高中数学必修3全册第一章《算法初步》精品讲义+基础过关测试整理推荐.docx
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高中数学必修3全册第一章《算法初步》精品讲义+基础过关测试整理推荐
高中数学必修3全册精品讲义+基础过关第一章《算法初步》(整理)
1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念
1.通过回顾解二元一次方程组的方法,了解算法的思想.(重点)
2.了解算法的含义和特征.(难点)
3.会用自然语言表述简单的算法.(易错易混点)
[基础·初探]
教材整理1 算法的概念
阅读教材P2~P3“例1”以上部分,完成下列问题.
12世纪的算法
指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程
数学中的算法
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤
现代算法
通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一个算法可解决某一类问题.( )
(2)算法的步骤是有限的,有些步骤可有可无.( )
(3)同一个问题可以有不同的算法.( )
【解析】
(1)√. 根据算法的概念可知.
(2)×. 算法的步骤是有限的,也是明确的,不能可有可无.
(3)√. 例如二元一次方程组的算法,可用“加减消元法”,也可用“代入消元法”.
【答案】
(1)√
(2)× (3)√
教材整理2 算法的特征
阅读教材P3~P4“例1”至“例2”的内容,完成下列问题.
1.有限性:
一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限步操作之后停止,不能是无限的.
2.确定性:
算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当模棱两可.
3.顺序性与正确性:
算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后续步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.
4.不唯一性:
求解某一问题的解法不一定是唯一的,对于同一个问题可以有不同的算法.
5.普遍性:
很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
下列可以看成算法的是( )
A.学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后做适当的练习题
B.今天餐厅的饭真好吃
C.这道数学题难做
D.方程2x2-x+1=0无实数根
【解析】 A是学习数学的一个步骤,所以是算法.
【答案】 A
教材整理3 算法与计算机
阅读教材P5结尾部分,结合本节内容完成下列问题.
1.算法设计的目的
计算机解决任何问题都要依赖于算法,只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤,即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能够解决问题.
2.算法设计的要求
(1)设计的算法要适用于一类问题,并且遇到类似问题能够重复使用;
(2)算法过程要做到能一步一步地执行,每一步执行的操作,必须是明确有效的,不能含糊不清;
(3)所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果,不能无限进行下去;
(4)设计的算法的步骤应当是最简练的,即最优算法.
3.算法与数学中的解法的联系和区别
(1)联系:
算法与解法是一般与特殊的关系,也是抽象
与具体的关系,算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决.
算法是“傻瓜化”的,相对于某一类问题的算法,不能省略任何一个小步骤,不能忽略任何一种可能的情况,否则计算机都不能完成执行过程,而只要按照算法一步一步进行,这类问题都会得到解决.
加减乘除运算法则、多项式的运算法则以及我们学过的许多数学公式等都是算法.
(2)区别:
算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称,也可以理解为数学中的“通法通解”;而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤,是具体的解题过程.
已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为:
第一步,令A=89,B=96,C=99.
第二步,计算总分S=____①____.
第三步,计算平均分M=____②____.
第四步,输出S和M.
【答案】 ①A+B+C ②
[小组合作型]
算法的概念
(1)下列描述不能看作算法的是( )
A.做米饭需要刷锅,淘米,添水,加热这些步骤
B.洗衣机的使用说明书
C.解方程2x2+x-1=0
D.利用公式S=πr2计算半径为4的圆的面积,就是计算π×42
(2)下列关于算法的说法:
①求解某一类问题的算法是唯一的;
②算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊;
③算法执行后一定产生明确的结果.
其中正确的是( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
【精彩点拨】 判断对算法的阐述是否正确,应当以算法的概念为标准,衡量各种阐述是否符合算法特点.
【尝试解答】
(1)A,B,D都描述了解决问题的过程,可以看作算法,而C只描述了一个事实,没说明怎么解决问题,不是算法.
(2)根据算法的特征可以知道,算法要有明确的开始与结束,每一步操作都必须是明确而有效的,必须在有限步内得到明确的结果,所以②③正确.而解决某一类问题的算法不一定是唯一的,故①错误.
【答案】
(1)C
(2)B
1.算法实际上是解决问题的一种程序性方法,它通常解决某一个或一类问题,在用算法解决问题时,显然体现了特殊与一般的数学思想.
