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高数下册笔记精
第七萃微分方程
§1微分方程的根木概念
一•根木概念:
1.微分方程;凡表示未知函数,未知函数的导数与自变址之间的关系式称为微分方程.
2•常微分方程;如果微分方程中的未知函数是一元函数,那么称此类方程为常微分方程.
3•偏微分方程;如果微分方程中的未知函数是多元函数,那么称此类方程为偏微分方程.
4.微分方程的阶;微分方程中所出现的未知函数的最商阶导数的阶数.就称为此微分方程的阶.
5.微分方程的解;将某个函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式,那么就称此函数为此微分方程的解.
6.微分方程的通解:
如果微分方程的解中含有任总常数.并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等.那么这样的解就称为此微分方程的通解.
7.微分方程的初始条件与特解.
8.微分方程的积分曲线:
微分方程的解的图象是一条平面曲线.称此曲线为微分方程的积分曲线.
二•例题分析
P263.5.写出由以下条件所确定的曲线所满足的微分方程:
例1.曲线在点处(兀的切线的斜率等于该点横坐标的平方.
解:
设该曲线的方程为y=f(x),那么由題总得:
y*=x2.这就是所需确定的曲线应满足的微分方程.
例2.曲线上点P(x,y)处的法线与X轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分.
解:
设该曲线的方程为y=且设曲线在点p处的法线记为l.那么其斜率为一1/才:
设法线L与Y轴的交点为点
A,
再设法线L上任总:
一点M的坐标为进而得法线L的方程为:
Y—y=k(X—x)且&=一1/〉「
即y-y=-(X-x)/y':
那么易求得:
XQ=x+y・y‘且YA=y+x/yl①
由題意知点A为线段P0的中点知:
Xq+Xp=2Xa且命+"=2齐②
由上述①.②两式最终可得:
2x=y・y‘这就是所需确定的曲线应满足的微分方程.
§2.可别离变址的一阶微分方程(注:
它是一类最易求解的微分方程!
〕
一・一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式:
一般形式:
F(x,”y)=Ou>对称形式:
P(x.y)dx+Q(x.y)dy=0
二•何为可别离变址的一阶微分方程?
如果某一阶微分方程由对称式:
P(x.y)dx+Q(x.y)dy=0>
可等价地转化为f(x)dx+g(y)dy=0的形式,那么称原方程为可别离变虽的微分方程.
三.可别离变量的一阶微分方程的根木解法:
(可由如下两步來完成求解过程)
第一步:
进展自变址兀,dx与因变虽dy的左右别离:
第二步方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解.
§3.—阶齐次微分方程(注:
它是一类经变虽代换之后.可转化为"变址左右别离的一阶微分方程!
)
一・一阶齐次微分方程的定义:
在某个一阶微分方^—=/(兀刃中,如果方程右边的函数/(%,V)可写成丄的函数式即/(俎刃=0(上)・dxxx
高数下册辅导材料……徐松林版
也即丿京方程形如:
©=0(上),那么称此微分方程为一阶齐次微分方程.
dxX
2.一阶齐次微分方程的根本解法:
转化求解法——即首先将原一阶齐次微分方程转化为变址别离方程:
然后再按变虽别离方程的解法去求解即可!
具体地说.
第一步,作变虽:
代换令"=—,那么y=ux,—=u+x—•代入原一阶齐次微分方程©=卩(丄)得:
it+x—=(p(u):
x”dxdxdxxdx
第二步•进展变駅"与x的左右别离得:
=—:
(p(u)-uX
第三步•两边求不定积分即可得其解・・・・
三・例题分析参见P271.例1・
又如.P276.1.(4).求方程(%3+y3)dx-3xy2dy=0的通解.
八dyXs+y3x2yydydu
M:
原方程可转化为3—=——=—4■->作变虽代换令u=-.那么y=ux.—=u+x—,
dxxy*厂兀xdxdx
那么原方程转化为:
3(M+X—)=-V+H(注意:
齐次方程在进展变虽代换之后.一定是可以进展变虽别离的!
