空间向量和立体几何练习题及答案.docx
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空间向量和立体几何练习题及答案
1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD丄平面ABCD,
点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=7,AB=4.
(1)求证:
M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【分析】
(1)设ACnBD=O,则0为BD的中点,连接OM,利用线面平行的性质证明OM//PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点;
(2)取AD中点G,可得PG丄AD,再由面面垂直的性质可得PG丄平面ABCD,则PG丄AD,连接OG,贝UPG丄OG,再证明OG丄AD.以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面PAD的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小;
(3)求出P的坐标,由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【解答】
(1)证明:
如图,设ACnBD=O,
•••ABCD为正方形,二O为BD的中点,连接OM,
•••PD//平面MAC,PD?
平面PBD,平面PBDn平面AMC=OM,
•••PD//OM,则丄-二,即卩M为PB的中点;
BDBP
(2)解:
取AD中点G,
•••PA=PD,二PG丄AD,•••平面PAD丄平面ABCD,且平面PADG平面ABCD=AD,•••PG丄平面ABCD,贝UPG丄AD,连接OG,贝UPG丄OG,
由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG//DC,贝UOG丄AD.
以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,
由PA=PD=V^,AB=4,得D(2,0,0),A(-2,0,0),P(0,0,讥),C(2,4,0),B(-2,4,0),M(-1,2,平),
设平面PBD的一个法向量为|—■-.■,-.■,
取平面PAD的一个法向量为:
:
LII:
•二面角B-PD-A的大小为60°;
(3)解—:
=,平面BDP的一个法向量为,,1.1.-
•直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos
Imllml@+4+护19
【点评】本题考查线面角与面面角的求法,训练了利用空间向量求空间角,属中档题.
2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA丄底面ABC,/BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(I)求证:
MN//平面BDE;
(U)求二面角C-EM-N的正弦值;
(川)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为二,求
-W-丄
线段AH的长.
【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF//平面BDE,NF
//平面BDE.得至U平面MFN//平面BDE,贝UMN//平面BDE;
(U)由PA丄底面ABC,/BAC=90°.可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一
个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角c-EM-N的余弦值,进一步
求得正弦值;
(川)设AH=t,则H(0,0,t),求出而、瓦的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为」列式求得线段AH的长.
21
【解答】(I)证明:
取AB中点F,连接MF、NF,
•••M为AD中点,二MF//BD,
•••BD?
平面BDE,MF?
平面BDE,二MF//平面BDE.
•••N为BC中点,二NF//AC,
又D、E分别为AP、PC的中点,二DE//AC,贝UNF//DE.
vDE?
平面BDE,NF?
平面BDE,二NF//平面BDE.
又MFANF=F.
•••平面MFN//平面BDE,贝UMN//平面BDE;
(U)解:
vPA丄底面ABC,/BAC=90°.
•••以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
vPA=AC=4,AB=2,
•A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E
(0,2,2),
则叮…..一,「...一,
设平面MEN的一个法向量为.1「,
由图可得平面CME的一个法向量为:
.
•••coy=:
二
2t-2
长为一或].
Im[|n|XI21
•••二面角C-EM-N的余弦值为],则正弦值为;
2121
(川)解:
设AH=t,则H(0,0,t),而二(七-2,t),祝二(七厶2).
•••直线NH与直线BE所成角的余弦值为」,
21
•••1cosv忙],1=|
|=||='.
|NH||BE|晶I迈21'
解得:
t=或t=±.
52
•••当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为」,此时线段AH的
21
【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题.
3.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是-的中点.
(I)设P是卜上的一点,且AP丄BE,求/CBP的大小;
(U)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
D
【分析】(I)由已知利用线面垂直的判定可得BE丄平面ABP,得到BE丄BP,结合/EBC=120。
求得/CBP=30°;
(U)法一、取"的中点H,连接EH,GH,CH,可得四边形BEGH为菱形,取AG中点M,连接EM,CM,EC,得至UEM丄AG,CM丄AG,说明/EMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小.
法二、以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.求出A,E,G,C的坐标,进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小.
【解答】解:
(I)vAPIBE,AB丄BE,且AB,AP?
平面ABP,ABAAP=A,
•••BE丄平面ABP,又BP?