2.算法的特点有:
①有限性,②确定性,③顺序性和正确性,④不唯一性,⑤普遍性.解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点.
[再练一题]
1.下列叙述中,
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;
②按顺序进行下列运算:
1+1=2,2+1=3,3+1=4,…,99+1=100;
③从青岛乘动车到济南,再从济南乘飞机到南京;
④3x>x+1;
⑤求所有能被3整除的正数,即3,6,9,12,….
能称为算法的有________.
【解析】 根据算法的含义和特征:
①②③都是算法;④⑤不是算法.其中④,3x>x+1不是一个明确的步骤,不符合确定性;⑤的步骤是无穷的,与算法的有限性矛盾.
【答案】 ①②③
算法的设计
设计一个算法,判断7是否为质数.
【精彩点拨】 依次用2~6除7,如果它们中有一个能整除7,则7不是质数,否则7是质数.
【尝试解答】 第一步,用2除7,得到余数1,所以2不能整除7.
第二步,用3除7,得到余数1,所以3不能整除7.
第三步,用4除7,得到余数3,所以4不能整除7.
第四步,用5除7,得到余数2,所以5不能整除7.
第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7.
因此,7是质数.
设计一个具体问题的算法,通常按以下步骤:
(1)认真分析问题,找出解决此题的一般数学方法;
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述;(3)将解决问题的过程划分为若干步骤;(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.
[再练一题]
2.设计一个算法,判断35是否为质数.
【解】 第一步,用2除35,得到余数1,所以2不能整除35.
第二步,用3除35,得到余数2,所以3不能整除35.
第三步,用4除35,得到余数3,所以4不能整除35.
第四步,用5除35,得到余数0,所以5能整除35.
因此,35不是质数.
算法的应用
设计算法,给定任一x的值,求y的值,其中y=
【精彩点拨】 题目中的函数为分段函数,求函数值时,应对x进行分类讨论.判断给定的x的值与0的大小关系,再代入相应关系式求函数值.
【尝试解答】 第一步,输入x的值.
第二步,判断x是否大于零,若x>0,执行第三步;否则,执行第四步.
第三步,计算y=x2+1的值,转去执行第五步.
第四步,计算y=2x-1的值.
第五步,输出y的值.
分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计,一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全,满足与不满足都要有相应的步骤.
[再练一题]
3.已知y=
写出给定变量x的值,求函数值y的算法.
【解】 算法如下:
第一步,输入x的值.
第二步,若x>0,则y=-x+1,然后执行第四步;否则执行第三步.
第三步,若x=0,则y=0;然后执行第四步,否则y=x+1.
第四步,输出y的值.
[探究共研型]
算法的概念与特征
探究1 是不是任何一个算法都有明确的结果?
【提示】 是.因为算法的步骤是明确的,有时可能需要大量重复的计算,但只要按部就班地去做,总能得到确定的结果.
探究2 书写算法时,能使用“……”、“同理”、“类似地”等词语吗?
【提示】 不能.书写算法时,要注意算法的确定性,步骤要清晰、明确,“……”、“同理”、“类似地”等所代表的部分是无法执行的.
探究3 一个具体问题的算法唯一吗?
【提示】 一个具体问题的算法不唯一.如解二元一次方程组的算法就有消元法、代入法两种.由于传统数学问题的解法不唯一,使得求解某一个问题的算法也不唯一.
探究4 写算法应该注意什么?
【提示】 算法就是解决问题的步骤,平时无论我们做什么事都离不开算法,算法的描述可以用自然语言,也可以用数学语言.
写算法应注意以下几点:
1.写出的算法,必须能解决一类问题(如:
判断一个整数n(n>1)是否为质数;求任意一个方程的近似解;…),并且能够重复使用.
2.要使算法尽量简单、步骤尽量少.
3.要保证算法正确,且计算机能够执行,如:
让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的.
再如:
用自然语言描述求y=-x2-2x+3的最大值的算法.
一般同学会这样写:
第一步,配方得y=-(x+1)2+4.
第二步,函数的最大值为4.