)dxir
fJw
紧接着就进展自变址与因变量的左右别离=>x—=—-2m=>上■上=—・最后两边作不定积分即可・・・dxir1-2mx
§4・一阶线性微分方程
1.一阶线性微分方程的定义:
dy
称形如:
—+P(x)v=Q(x)的方程为一阶线性微分方程.
dx
(注:
因为方程的左边对未知函数y及其导数來说是一次线性组合的形式,所以称上述方程为”线性”方程!
)
dy
(i)・QM=0时,那么称—+P(x)y=0为一阶线性齐次微分方程.
dx
dy
(ii)・•、勺0(x)HO时,那么称—+p(x)y=QM为一阶线性非齐次微分方程.
dx
2.一阶线性微分方程的解法(常数变易法是求解线性非齐次方程的根木方法)
1.所谓的”常数变易法":
就是为了求解某一阶线性非齐次方程,可先去求解与其所对应的齐次方程:
然后在所得齐次方程的通解中.将任总常数C代换成一个待定的未知函数u(x)來构造生成非齐次方程的解:
最后再将由此法构造生成的解,代回原
非齐次方程中去确定那个待定函数"(X)的表达式.整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法・(可参考P
278■例1)
2.一阶线性微分方程:
半+P(x)y=0(x)的通解公式如下:
y=eT"M・[jQ(x)』"M〃x+c]请牢记!
三•伯努利方程(注:
它是一类经变址代换之后可转化为可别离变虽的一阶微分方程!
)
1・伯努利方程的定义
dy
我们称形如:
—+PMy=Q(x)^yn....(*)的方程为”伯努利方程”(或称”〃级伯努利方程”).
dx
2・伯發利方程的解法(变址代换转化法)
只要令z=严,那么虫=(l—〃)yj•空.将其代入原川级伯努利方程(*)可得
dxdx
=>—+(1—x)”(x)・z=(1—戸)・Q(x)——这是一个一阶线性非齐次方程!
dx
进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解,这样也就求出原伯纺利方程(*)的解!
3・变虽代换法在求解微分方程中的运用
利用变虽代换(包括自变虽的变址代换和因变址的变虽代换),把一个微分方程转化为可别离变虽方程,或转化为一个其求解步骤的方程,这是解微分方程的常用方法.
例1・解方程.P282.9.
(1).—=(X+y)2
dx
解:
可令u=x+y9那么原方程转化为©=—-l=zr=>—=w2+l=>-^=^两边积分就可得其解……dxdxdxir+1
例2.P282.9.(3)解方程xyy=y(Inx+Iny)
解:
可令"=Inx+Iny=In小=>小=eu两边关于自变量X求导得=>y+小‘=”仁—代入原方程得:
dx
uellx~]=el<•—=>mx"1=—=>—=—两边枳分就可得其解
dxdxux
§6・可降阶的商阶微分方程(木节着重学握三种容易降阶的岛阶微分方程的解法)
一・)")=/(“)型微分方程这类尚阶微分方程的解法很简也,只要两边枳分"次,就可得其通解・二y^=f(x,yr)型微分方程
首先此方程yM=的类型是二阶显微分方程,且此这类二阶显微分方程的特征是”不显含I対变虽y”・
此类方程的解法:
运用变量代换进展降阶求解.具体地.可令/?
=—,那么«<=仝.
dxdx"dx
进而原方程转化为:
—=这是一个一阶显微分方程.根据其具体形式,可按前几节所介绍的求解一阶方程的
dx
解法去求解得其通解设为p=(p(x、C\)又/?
=—.也即有—=(p(x.q)=>dy=(p{x,c})dx.最后只耍两边再作
dxdx
一次积分,就可得原二阶显微分方程的解.