平面ABP,
•••BE丄BP,又/EBC=120°,
因此/CBP=30°;
(U)解法一、
取宀的中点H,连接EH,GH,CH,
vZEBC=120°,a四边形BECH为菱形,
•••AE=GE=AC=GC=;?
取AG中点M,连接EM,CM,EC,
则EM丄AG,CM丄AG,•••ZEMC为所求二面角的平面角.
又AM=1,二EM=CM=:
二.
在厶BEC中,由于/EBC=120°,
由余弦定理得:
EC2=22+22-2X2X2Xcos120°=12,
•••阮II,因此△EMC为等边三角形,
故所求的角为60°.
y,z轴建立空
1,乙0),
解法二、以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在直线为x,间直角坐标系.
由题意得:
A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,灭,3),C(-
故.'J.•,…:
■,…-:
.
设I〕・•,”|〕为平面AEG的一个法向量,
-3zi=0
円如二o,取Z1=2,得訊“刃;
.:
为平面ACG的一个法向量,
•二面角E-AG-C的大小为60°.
【点评】本题考查空间角的求法,考查空间想象能力和思维能力,训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小,是中档题.
4•如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,
/AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(I)证明平面ABEF丄平面EFDC;
(U)求二面角E-BC-A的余弦值.
【分析】(I)证明AF丄平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面
ABEF丄平面EFDC;
(U)证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的坐标系,求出平面BEC、平面ABC的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E-BC-A的余弦值.
【解答】(I)证明:
:
ABEF为正方形,二AF丄EF.
vZAFD=90°,「.AF丄DF,
vDFnEF=F,•••AF丄平面EFDC,
•••AF?
平面ABEF,•••平面ABEF丄平面EFDC;
(U)解:
由AF丄DF,AF丄EF,
可得/DFE为二面角D-AF-E的平面角;
由ABEF为正方形,AF丄平面EFDC,
•••BE丄EF,
•••BE丄平面EFDC
即有CE丄BE,
可得/CEF为二面角C-BE-F的平面角.
可得/DFE=/CEF=60°.
•••AB//EF,AB?
平面EFDC,EF?
平面EFDC,
•••AB//平面EFDC,
•••平面EFDCG平面ABCD=CD,AB?
平面ABCD,
•••AB//CD,•••CD//EF,•••四边形EFDC为等腰梯形.
以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a,
0),
则E(0,0,0),B(0,2a,0),CC1,0,-a),A(2a,2a,
•••T=(0,2a,0),:
■=,设平面BEC的法向量为=(xi,yi,zi),则
2ayj=0
则,"西八,取E=(丙,0,-1).yxj-2ay!
+—az
设平面ABC的法向量为n=(X2,y2,Z2),则f号
n-AB=O
则[头戸毗+爭^円,取:
=(°,価,4).
2az2=:
0
设二面角E-BC-A的大小为B,贝上os9=1—
ImI-|n|=-4二—龙佰
I;:
■:
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.
5.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交于BD于点H,将△DEF沿EF折到△D‘EF的位置,0D'=不.
(I)证明:
D‘H丄平BABCD;
(U)求二面角B-D‘A-C的正弦值.
【分析】(I)由底面ABCD为菱形,可得AD=CD,结合AE=CF可得EF//AC,再由ABCD是菱形,得AC丄BD,进一步得到EF丄BD,由EF丄DH,可得EF丄D'H,然后求解直角三角形得D'H丄OH,再由线面垂直的判定得D'H丄平面ABCD;
(U)以H为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,由已知求得所用点的坐标,得到厂、、.「的坐标,分别求出平面ABD'与平面AD'C的一个法向量二,设二面角二面角B-D'A-C的平面角为求出|cos|B.则二面角B-D'A-C的正弦值可求.
【解答】(I)证明:
:
ABCD是菱形,
•••AD=DC,又AE=CF=匚,
4
•…,贝UEF//AC,
EAFC
又由ABCD是菱形,得AC丄BD,贝UEF丄BD,
•EF丄DH,贝UEF丄D'H,
•••AC=6,
•AO=3,
又AB=5,AO丄OB,
•OB=4,
•0H==1,贝UDH=DH=3,
AD
•|OD|2=|0H|2+|D'H|2,贝UD'H±OH,
又OHAEF=H,
•D'H丄平面ABCD;
(n)解:
以h为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,
TAB=5,AC=6,
•••B(5,0,0),C(1,3,0),D'(0,0,3),A(1,—3,0),「...一.:
1.-:
「「二,
设平面ABD'的一个法向量为:
:
4x+3y=0,取x=3,得y=—4,z=5.
