高考必备圆锥曲线知识点及解题技巧.docx
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高考必备圆锥曲线知识点及解题技巧
椭圆
椭圆
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分APFiF?
在点P处的外如,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除公长轴的两个端点.
3.以議点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF】为肓.径的圆必与以长轴为宜径的圆内切.
5.若&(%,儿)在椭圆匚+—=1上,则过&的椭圆的切线方程是卑+冷=1.
nbab
6.若Pd(a-0,v0)在椭圆^+2T=1外,则过Po作桶圆的两条切线切点为円、P2,贝9切点弦吋2的直线
ab
方程是年+臂=1.
ah
2Q
7.椭岡3+S=l(a>b>0)的左右焦点分别为F】,F2,点P为椭圆上任恿一点乙FfF厂y,则椭恻
ab
的焦点角形的面积为S“=h2tan^・
1z2
22
8.椭圆冷+冷=1b>0)的焦半径公式:
异b2
IMFX1=a+•JMF21=a-(F,(-c,0),F2(c,0)M(x0>ja)).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q为点,A为椭圆长轴匕一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF丄NF.
10.
11.
过椭圆一个焦点F的直线与椭恻交于两点氏Q,Af.A?
为橢圆k轴上的顶点,A|P和A?
Q交丁点皿
A?
P和AQ交于点N,则MF丄NF.
Fy2h2
AB足椭圆—+—=1的不平行于对称轴的弦,儿)为AB的中点,则kaM^kAli=-—a■方-a"
即K舶学。
a几
则被Po所平分的中点弦的方程足写+卑二斗+牛.abab
椭圆一(会推导的经典结论)
1.椭圆^7+^=1(a>b>o)的两个顶点为州(-4()),2(sO),与y轴平行的直线交椭圆于P|・
ab'
X2y2
P2时AjP|与A2P2交点的轨迹方程是飞-r=1・
/b2
22
2.过椭圆―+耳"(a>0,b>0)上任一点儿)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C
ab
h2x
两点,则直线BC有定向且匕厂―L(常数).
3.若P为椭圆3+斗=|(a>b>0)h异于长轴端点的任一点,FbF2是焦点,ZPFFO=«,
ab2_
ZPF2F{=/J,则tan—e<7t—・
a+c22
12
4.设椭圆±r+2-=l(a>b>0)的两个焦点为Fi、F2?
P(异于长轴端点)为椭圆上任恿一点,在
s1n6?
c
APF1F2中,记上件尸尺=伉,乙PF\F&=卩,乙Ff2P=y,则有——;————=一=宅.
•*■sinft+sin/a
12
5.若椭恻二+匚二1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fj.F2,左那线为L,则肖0V虫石-1时,a"h
可在椭恻上求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
rv
6.P为椭圆〒沽I(5>。
)上任-点,閘为二焦点,A为椭圆内-定点,则
2a-\AF11^1P4I+IPFJV2“IAF}I,当且仅当A.F^P三点共线时,等号成立.
过椭圆^+^-=1(aAbAO)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M?
N两点,弦MN的垂直平ab
分线交x轴于p,则竺丄=£.
\MNI2
2
X
10・已知椭R—
a
2
+耳=1(a>b>0)4、B.是椭圆上的两点,线段AB的垂肖平分线与x轴相
b
交于点p(®,o),则-・±»<*。
<二±aa
11・设P点是椭圆—•+2r=l(a>b>0)上异于长轴端点的任一点JVF2为其焦点记ZF/代二a
丿Z?
Y
al)IPF1I1FF2l=__.
(2)G十心巧•
12.设A、B是橢圆一+-^-r=1(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,Z.PAB=a,ab
2
乙PBA="上BPA=y,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有⑴I/M1="°'纠・
(2)
a"-co/
2a2h2
tanatan//=1-^・(3)S^Ab=—co"・
b—a
13-已如椭吟f"
圆相交于A.B两点,点C在右准线/上,且PC丄x轴,则直线AC经过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作•椭圆的切线,与以K轴为直径的圆相交,则相应交点为相应焦点的连线必
与切线垂扎
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点打焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16•:
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离•与以该焦点为端点的焦半径之比为常数c(离心率).
(注:
在椭洌憊二角形中,菲焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点・)
17•椭圆焦-:
角形屮,内心将内点•与#焦顶点连线段分成定比e.
1&椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
G_l)_+(〉=】)_=1(直线V=--X上方部分)
553
23
凡应卩]曲线系,爭半功倍
利川曲线系解题,往往简捷明快,收到爭半功倍之效。
历以灵活运用曲线系是解析儿何中虫要的解题方法和技巧之一。
例6.求经过两圆空十#和/+y2+6y-28=0的交点,且圆心在血线*^~^=<:
上的圆的方程°
33十
则圆心为(,在直线上
1+兄1+A
二解得兄=丄7
故所求的方程为
七.巧用点耒,简捷易行在岡锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点井法,此法比具它方法更简捷•些.