三・*=/(”)')型微分方程
首先方程)严=f(y.yr)的类型也是二阶显微分方程,且此这类二阶显微分方程的特征是”不显含自伏I变虽兀“・
dyd2ydpdpdydp
此类方程的解法:
也是运用变址代换进展降阶求解.具体地.可令p=——,那么一六=斗=斗•十=P•斗,进而原
dxdx^dxdydxdy
方程转化为p-—=f(y.p)一一这也是一个一阶显微分方程•根据其具体形式,可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法
dy
、dyzdy
去求解…设得其通解为p=(p(y.c{)又/?
=—>也即有一=0(”q)=>必=—:
一•最后只要两边再作一次积分,dxdx0(”C|)
就可得原二阶显微分方程的解.
四・例題分析
P292.1.(5)求解方程:
=
解:
第一步:
判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变Sy>即)』=型.
dyd^ydpdp
接着可令厂矿那么京二矿进而原方程转化为:
莎刁-这是-阶线性非齐次方斤
4-p=X.dx
由一阶线性非齐次方程的通解公式知:
p=e『欣•[j*x•丿皿dx+c]=ex-[Ja^^Zv+c]=-x+e2x+cex:
进而知:
p=—=-x+e1'+cex=>dy={e2x+cex-x)dx.最后只要两边再作一次积得原方程的通解••…dx
五.微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问題中的运用
所谓”微分方程的参数方程形式的隐式通解”就是将微分方程的通解用参数方程形式來刻画.即将微分方程的自变址x
与因变虽y都表达成某个参数p的函数式的形式.
例如:
P292.1.(4)求解方程:
=l+
解:
首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变址X和y.它同屈y”=与yM=所以解
法相对由自.以下我们來介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家!
先设/?
=—.那么2=—.进而原方程转化为:
—=1+/<=>-化=tZx=>[〃、-=fdx.
dxdx^dxdx1+jrJ1+/?
"J
=>x=arctan/?
+q这就求得了自变址x关于参数p的函数式:
以下再來求出因变址y关干参数p的函数式.进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解.
由p=—=>dy=pdx="'P、,所以y=LIn(l+〃')+
dx1+/广2・
x=arctanp+q
注:
运用同样的方法.大家可以尝试一下去求解P292.1・(8):
(9):
(10).
§7・商阶线性微分方程(主婆的是学习二阶线性微分方程的有关理论!
)
1.二阶线性微分方程的定义:
称形如:
y1•+PWyt+Q(x)y=f(x)……(*)的方程为二阶线性微分方程.
(注:
方程的左边对未知函数y及其导数这三者來说,是一次线性组合形式!
)
⑴•'勺/(x)=0时,那么称y"+P(x)y'+Q(x)y=0为二阶线性齐次微分方程.
(ii).当/WHO时,那么称y"+P(x)y'+Q(x)y=/(x)为二阶线性非齐次微分方程.
2.二阶线性微分方程的解的构造
1・二阶线性齐次微分方程“解的磴加原理••
定理1:
设y}W与儿匕)都是二阶线性齐次微分方程yM+PMy9+Q(x)y=0的解,
那么此两解的任意线性组合y=q•(x)+c2・y2(x)也是此二阶线性齐次微分方程的解.
定理1提醜r齐次方程的解所满足的一种性质.此性质常称为齐次方程••解的腔加原理”・
2・藝个函数间的线性相关性与线性无关性的定义(参见教材P296从略)特别地,两个函数y\W与北(X)在区间I上线性相关O丄山=常数.VxeI・
3.二阶线性齐次微分方程的通解的构造
定理2:
设”(x)与y2(x)是二阶线性齐次微分方程y”+P(x)・y4Q(x)・y=0的解•且牙(x)与y2(x)线性无关,
那么此两解的任总线性组合y=ct・才(兀)+彳・)‘2(羽就是原二阶线性齐次微分方程的通解.
定理2提程了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解!
4・二阶线性非齐次微分方程通解的构造
定理3:
设y\x)是二阶线性非齐次微分方程yM+P(x)y'+Q(x)y=f(x)...(*)的一个特解.且Y(x)是对应的二阶
线性齐次方程y"+P(x)y'+O(x)y=0的通解,那么y=r(x)+/(x)就是原二阶线性非齐次微分方程(*)的通解.