实际上,作为一个具体问题来说,上述解法没有什么错误,但是我们要描述的是求这一类问题的算法,它可以用来解决这个问题,也可以用来求这一类问题,则上述解法就欠妥了.应就y=ax2+bx+c作一般讨论.
本题算法应该这样写:
第一步,给a,b,c赋值.
第二步,判断a≥0是否成立,若成立,则输出“函数无最大值”,结束算法;否则执行第三步.
第三步,计算
,并将结果赋给max.
第四步,输出max,结束算法.(算法执行过程中,依次给a,b,c取值-1,-2,3)
1.下列关于算法的说法中正确的个数有( )
①求解某一类问题的算法是唯一的;②算法必须在有限步骤操作之后停止;③x2-x>2是一个算法;④算法执行后一定产生确定的结果;⑤对于像“喝一碗水”这类含有动作的语言能出现在算法的一个步骤中.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【解析】 因为x2-x>2仅仅是一个数学问题,不能表达一个算法,所以③是错误的.依据算法的多样性(不唯一性)知①错误,由算法的有限性知②正确,由于算法具有可执行性,算法的每一步必须是计算机能执行的,所以⑤是错误的,正确的有②④.
【答案】 B
2.结合下面的算法:
第一步,输入x.
第二步,判断x是否小于0.若是,则输出x+2,否则执行第三步.
第三步,输出x-1.
当输入的x的值为-1,0,1时,输出的结果分别为( )
A.-1,0,1B.-1,1,0
C.1,-1,0D.0,-1,1
【解析】 根据x值与0的关系,选择执行不同的步骤.当x=-1时,输出x+2,即输出1;当x=0时,输出x-1,即输出-1;当x=1时,输出x-1,即输出0.
【答案】 C
3.输入一个x值,利用y=|x+1|求函数值的算法如下,请将所缺部分补充完整:
第一步,输入x;
第二步,________;
第三步,计算y=-x-1;
第四步,输出y.
【解析】 含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用,本题中当x≥-1时y=x+1;当x<-1时y=-x-1,由此可完善算法.
【答案】 当x≥-1时,计算y=x+1,否则执行第三步
4.已知长方体的长、宽、高分别为a,b,c.写出求对角线长l的算法如下:
第一步,输入长、宽、高a,b,c的值.
第二步,计算l=
的值.
第三步,________.
将算法补充完整,横线处应填________.
【解析】 算法要有输出,故第三步应为输出结果l的值.
【答案】 输出对角线长l的值
5.设计一个算法,求表面积为16π的球的体积.
【解】 算法一:
第一步,取S=16π.
第二步,计算R=
(由于S=4πR2).
第三步,计算V=
πR3.
第四步,输出运算结果.
算法二:
第一步,取S=16π.
第二步,计算V=
π
3.
第三步,输出运算结果.
学业测评
(一) 算法的概念
(建议用时:
45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列四种自然语言叙述中,能称作算法的是( )
A.在家里一般是妈妈做饭
B.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤
C.在野外做饭叫野炊
D.做饭必须要有米
【解析】 算法是做一件事情或解决一类问题的程序或步骤,故选B.
【答案】 B
2.下列问题中,不可以设计一个算法求解的是( )
A.二分法求方程x2-3=0的近似解
B.解方程组
C.求半径为3的圆的面积
D.判断函数y=x2在R上的单调性
【解析】 A、B、C选项中的问题都可以设计算法解决,D选项中的问题由于x在R上取值无穷尽,所以不能设计一个算法求解.
【答案】 D
3.下列算法要解决的问题是( )
第一步,比较a与b的大小,如果a<b,则交换a,b的值.
第二步,比较a与c的大小,如果a<c,则交换a,c的值.
第三步,比较b与c的大小,如果b<c,则交换b,c的值.
第四步,输出a,b,c.
A.输入a,b,c三个数,比较a,b,c的大小
B.输入a,b,c三个数,找出a,b,c中的最大数
C.输入a,b,c三个数,按从大到小的顺序输出
D.输入a,b,c三个数,求a,b,c的平均数
【解析】 由这四个步骤可知算法要解决的问题是输入a,b,c三个数,按从大到小的顺序输出.
【答案】 C
4.有如下算法:
第一步,输入不小于2的正整数n.
第二步,判断n是否为2.若n=2,则n满足条件;若n>2,则执行第三步.