1
例7・过点A(2,I)的直线与双曲线/-—=1相交于两点吟P"求线段PR中点的轨迹方程。
2
解:
设埒Cv弓g,形),则
设P】P2的中点为则
••・丐场中点m的忱迹方程是云一^七、=<^
解析儿何題怎么解
高考解析儿何试题般共有4题(2个选择题,1个坦空题,1个解答題),共计30分止右,考合的知识点约为20个左右.Ji:
命题•般累扣课本,突出重点,金面考杳.选择题和填空题考杳直线,凤圈锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答題車点考査圆供曲线中的束要知识盛通过知识的虫俎与链接,使知识形成网络,若垂考仓胚线与圆傣曲线的位置关系,求解有时还要用到半儿的基本知识,这点值得考生在复课时強化.
例1已知点T超半岡O的自径AB上点,AB=2、OT=t(0 ⑴写出直线/2T的方程; (2)計算LLJ点P、Q的坐标;屮y (3)证明: 由点P发;h的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q 讲解: 通过读图,看;点的坐标. 廿)显然上(1,1一)B’(一1,1+0于是臣线 的方程为y=—lx+ ⑵由方程组 (3)kPT= 山起线PT的斜率和自.线QT的斜率互为相反数知,山点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q需委注意的是,Q点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗? Xy 例2己知自线I与ffiR—+^r=Ka>h>0)有且仅有•个交点Q且少x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR ■fw 为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程. 讲解: 从直线! 所处的位創设出百线/的方程, 由已知,直线I不过椭圆的四个顶点,所以设直线I的方程为y=L^m(k^0).代入楠圆方程沪x2+a2y2=a2b2.得b2x2u2(k2x2+2hnxm2)=a2b2. 化简后,得关于x的一元-•次方程(a%? +沪)/+2kazmx+/胪-a2bz=0. 于是其判别式A=(2ka2m)2—4(azk2+力')(“‘加‘-a'方')=4a2h2(a2fc2+ft2-m2).由已知,得△=()•即初$疋2十沪=机2① 在直线方程y=kx+m中,分别令y=0,x=0,求—,0),S(0,? k). 令顶点P的坐标为(x,y),rh己知,得 即为所求顶点P的轨迹方程. 代入①式并整理,得《+厶“,即为所求顶点P的轨迹方程.工)2 方程竺+=1形似椭囲的标准方程,你能画出它的图形吗? X2y12\/3V3 例3已知取曲线一厂-=1的离心率w=,过/4(a,O),«((),-/? )的百线到原点的即•离足—— /沪32 (.1)求发曲线的方程; (2)已知百线,=处+5仏工())交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为岡心的岡卜•,求k的伯. 讲解: ••• (1)三=2J3.原点到自线AB: ±_Z=i的曲离 a3ah uh ■\! J+J ・•・b=a=%/^・ 故所求双曲线方程为y 〈2)把》=kx+5代入_3〉,2=3中消公*整理得(1一3&2)/一30kv-78=0・ 设C(“儿XD(x2,y2),CD的中点足E(x0>y0),则 HE xa 15k5k’2一 ・・.Ya+ky.4-k=0,H|JH+在=O,乂A: O,/.k=7 "1-3A;21一3花2 故所求k=±\i7・ 为了求出R的值,需要通过消元,想法设法建枸《的方程. 例4己知椭圜C的中心在原点,焦点冃、屉在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且ZFiPFe的最大侑为90°,宜线 I过左焦点R与椭圆交于A、B两点,AABF2的而积星大值为12・ <1)求楠岡C的离心率: (2)求椭岡C的方程・ 讲解: (1)设IPFJ=jIP©l=0l片笃对人〃\役,山余弦定埋,得 山丈匕_]十宀°,八+Ga 2(—) (2)考虑百线/的斜率的存在性,可分两种怙况: i)M1k存在时,设I的方程为y=k(x+c) 椭圆方程为弓+£=—(知儿)』(“儿)山-返・得 /2 2c\hZ^cZ 于是楠圆方程可转化为/+2卡一2/=0 将①{弋入②,消去》得x2+2k\x^c)2-2c3=0, 整理为X的一元一次方程,得(I+2“)/+4<*3+2^占-°=o・ 则*、X2是上述方程的两根.且妊,|? 1S|=v'77Fl^■龙 1+2厂31+21 也可这样求解: -c\kI•IX,-x2I AB边卜.的|岛)=|FF“IsinZBF,F、=2cx—= THT7 由①®知S的最大值为忌2由題意得近/=12所以/=6込=b,a1=12逅 故m1AABF2面积用大时椭鬪的方程为: 丄,寸】 下面给出本遞的另一解法,请读者比较二者的优劣; 设过左焦点的百线方程为: x=zny-c① (这样设起线方程的好处是什么? 