定理3提駁了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解!
即:
非齐次通解y=齐次通解Y+非齐次特解y*・5・二阶线性非齐次微分方程解的磴加原理(P297定理4)
定理4:
设有二阶线性非齐次微分方程y,'+P(x)y'+Q(x)y=f(x),(其中/(x)=/(x)+/2(x).)
而(%)是y"+P(x)y'+QWy=fx(x)的特解,且y2(x)是y"+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)的持解
那么Y{x)=x(x)+y2(x)就是原二阶线性非齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解.
定埋4提醜了如何去求非齐次方程特解的一种方法.它通常又称为非齐次方程解的叠加原理!
6.定理5:
设比(X)与〉,2(x)是二阶线性非齐次微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=/(x)...(*)的两个不相等的特解,
那么Y(x)=y2(x)-y,(x)是对应的二阶线性齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0的一个非零特解.
此定理提程了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解!
7•例题分析P326.1・(4).y}=\.y2=x,y3=x2是某二阶线性非齐次微分方程的三个解•试求该方程的通解?
分析与解答:
设此二阶线性非齐次微分方程为y"+P(A-)y'+Q(x)y=/(a)....(*),
那么由定理3知:
非齐次通解y=齐次通解Y+非齐次持解y*,现由题意知”非齐次特解y*”可取
X=1」2=匕儿=疋之中的任总:
一个,故以下只要求出”齐次通解孑”來即可・
再由定理2知:
”齐次通解丫"是两个线性无关的齐次持解的任意线性组合即:
Y(x)=c}Y{M+c2'Y2(x)(其中
Y}{x\Y2(x)是两个线性无关的齐次持解).而现在又应如何來求得两个线性无关的齐次特解呢?
这可根据”定理5”來得到!
由"定理5”知,可令:
y;(x)仝儿(力一儿(兀)三x-i且冬(无)兰儿co一x(x)三戸一1・且显然两者线性无关,
所以原非齐次方程的通解为y=y(X)+X(X)=C]・Y}(x)+C2Y2(x)+儿(x)=q・(x—1)+—•(妒一1)+1・
3.二阶线性非齐次微分方程的求解过程中的常数变易法与二阶线性非齐次微分方程的通解公式
1・二阶线性非齐次微分方程求解过程中的”常数变易法11・
为了求解二阶线性非齐次微分方程y1•+PMy'+Q(x)y=/(%)..・
(1),可先求解与之对应的齐次方程:
第一步:
先求得对应的二阶线性齐次微分方程+P(x)y9+Q(x)y=O..・
(2)的两个线性无关特解”(x)与儿(切・那么由定理2知:
y=q・比(0+02・儿(%)•…(3)就是原二阶线性齐次微分方程
(2)的通解:
第二步:
对齐次方程的通解(3[作常数变豺去构造生成非齐次微分方程
(1)的解为y=m(x)・”(x)+v(x)・儿(兀)…(4)(其中u(x\v(x)是两个待定的未知函数h
第三步:
接下來将(4)式代入原非齐次方程
(1)并设法去求出这样也就求出了原非齐次方程
(1)的解G这就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法.
2・二阶线性非齐次微分方程的通解公式
定理6・设y}(x)与"(X)是二阶线性齐次方程yn+P(x)y'+Q(x)y=O・・・・・
(1)的两个线性无关的特解,
记必/=刃儿H0■那么与之对应的二阶线性非齐次方程+P(x)yl+Q(x)y=f(x)••…
(2)
31”
有通解公式:
y=)订罟1厶一)订耳亠仪.
§8・常系数齐次线性微分方程(重点是卑握二阶线性常系数微分方程的有关理论!
)
1.二阶线性常系数微分方程的定义:
在二阶线性微分方程:
yM+P(x)y*+C(x)y=O....
(1)之中.
(i).如果y;y的系数p(x\Q(x)都是常数,即
(1)式成为yn+pyl+qy=O(其中为常数),
那么称其为二阶线性常系数微分方程:
(门)・如果不全为常数,那么称y^+py'+gy=0为二阶线性变系数微分方程.
