数学 暑期教案北师版 八升九8 因式分解.docx
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数学暑期教案北师版八升九8因式分解
第八讲因式分解
[教学内容]
《动态数学思维》暑期衔接版,八升九第八讲“因式分解”.
[教学目标]
知识技能
1.理解因式分解的意义,体会因式分解与整式乘法的关系;
2.了解因式分解的一般步骤,掌握提取公因式法和公式法进行因式分解.
数学思考
1.经历探究分解因式方法的过程,体会整式乘法与分解因式之间的关系;
2.通过合作探究,加深学生对因式分解的进一步理解和应用,能够熟练运用各种方法进行因式分解,体会转化的思想.
问题解决
1.学会逆用平方差公式,归纳出因式分解的不同的方法;
2.在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探索的结果.
情感态度
1.通过分析、引导、同学交流、同学归纳等数学活动,体验数学问题的探索性、挑战性;
2.提高学生的数学思维水平.
[教学重点、难点]
重点:
用提取公因式法和公式法进行因式分解
难点:
能够灵活应用各种不同的方法进行因式分解
[教学准备]
动画多媒体语言课件
第一课时
教学路径
导入:
课件播放动画
启动性问题
每天喝一包鲜牛奶逐渐成了人们的生活习惯.某种鲜牛奶的包装袋上注明了所含的营养成分,如图所示:
请你计算一包200mL(大约206g)的牛奶中脂肪和蛋白质的含量至少有多少克?
小萍:
根据题意,可知两种营养的含量至少是206×3.1%+206×2.9%,对式子提公因式可简便计算出结果.
小颖:
206×3.1%+206×2.9%=206×(3.1%+2.9%)=206×6%=12.36(g),故每包牛奶中至少含有12.36g脂肪和蛋白质.
师:
这节课我们一起来复习一下因式分解的知识,首先谁来说谁因式分解常用的方法有哪些?
.
回顾:
因式分解的常用方法:
1.提公因式法:
ma+mb+mc=m(__a+b+c__).
2.公式法:
(1)平方差公式:
a2-b2=_(a+b)(a-b)_;
(2)完全平方公式:
a2±2ab+b2=__(a±b)2__.
3.常用的方法除提公因式法和公式法外,还有分组分解法、十字相乘法、拆添项法、换元法和待定系数法等.
师:
在我们复习完相关的基础知识后,下面我们开始今天的课本知识的学习.
初步性问题
探究类型之一提公因式法或公式法
例1把代数式3x3-6x2y+3xy2分解因式,结果正确的是()
A.x(3x+y)(x-3y)B.3x(x2-2xy+y2)C.x(3x-y)2D.3x(x-y)2
解析:
先提公因式,再用完全平方公式因式分解:
3x3-6x2y+3xy2=3x(x2-2xy+y2)=3x(x-y)2.
答案:
D
观察这个式子,寻找公因式.
学生独立解答,教师指定学生讲解.
探究类型之二分组分解法
例2因式分解:
a3+a2-a-1=_______________.
解析一:
一二、三四分组:
a3+a2-a-1=a2(a+1)-(a+1)
=(a+1)(a2-1)
=(a+1)(a+1)(a-1)
=(a-1)(a+1)2.
解析二:
一三、二四分组:
a3+a2-a-1=a3-a+a2-1
=a(a2-1)+(a2-1)
=(a+1)(a2-1)
=(a-1)(a+1)2.
解析三:
一四、二三分组:
a3+a2-a-1=a3-1+a2-a
=(a-1)(a2+a+1)+a(a-1)
=(a-1)(a2+2a+1)
=(a-1)(a+1)2.
答案:
(a-1)(a+1)2
1.学生小组讨论,比一比哪个小组得到的方法多.
2.讨论结束后,指定各小组代表汇报.
3.教师小结:
把多项式通过恰当的分组后,再进行因式分解,叫做分组分解法,分组的原则:
分组后各组能因式分解,并在此基础上能完成对整个多项式的因式分解.
探究类型之三十字相乘法、拆添项法等方法
例3因式分解:
x3+6x2-27x.
解析:
先提取公因式x,然后用十字相乘法因式分解即可.
答案:
解:
x3+6x2-27x=x(x2+6x-27)=x(x+9)(x-3).
教师指定学生上台板演并讲解,其他学生独立完成后仔细观察板演同学的解答过程并指正.
注:
如果学生没有掌握过十字相乘法,教师可以引导学生提取公因式后先配方(x2+6x+9-9-27),然后再用完全平方公式和平方差公式分解.最后让学生观察结果,教师讲解十字相乘法.
例4因式分解:
x3-9x+8.
解析一:
将x3拆分成9x3-8x3.
答案:
解:
x3-9x+8=9x3-9x-8x3+8=9x(x2-1)-8(x3-1)
=9x(x-1)(x+1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(9x2+9x-8x2-8x-8)=(x-1)(x2+x-8).
解析二:
将-9x拆分成-x-8x.