第三步,依次从2到n-1检验能不能整除n,若不能整除,则n满足条件.
则上述算法满足条件的n是( )
A.质数 B.奇数
C.偶数 D.约数
【解析】 根据质数、奇数、偶数、约数的定义可知,满足条件的n是质数.
【答案】 A
5.下列各式中T的值不能用算法求解的是( )
A.T=12+22+32+42+…+1002
B.T=
+
+
+
+…+
C.T=1+2+3+4+5+…
D.T=1-2+3-4+5-6+…+99-100
【解析】 根据算法的有限性知C不能用算法求解.
【答案】 C
二、填空题
6.求过P(a1,b1),Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法,请将算法补充完整:
第一步,令x1=a1,y1=b1,x2=a2,y2=b2.
第二步,若x1=x2,则输出斜率不存在,结束算法;否则,________.
第三步,输出结果k.
【答案】 k=
7.给出下列算法:
第一步,输入x的值.
第二步,当x>4时,计算y=x+2;否则执行下一步.
第三步,计算y=
.
第四步,输出y.
当输入x=0时,输出y=________.
【解析】 因为0<4,执行第三步,所以y=
=2.
【答案】 2
8.如下算法:
第一步,输入x的值.
第二步,若x≥0成立,则y=x;否则执行下一步.
第三步,计算y=x2.
第四步,输出y的值.
若输入x=-2,则输出y=________.
【解析】 输入x=-2后,x=-2≥0不成立,则计算y=x2=(-2)2=4,则输出y=4.
【答案】 4
三、解答题
9.已知某梯形的底边长AB=a,CD=b,高为h,写出一个求这个梯形面积S的算法.
【解】 算法如下:
第一步,输入梯形的底边长a和b,以及高h.
第二步,计算a+b的值.
第三步,计算(a+b)×h的值.
第四步,计算S=
的值.
第五步,输出结果S.
10.设计一个解方程x2-2x-3=0的算法.
【解】 算法如下:
第一步,移项,得x2-2x=3.①
第二步,①式两边加1,并配方得(x-1)2=4.②
第三步,②式两边开方,得x-1=±2.③
第四步,解③得x=3或x=-1.
第五步,输出结果x=3或x=-1.
[能力提升]
1.小明中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:
①洗锅盛水2分钟;②洗菜6分钟;③准备面条及佐料2分钟;④用锅把水烧开10分钟;⑤煮面条3分钟.以上各道工序,除了④之外,一次只能进行一道工序.小明要将面条煮好,最少要用的分钟数为( )
A.13B.14
C.15D.23
【解析】 ①洗锅盛水2分钟,②用锅把水烧开10分钟(同时②洗菜6分钟,③准备面条及佐料2分钟),⑤煮面条3分钟,共为15分钟.
【答案】 C
2.已知一个算法如下:
第一步,令m=a.
第二步,如果b<m,则m=b.
第三步,如果c<m,则m=c.
第四步,输出m.
如果a=3,b=6,c=2,则执行这个算法的结果是________.
【解析】 这个算法是求a,b,c三个数中的最小值,故这个算法的结果是2.
【答案】 2
3.鸡兔同笼问题:
鸡和兔各若干只,数腿共100条,数头共30只,试设计一个算法,求鸡和兔各有多少只.
【解】 第一步,设有x只鸡,y只兔,列方程组
第二步,②÷2-①,得y=20.
第三步,把y=20代入①,得x=10.
第四步,得到方程组的解
第五步,输出结果,鸡10只,兔20只.
4.写出求经过点M(-2,-1),N(2,3)的直线与两坐标轴围成的三角形面积的一个算法.
【解】 算法步骤如下:
第一步,取x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3.
第二步,得直线方程
=
.
第三步,在第二步的方程中,令x=0,得y的值为1,从而得直线与y轴的交点为B(0,1).
第四步,在第二步的方程中,令y=0,得x的值为-1,从而得直线与x轴的交点为A(-1,0).
第五步,根据三角形的面积公式求
S=
×|1|×|-1|=
.
第六步,输出运算结果S.
1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
第1课时 程序框图、顺序结构
1.了解程序框图的含义,理解程序框图的作用.(难点)
2.掌握各种程序框和流程线的画法与功能.