-x+3y+3z=0
•m-」.j
同理可求得平面AD'C的一个法向量■'-I-;,IjJ.
设二面角二面角B—D'A—C的平面角为9,
|nt*n2
I^H^I_5V2XV10—25
【点评】本题考查线面垂直的判定,考查了二面角的平面角的求法,训练了利用平面的法向量求解二面角问题,体现了数学转化思想方法,是中档题.
6.在三棱柱ABC—AEG中,CA=CB,侧面ABBA是边长为2的正方形,点E,F分别在线段AA“AQ上,且AE=-,,CE丄EF.
24
(I)证明:
平面ABBiAi丄平面ABC;
(U)若CA丄CB,求直线ACi与平面CEF所成角的正弦值.
【分析】⑴取AB的中点D,连结CD,DF,DE•计算DE,EF,DF,利用勾股定理的逆定理得出DE丄EF,由三线合一得CD丄AB,故而CD丄平面ABB1A1,从而平面ABB1A1X平面ABC;
(II)以C为原点建立空间直角坐标系,求出和平面CEF的法向量-1,则直线ACi与平面CEF所成角的正弦值等于|cosv「"「>|.
【解答】证明:
(I)取AB的中点D,连结CD,DF,DE.
•••AC=BC,D是AB的中点,二CD丄AB.
•••侧面ABBiAi是边长为2的正方形,AE=1,AiF=:
;.
•••EF2+DE2=DF2,Ade丄EF,
又CEXEF,CEADE=E,CE?
平面CDE,DE?
平面CDE,
•••EF丄平面CDE,又CD?
平面CDE,
•••CD丄EF,
又CD丄AB,AB?
平面ABBiAi,EF?
平面ABBiAi,AB,EF为相交直线,
•••CD丄平面ABBiAi,又CD?
ABC,
平面ABBiAiX平面ABC.
(II):
平面ABBiAi丄平面ABC,•••三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,二CG丄平面ABC.
TCA丄CB,AB=2,二AC=BC=「.
以C为原点,以CA,CB,CCi为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则A(V^,0,0),C(0,0,0),Ci(0,0,2),E,0,寺),F(,
2).
:
=(-",0,2),1=(",0,),'=(―,—,2).
Ti5
[n*CT-0
设平面CEF的法向量为'i=(x,y,z),
z=0
令z=4,得'i=
2z=0
・:
=10,|F=6",j=■.
•g「•>=r
u
【点评】本题考查了面面垂直的判定,线面角的计算,空间向量的应用,属于中档题.
7.如图,在四棱锥中P—ABCD,PA丄平面ABCD,AD//BC,AD丄CD,且
AD=CD=2*:
「,BC=4':
PA=2.
(1)求证:
AB丄PC;
(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M-AC—D的大小为45°,如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
【分析】
(1)利用直角梯形的性质求出AB,AC的长,根据勾股定理的逆定理得
出AB丄AC,由PA丄平面ABCD得出AB丄PA,故AB丄平面PAC,于是AB丄
PC;
(2)假设存在点M,做出二面角的平面角,根据勾股定理求出M到平面ABCD的距离从而确定M的位置,利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h,根据勾股定理计算BM,则十即为所求角的正弦值.
Dnl
【解答】解:
(1)证明:
•••四边形ABCD是直角梯形,
AD=CD=2匚,BC=4匚,
•••AC=4,AB=丄「'■■■:
=4,
•••△ABC是等腰直角三角形,即AB丄AC,
•••PA丄平面ABCD,AB?
平面ABCD,•••PA丄AB,
•••AB丄平面PAC,又PC?
平面PAC,
•••AB丄PC.
(2)假设存在符合条件的点M,过点M作MN丄AD于N,则MN//PA,•••MN丄平面ABCD,二MN丄AC.
过点M作MG丄AC于G,连接NG,则AC丄平面MNG,
•••AC丄NG,即/MGN是二面角M-AC-D的平面角.
若/MGN=45,贝UNG=MN,又AN=匚NG=匚MN,•••MN=1,即M是线段PD的中点.
•••存在点M使得二面角M-AC-D的大小为45°.
在二棱锥M-ABC中,Vm-ABC=丄5厶ABC?