答案:
解:
x3-9x+8=x3-x-8x+8=x(x2-1)-8(x-1)
=x(x-1)(x+1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8).
解析三:
将8拆分成9-1.
答案:
解:
x3-9x+8=x3-1-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).
解析四:
添加两项-x2+x2.
答案:
x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-1)(x-8)=(x-1)(x2+x-8).
1.学生分小组合作探究本题的解决方法,比一比看哪个小组的方法多.
2.学生讨论结束后教师指定两个小组派代表上台展示自己小组的讨论结果.
3.教师根据两个小组的板演情况,请其他小组同学补充指正.
4.教师讲解并小结:
用拆项、添项的方法因式分解时,要拆哪些项,添哪些项并无一定规律,主要是靠对题目特点的观察,灵活变换,因此,拆项、添项是因式分解等方法中技巧性最强的一种.但是要注意,我们拆分或者添加项的原则是:
拆分或者添加项之后能够分组分解,并且每一组分解之后有公因式.一般来说我们拆分或者添加项之后要能用运用完全平方公式或者平方差公式.
师:
接下来我们一起做几道练习题.学生独立完成课后类似性问题1、2、4、7、8题.
类似性问题
1.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是()
A.x2+1B.x2+2x-1C.x2+x+1D.x2+4x+4
学生独立完成此题,集体核对答案.
2.分解因式2x2-4x+2的最终结果是()
A.2x(x-2)B.2(x2-2x+1)C.2(x-1)2D.(2x-2)2
学生独立完成此题,集体核对答案.
4.分解因式:
(1)2x2-8=________________;
(2)a2b+2ab+b=___________;(3)x3-2x2y+xy2=______________.
学生独立完成,指定两名学生上台板演过程,其他学生指正.
7.给出三个多项式:
①
x2+x-1;②
x2+3x+1;③
x2-x.请选择其中两个进行加法运算,并把结果分解因式.
解析:
选择其中两个进行加法运算有①+②,①+③,②+③共三种情况.
学生独立完成此题,指定学生讲解,其他学生补充指正.
8.因式分解:
(1)x4+4;
(2)x2+2ax-3a2.
解析:
(1)变形为x4+4x2+4-4x2,前面三项运用完全平方和公式分解,再运用平方差公式分解;(下一步)
(2)运用十字相乘法分解因式.
学生独立完成,教师指定学生讲解.
课堂小结
经过本节课的学习,大家对因式分解的方法有了进一步的熟悉,以后遇到类似的问题你是否有解决的办法了呢?
我们先休息一下.
第二课时
教学路径
师:
同学们谁来总结一下我们复习了哪些因式分解的方法?
生:
提取公因式法、公式法、十字相乘法、拆分、添加项法等.
师:
总结的非常好,常用的因式分解的方法就这些,但是有因式是乘积和和差混合的形式,而且乘积的两个因式往往非常长,那么这类问题我们又该怎么解决呢?
我们一起来看一看吧!
初步性问题
探究类型之四换元法
例5因式分解:
(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
解析:
整体思想.
设y=x2+x,根据整式的乘法法则整理后再分解因式,最后不要忘记用x2+x把y替换回来.
答案:
解:
设x2+x=y,则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5).
1.学生尝试独立进行因式分解,在学生进行因式分解的过程中,教师要注意巡视,在巡视过程中寻找两名学生上台板演自己的书写过程.(找两个解题思路不一样的学生上台板演:
一个直接计算乘法然后整理因式分解的,另一个使用换元法的)
2.指定学生上台板演,其他学生注意观察上台板演的两名学生的解答过程并指正.
3.教师讲解并比较两种方法哪种简便.
师:
同学们请思考一下,你还有其他的换元方法吗?
生:
我觉得还可以把x2+x+1看作整体来代换.
师:
自己尝试一下在练习本上把x2+x+1看作整体代换,然后分解一下吧,看看我们得到的结果是不是一样.
4.学生尝试用新的整体换元分解因式,教师指定学生上台板演.
5.教师小结:
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明、清晰.因此我们在遇到复杂的含有乘积形式的因式分解问题时,首先要注意对整个式子进行观察分析,找找看是否乘积的因式中含有相同部分,如果有,我们就可以考虑使用换元法进行因式分解.
探究类型之五因式分解的应用
例6已知248-1可以被60到70之间的两个整数整除,则它们是()
A.61,63B.61,65C.63,65D.63,67
解析:
利用平方差公式将248-1进行因数分解.(下一步)
248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)
=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).(下一步)
26+1=65,26-1=63.
答案:
C
1.教师指定学生说说本题的思路.
如果学生没有思路,教师可适当引导.
师:
在小学的时候我们是如何找一个数的因数的?
生:
分解质因数.
师:
那你觉得题目的意思是什么?
生:
所给的“248-1可以被60到70之间的两个整数整除”也就是要我们找“248-1”在60到70之间的两个因数.
师:
那现在你觉得应该怎么办呢?
生:
分解因式.
师:
自己分解一下找找看吧!