还请读者逬一步反思反思・)椭圆的方程为: -iT4-2_=L4(x1>y1).fi(x2>y2) ab° 由一亞•得: 宀2八宀八于是椭圆方程可化为: 宀2八2八0••••・•② 2 把①R入②并松埋得: 曲-2)八-2呻-/=0 于是儿*2是上述方程的两根. IAB1=J(“-卞严+(儿一儿)2=J1+'/I儿_儿丨=后亍f・乜.2逅曲卜<), m1+2mX+2 AB边上的高〃冷_ 为且仅出m=0取等号,即S®=72c2. 山题总知爲工=12,于是b2=C2=6^2.a2=12^2• 故出△ABF? 而积最大时楠圆的方程为: 22 X亠$1 22 .—xy.・•••-… 例5已知百线y=—兀+1打椭^1—+^-=\(a>b>0)相交于A、B两点,且线段AB的中点在言线 /: x-2v=(>±.(.1)求此桶圆的肉心率; (2)若椭圆的右焦点关于自线/的对祢点的在圆厂+,y2=4h,求此椭岡的方程. 讲解: (a2+沪)尢~—2a2x+a"—a^b1=0, 根据韦达定理,得-V,+X2=--2"-「儿+儿=-(X,+XJ)+2=-2fe7a+b"+ •••线段AB的中点坐标为(一./2)・ a*+ba+b ax2b水 由已知得一一——=0./.a2=2b a"+aJ+b° 故椭岡的离心率为忆= (2)由(1〉知b=s从而椭圆的右條点坐标为戸@,0),设卩(60)关于直线/: *一2丁=()的对称点为 y-01才介+bv..34 g从则二•厂“且丁-^寸“解得^=-^=7, 由已知得 +>^=4..*.(-&)2+(-&)2=4,/.Z>2=4,故所求的椭岡方程为—+—=1.005584 程. 已知OM: .r2+(>•-2)2=1,Q是兀轴卜•的动点,QA,QB分别切于A,B两点, (1)如果I佔1=—}求也统MQ的方程; (2)求动枝AB的中点P的轨迹方3 讲解: (1)山丨A*l=土空,可得 3 IMP1=JlMAI? -=¥'由射影定 IMBI2=lMPI•IMQI,得IMQl=3,在RtAMOQ中, IOQl=JlMQ\2-\MO\ 所以自线AB方程是2x+^5y一2\5=()或2工一斥y+2J? =0; 2v-2<2)连按MB,MQ,设P(x」)Q(s()),山点P,Q在一氏线上,得——=——,(*) -ax 山射影定理得IMBI2=lMPI・lA/QI,即+(y_2)2・、//+4=―杠) 把(J及("〉消去a,并注愆到y<2,可得x2+(y--)2=4 适时应用平面几何知谋,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙. V2 例7如图,在RtAABC中,ZCBA=90°,AB=2,AC=——。 DO丄AB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C2 点,动点P在E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变. (1)建立适竺I的坐标系,求曲线E的方程; (2)过D点的自线L写曲线E相交于不同的芮点M.N且M在D、N之间,设竺-=2,试确定实数久的取值范网.DN 讲解: (1>建立YlfiiA角坐标系,如图所示TlPA|+|PBhlCA (2)设直线L的方程为y=M+2,代入曲线E的方程+2y(2上~+l)x2十Skx+6=0设Mi(X]儿),N(x2,y2)» A=(柴)2-4(2&+1)x6>0, Sk Xj+心=一; 2R+1 6 值得读者注邈的是,立线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起芋惕. 例8戌线! 过拋物线j2=2px(p^0)的魚点,且与抛物线相交于A(“,儿)和曲点・ (1)求证: 4“心=P2;<2)求证: 对于拋物线的任意给定的一条弦CD,M线"、是CD的垂直平分线. 讲解: (1)易求得抛物线的焦点心二仍・若I丄X轴,则I的方'程为龙二二显然%严丄.若I不垂貞于x轴,可设 2'2124 假设厂过F,则0.— 2 叫上.AL)整理得«+")(2//+川+沪)=0・・・“工02P2' ・・・2八+/+〃'r(b・・・c+〃=0・这时厂的方程为y=0,从而厂与抛物线八=2pxX相交于原点.而I■抛物线冇曲个不同的交点,因此厂与I不重合•I不是CD的垂直半分线. 比題是课本題的深化,你能够找列它的原形吗? 知识在记忆申积累,能力在联想中捉升.课本是鬲考试起的生牧点,复课切忌忘掉课本! 例9某匸程要将自线公路I锲的土石,通过公路上的坊个道口A和B,沿若道路AP・BP运往公路刃侧的P处, PA=100m,PB=150m,ZAPB二60°,试说明怎样运土石最省工? 讲解: 以直线I为x轴,线段AB的中点为原戊对立血角坐标系,则在I一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的 点,设这样的点为M,则|MA|+|AP=|MB|+|BP|,即|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, •/IABl=50在双曲线=1的右支匕 252252x6 故曲线右侧的上石层经道口B沿BP运往P处,曲线A: 侧的上石层经道口A沿AP运往P处,按这种方法运上石就省1.・
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