故p是q的充分不必要条件. (2)(等价法)因为p: x+y≠-2,q: x≠-1或y≠-1, 所以綈p: x+y=-2,綈q: x=-1且y=-1, 因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q, 所以綈q是綈p的充分不必要条件, 即p是q的充分不必要条件,故选A. 题型三 充分必要条件的应用 例3 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P. 则 ∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3]. 引申探究 1.本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ 方程组无解, 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 2.本例条件不变,若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解 由例题知P={x|-2≤x≤10}, ∵綈P是綈S的必要不充分条件, ∴P⇒S且S⇏P. ∴[-2,10][1-m,1+m]. ∴ 或 ∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞). 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)已知命题p: a≤x≤a+1,命题q: x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________________. (2)已知条件p: 2x2-3x+1≤0,条件q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 答案 (1)(0,3) (2)[0, ] 解析 (1)令M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<0}={x|0 ∵p是q的充分不必要条件,∴MN, ∴
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