MN=二二】■-'=—,
3
设点B到平面MAC
323
•••MG==MN=乙
的距离是h,则VB-MAC=,■■|,
•-「MAC=「」「「[=2:
解得h=2':
.
BN=;-;八,
•••BM=「:
.卩[「'=3:
h=2血
'厂.
【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质,空间角与空间距离的计算,属于中档题.
8•如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1G中,侧面AiACCi丄底面ABC,
/AiAC=60°.
(1)求侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足」=二+于,在直线AA!
上是否存在点P,使DP//平面ABQ?
若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)推导出A0丄平面ABC,BO丄AC,以0为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz,利用向量法能求出侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值.
(2)假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z),则
..利用向量法能求出存在点P,使DP//平面ABiC,其坐标为(0,
0,诉),即恰好为Ai点.
【解答】解:
(i)v侧面AiACCi丄底面ABC,作AiO丄AC于点O,
AiO丄平面ABC.
又/ABC=/AiAC=60°,且各棱长都相等,
•••AO=i,OAi=OB=「,BO丄AC.…(2分)
故以0为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
则A(0,-1,0),B(诉,0,0),Ai(0,0^3),C(0,1,0),
•••瓦=(0,1,讥),画=(五g_Vs),AC=(0,2,0).•••(4分)设平面ABiC的法向量为:
npAB^Vs^+Sy-Vs^O
LnpAC=2y=0
设侧棱AA1与平面ABQ所成角的为9,
…„-AAi-n眉J7
则sin9=os<<,.,■>|=丨.I—,
1|讪卜|n|2V24
•••侧棱AA1与平面ABQ所成角的正弦值为△••••(6分)
4
(2):
匚,而:
:
-:
二「,」-..,||:
•••1=(-2二,0,0),又:
B(、□["),•••点D(-二,0,0).
假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z)一「.
•••DP//平面AB1C,'=(-1,0,1)为平面ABQ的法向量,
•y=0.…(10分)
又DP?
平面ABQ,故存在点P,使DP//平面AB1C,其坐标为(0,0,二),
即恰好为A1点.…(12分)
【点评】本题考查线面角的正弦值的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
9.在三棱柱ABC-AEG中,侧面ABBiAi为矩形,AB=2,AA=~,D是AA、
的中点,BD与ABi交于点0,且CO丄平面ABBiAi.
(I)证明:
平面ABiC丄平面BCD;
(U)若OC=OA,△ABiC的重心为G,求直线GD与平面ABC所成角的正弦值.
【分析】(I)通过证明ABi丄BD,ABi丄CO,推出ABi丄平面BCD,然后证明平面ABiC丄平面BCD.
(U)以O为坐标原点,分别以OD,OBi,OC所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz•求出平面ABC的法向量,设直线GD与平面ABC所成角a,利用空间向量的数量积求解直线GD与平面ABC所成角的正弦值即可.
【解答】(本小题满分i2分)
解:
(I)vABBiAi为矩形,AB=2,—D是AAi的中点,二/BAD=90°,
..Liu—.,「[…,-二
从而-,i■■|i='=—_-7—,;-一.一二_・—】-.,
AdZ1ddI£1Z
•••/ABD=/ABiB,・・・(2分)
•••rfn.叶「|甘一,从而AB」BD…(4分)
•••CO丄平面ABB1A1,AB1?
平面ABB1A1,•AB1±CO,:
BDACO=O,•AB1
丄平面BCD,•ABi?
平面ABiC,
•平面ABiC丄平面BCD…(6分)
(U)如图,以O为坐标原点,
分别以OD,OBi,OC所在直线为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
在矩形ABBiAi中,由于AD//BBi,所以△AOD和厶BQB相似,从而:
OAODAD乙
又--,二ill;丨「讣;:
’.-•匚E「,-,'--,
A(0t马二0),B(弋2,0、0)
QB严,•心—2晅八“斶
C(0,0,竽),野(0,誓
G(0,竽.竽),尿您
设直线GD与平面ABC所成角
二
,_
所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为一•••(12分)
65
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
10.
在矩形ABCD中,AB=4匸,AD=2二,将△ABD沿BD折起,使得点A折
cos9二时,求BC与平面A'BD所成角的正弦值.
【分析】
(1)过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE,利用勾股定理及余弦定理计算AE,CE,由
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