2.学生先独立分解因式,然后和同桌相互检查、交流,并说一说自己找到的结果是什么.
3.教师指定一名学生上台将自己因式分解的结果写出来,并说一说自己找到的结果是什么,其他同学集体核对.
4.教师小结:
利用因式分解判断数的整除,大大地简化了运算量,从而体现了运用公式的方便快捷.
师:
接下来,独自完成课后的类似性问题3、5、6吧.
类似性问题
3.若实数x,y,z满足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0,则下列式子一定成立的是()
A.x+y+z=0B.x+y-2z=0C.y+z-2x=0D.z+x-2y=0
解析:
(x-z)2-4(x-y)(y-z)=x2-2xz+z2-4xy+4xz+4y2-4yz
=x2+2xz+z2-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-4y(x+z)+4y2
=(x+z-2y)2;(下一步)
(x+z-2y)2=0,∴x+z-2y=0.
先对已知的式子进行化简,然后重新进行组合;
学生独立完成此题,指定学生讲解.
5.若m2-n2=6,且m-n=2,则m+n=________.
解析:
m2-n2=(m-n)(m+n)=6;(下一步)
∵m-n=2,∴m+n=3.
学生独立完成此题,指定学生讲解.
6.已知实数a,b满足ab=1,a+b=2,求代数式a2b+ab2的值.
学生独立完成此题,指定学生讲解.
课外拓展
例题1:
如图1是一个边长为(m+n)的正方形,贝贝将图1中的阴影部分拼成了图2的形状,由这两个图能验证的式子是().
A、(m+n)²-(m-n)²=4mn
B、(m+n)²-(m²+n²)=2mn
C、(m-n)²+2mn=m²+n²
D、(m+n)(m-n)=m²-n²
提示:
根据大正方形面积-阴影部分面积=空白处面积列等式化简.
大正方形的面积怎么求?
阴影部分组成的四边形的面积怎么求?
学生尝试解答.
答案:
B
例2:
计算:
(1)8x²-(x-2)(3x+1)-2(x+1)(x-5)
(2)(a+b-1)(a-b+1)-a²+(b+2)²
学生尝试解答,找学生进行板演讲解.
课件出示答案:
解
(1)原式=8x²-(3x²-5x-2)-2(x²-4x-5)
=8x²-3x²+5x+2-2x²+8x+10
=3x²+13x+12
(2)原式=[a+(b-1)][a-(b-1)]-a²+(b+2)²
=a²-(b-1)²-a²+(b+2)²
=(b+2)²-(b-1)²
=(b+2+b-1)(b+2-b+1)
=(2b+1)×3
=6b+3
师小结:
在整式运算中,要注意几点:
①灵活运用运算律、运算法则和乘法公式,寻找合理简捷的运算途径;
②利用乘法公式进行计算时,要分析式子的特点,正确选择公式,尤其要注意公式中字母的顺序和符号;
③当几个多项式乘积前面出现符号时,处理负号的方法是可将负号视为(-1)先与其中的一个因式相乘,或将负号后面的多项式结合在一起先相乘,然后利用去括号法则去括号.
全堂总结;
1、因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止(一般要按照降幂排列)
2、如果多项式最高次项的系数是负数,一般要提出负号,使括号内该项的系数是正数;
3、遇到有多项式乘方时,应注意下面的规律:
(k为整数)
4、注意换元法思想在因式分解中的应用:
将题目中相同的代数式看成一个整体去提取公因式、运用乘法公式或进行十字相乘.
注意:
因式分解是整式的恒等变形.
答案:
【类似性问题】
1.D
2.C
3.D
4.
(1)2(x+2)(x-2)
(2)b(a+1)2(3)x(x-y)2
5.3
6.解:
当ab=1,a+b=2时,原式=ab(a+b)=1×2=2.
7.解:
答案不唯一,如:
①+②=
x2+x-1+
x2+3x+1=x2+4x=x(x+4).
8.解:
(1)原式=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).
(2)原式=(x+3a)(x-a).
手册答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.
(1)2(x+2)(x-2)(3)x(x-2)2(3)(x-y-4)2(4)3m(2x-y+n)(2x-y-n)
(5)-a(a-
b)2
6.x(x+y)2(x-y)2
7.0
8.解:
8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy=8x2-16y2-7x2-xy+xy=x2-16y2=(x+4y)(x-4y).
9.解:
(1)原式=1200÷(300×4)=1.
(2)原式=(39.8-49.8)2=(-10)2=100.
10.证明:
∵a2-b2-c2-2bc=a2-(b2+2bc+c2)=a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b-c).
∵a、b、c是三角形的三边长,∴a+b+c>0,a<b+c.∴(a+b+c)(a-b-c)<0,即a2-b2-c2-2bc<0.
11.解:
(1)原式=(a3-b3)2=[(a-b)(a2+ab+b2)]2=(a-b)2(a2+ab+b2)2.
(2)原式=(a3+b3)(a3-b3)=(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2).
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