版高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及运算讲义理.docx
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版高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及运算讲义理
[考纲解读] 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置,了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义.
2.能应用空间两点间的距离公式,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.(重点、难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲一直是空间立体几何的基础,一般不单独命题.预测2020年会与多面体相结合进行考查,题型为解答题,解题时利用空间向量法解决问题,试题难度不会太大,属中档题型.
1.空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式
①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则|AB|=.
②设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为
|OP|=.
(2)中点公式
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则.
2.空间向量的数量积
a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
3.空间向量的坐标运算
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(a,b均为非零向量):
1.概念辨析
(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同.( )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).( )
(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.( )
(4)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.( )
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.小题热身
(1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+cB.a+b+c
C.-a-b+cD.a-b+c
答案 A
解析 由题意,根据向量运算的几何运算法则,=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.故选A.
(2)若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是( )
A.a,a+b,a-bB.b,a+b,a-b
C.c,a+b,a-bD.a+b,a-b,a+2b
答案 C
解析 A,B,D中三组向量都是共面向量,不能构成基底,c,a+b,a-b不共面可以构成基底.
(3)已知向量a=(2,-3,5),b=,且a∥b,则λ等于________.
答案 -
解析 因为a∥b,所以==,所以λ=-.
(4)已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的余弦值为________.
答案 -
解析 cos〈a,b〉==-.
题型 空间向量的线性运算
如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
(2);
(3)+.
解
(1)∵P是C1D1的中点,
∴=++=a++=a+c+=a+c+b.
(2)∵N是BC的中点,
∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
(3)∵M是AA1的中点,
∴=+=+=-a+a+c+b
=a+b+c,
又=+=+=+=c+a.
∴+=+=a+b+c.
条件探究 在举例说明条件下,若=,=2,试用a,b,c表示.
解 如图,连接AF,则=+.
由已知四边形ABCD是平行四边形,
故=+=b+c,
=+=-a+c.
又=-=-(b+c),
由已知=2,
所以=+=-=-
=c-(c-a)=(a+2c),
所以=+=-(b+c)+(a+2c)=(a-b+c).
用已知向量表示某一向量的注意事项
(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立.
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.
提醒:
灵活运用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来.
1.如图所示,在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________(用a,b,c表示).
答案 a+b+c
解析 因为D为BC的中点,
所以=(+)=(b+c),
又因为E为AD的中点,所以=(+)==a+b+c.
2.如图所示,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,点M在线段PC上,点N在线段PD上,且PM=2MC,PN=ND,若=x+y+z,则x+y+z=________.
答案 -
解析 =-=-=(-)-(+)=-+-(+)=--+,
所以x+y+z=--+=-.
题型 共线向量与共面向量定理的应用
1.(2018·郑州调研)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ等于________.
答案 -9
解析 由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),
∴解得λ=-9.
2.(2018·唐山质检)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0≤k≤1).
(1)向量是否与向量,共面?
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?
解
(1)∵=k,=k,
∴=++
=k++k
=k(+)+
=k(+)+
=k+=-k
=-k(+)
=(1-k)-k,
∴由共面向量定理知向量与向量,共面.
(2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内,故直线MN与平面ABB1A1不平行.
当0 (1)知与,共面,故MN∥平面ABB1A1. 证明三点共线和空间四点共面的方法 提醒: 三点共线通常转化为向量共线,四点共面通常转化为向量共面,线面平行可转化为向量共线、共面来证明,共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件. 1.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且=++t,若P,A,B,C四点共面,则实数t=________. 答案 解析 ∵P,A,B,C四点共面,∴++t=1, ∴t=. 2.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(++). (1)判断,,三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. 解 (1)由已知++=3, ∴-=(-)+(-), 即=+=--, ∴,,共面. (2)由 (1)知,,,共面且MA,MB,MC过同一点M, ∴M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内. 题型 空间向量的数量积及应用 角度1 空间向量数量积的运算 1.(2018·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( ) A.a2B.a2 C.a2D.a2 答案 C 解析 如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60°. =(a+b),=c, ∴·=(a+b)·c =(a·c+b·c) =(a2cos60°+a2cos60°)=a2.故选C. 角度2 空间向量数量积的应用 2.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°. (1)求AC1的长; (2)求证: AC1⊥BD. 解 (1)记=a,=b,=c, 则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a·b=b·c=c·a=. ||2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =1+1+1+2×=6, ∴||=,即AC1的长为. (2)证明: ∵=a+b+c,=b-a, ∴·=(a+b+c)·(b-a) =a·b+|b|2+b·c-|a|2-a·b-a·c =b·c-a·c =|b||c|cos60°-|a||c|cos60°=0. ∴⊥,∴AC1⊥BD. 空间向量数量积的三个应用 1.(2018·南充三模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列命题: ①(++)2=32; ②·(-)=0; ③向量与向量的夹角为60°; ④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|. 其中正确命题的序号是( ) A.①②B.①②③ C.①④D.①②④ 答案 A 解析 设正方体边长为单位长为1,建立空间直角坐标系,如图. =(0,0,1),=(1,0,0),=(0,1,0),=(1,1,1),=(1,0,-1), 所以对于①,(++)2=(1,1,1)·(1,1,1)=3=32,故①正确; 对于②,·(-)=(1,1,1)·(0,1,-1)=0,故②正确; 对于③,因为·=(1,0,-1)·(0,1,1)=-1,向量与向量的夹角为120°,故③错误; ④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为||||·||,但是|··|=0,故④错误.故选A. 2.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=且λ>0,则实数λ=________. 答案 3 解析 因为λa+b=(4,1-λ,λ),所以|λa+b|==,所以λ2-λ-6=0(λ>0),所以λ=3.
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- 关 键 词:
- 高考 数学 一轮 复习 立体几何 空间 向量 运算 义理