3.理解程序框图中的顺序结构,会用顺序结构表示算法.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 程序框图
阅读教材P6的内容,完成下列问题.
1.程序框图
(1)程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
(2)在程序框图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的流程线将程序框连接起来,表示算法步骤的执行顺序.
2.常见的程序框、流程线及各自表示的功能
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
○
连接点
连接程序框图的
两部分
在程序框图中,表示判断框的图形是( )
【解析】 四个选项中的程序框依次为处理框,输入、输出框,判断框和起止框.
【答案】 C
教材整理2 顺序结构
阅读教材P8~P9,完成下列问题.
1.定义:
顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的.这是任何一个算法都离不开的基本结构.
2.程序框图表示为:
3.顺序结构的特点
语句与语句之间、框与框之间是按照从上到下的顺序进行的.上图所示虚框内是一个顺序结构,其中“步骤n”和“步骤n+1”两个框是按顺序执行的,即只有在执行完“步骤n”后,才能接着执行“步骤n+1”.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)程序框图是算法的一种表现形式.( )
(2)一个完整的程序框图一定是以起止框开始,同时又以起止框表示结束.( )
(3)一个程序框图中可以没有顺序结构.( )
【答案】
(1)√
(2)√ (3)×
2.如图111所示的程序框图,输出的结果是S=7,则输入的A值为________.
图111
【解析】 该程序框图的功能是输入A,计算2A+1的值.由2A+1=7,解得A=3.
【答案】 3
[小组合作型]
程序框图的认识和理解
下列关于程序框图的说法正确的是( )
A.程序框图是描述算法的语言
B.程序框图中可以没有输出框,但必须要有输入框给变量赋值
C.在程序框图中,一个判断框可能同时产生两种结果
D.程序框图与流程图不是同一个概念
【精彩点拨】 根据程序框图的定义和程序框的功能判断.
【尝试解答】 由于算法设计时要求返回执行的结果,故必须要有输出框,对于变量的赋值可通过处理框完成,故算法设计时不一定要有输入框,因此B错;一个判断框产生的结果是唯一的,故C错;程序框图就是流程图,所以D错.故选A.
【答案】 A
1.理解程序框图中各框图的功能是解此类题的关键,用程序框图表示算法更直观、清晰、易懂.
2.起止框用“
”表示,是任何流程不可少的,表明程序的开始和结束.
3.输入、输出框图用“
”表示,可用在算法中任何需要输入、输出的位置,需要输入的字母、符号、数据都填在框内.
4.处理框用“
”表示,算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内,另外,对变量进行赋值时,也用到处理框.
5.判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号.
[再练一题]
1.关于程序框图的框图符号的理解,正确的是( )
①任何一个程序框图都必须有起止框;②输入框、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现;③判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号;④对于一个程序来说,判断框内的条件是唯一的.
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
【解析】 任何一个程序都有开始和结束,从而必须有起止框;输入、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现,判断框内的条件不是唯一的,如a>b?
也可以写为a≤b?
.但其后步骤需相应调整,故①②③正确,④错误.
【答案】 C
利用顺序结构表示算法
已知直线l:
Ax+By+C=0(A2+B2≠0),点P(x0,y0),设计一个算法计算点P到直线l的距离,并画出程序框图.
【精彩点拨】 可以利用点到直线的距离公式d=
,给公式中的字母赋值,再代入计算.
【尝试解答】 用自然语言描述算法如下:
第一步,输入点P的横、纵坐标x0,y0,
输入直线方程的系数,即常数A,B,C.
第二步,计算z1=Ax0+By0+C.
第三步,计算z2=A2+B2.
第四步,计算d=
.
第五步,输出d.
程序框图:
1.对于套用公式求解的问题往往运用顺序结构,编写顺序结构的算法,应写公式,看公式中的条件是否满足,若不满足,则先求出需要量,然后将公式中涉及的量全部代入求值即可.
2.应用顺序结构表示算法的步骤
(1)认真审题,理清题意,明确解决方法;
(2)明确解题步骤;
(3)数学语言描述算法,明确输入量、计算过程、输出量;
(4)用程序框图表示算法过程.
3.顺序结构在程序框图中的表现就是用流程线
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