2.二阶常系数齐线性微分方程y,f4-py'+qy=0的解法:
(如下方法通常称为"特征根公式法”)
第一步,写出原微分方程的特征方程r+pr+q=09并求出此方程的二个特征根
第二步•根据特征根斤卡的不同情形,原方程y"+py+qy=0的通解公式如下:
(i).假设特征根GE不相等,那么原方程的通解为:
y=c/1V+cZ2X:
(ii)・假设持征根G3为相等,那么原方程的通解为y=(q+C2x)er'x:
假设特征根斤上为一对共純复根r}2=a+i/3,那么原方程的通解为:
y=-(qcospx+c2sinpx).
3.二阶常系数齐次线性微分方程y^+py'+qy=0的求解举例:
参见教材p301-305例1;例2;例3等.
6/126
§9.常系数非齐次线性微分方程(重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式!
)
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1.关于二阶线性常系数非齐次微分方程y"+py9+gy=fM(其中为常数)有如下结论:
定理6J设y^x)与比(X)是二阶线性常系数非齐次微分方程yv+py9+qy=O••…门)的两个线性无关的特解.
记W=N"工°.那么与之对应的二阶线性非齐次方程)严+py9+qy=f(x)••…
(2)
有通解公式:
请记牢!
注:
此定理6’只不过是第七节中介绍的"定理6”的一个特例而已!
2.常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例
例如P313.例2・求方程y”一5y'+6y=的通解.
解:
由定理5’应首先求对应的齐次方程y”一5>「+6y=0的通解•再运用定理5’來求原非齐次方程的通解.
易知齐次方程y"一5y'+6y=0的持征方程为r2-5r+6=0,特征根斤=2,“=3.
于是,齐次方程的两个线性无关的特解为X=纟",儿==>IV="儿=芒:
・X>1
进而原非齐次方程的通解为:
y=yA丄亠dx一yJ-dx=/T"_、:
—dx-e2x|"_、:
—dx
■JWJWJeJe
=>y=e'x(~xe~x-e~x+cJ_e2x(^x2+c2)=d}e2x+d2eyx-*(a2+jv)e".
3.木草朵例P327.7.设有可导函数0(x)满足(P(x)cosx+2£l(p(t)sintdt=x+1.求(p(x)=?
分析与解答:
这是一个”积分方程”,求解”积分方程”的思路:
首先我们把它转化为一个与其对应的微分方程,再來求解.
现由(p{x)cosx+2£0(/)sintdt=x+l两边关于自变虽X求导数得:
(p\x)cosx一(p{x)sinx+2(p(x)sinx=1=>(p\x}cosx+(p(x)sinx=1
现记y=0(x),那么有y*cosx+ysinx=l<=>y*+ytanx=secx——这是H一阶线性非齐次微分方程H・
-fp(x)drr\p(x}dx-lanxdxfItan.vdr,
由通解公式得:
y=eJ-[IQ(x)-eJdx+c]=y=eJ-[Isecx-eJdx+c]=sinx+ccosx・又由条件(p{x)cosx+2£(p(t)sintdt=x+1>l1x=0时.那么y=0(O)=l,所以c=l・
综上得原方程的解为:
y=sinx+cosx・
4.综述”求解微分方程的一般程序“如下:
第一步,判定方程的类型,它是一阶微分方程还是二阶微分方程?
(我们知道标准求解步骤的一阶方程类型包括:
①可别离变量方程:
②齐次方程:
③一阶线性(非)齐次方程:
④贝努利方程):
第二步•根据我们在木章所讲的各种方程的标准解法去求解!
补充说明:
如果方程类型是我们很陌生的形式.那么就首先考虑运用“变虽代换法”将其转化为我们所熟悉的方程类型:
然后
再按上面的标准步骤去解决问題.
第八草空间解析几何
高数下册辅导材料-•-…徐松林版
§1向虽及其线性运算
1.一些根本概念
①向虽与自由向址;②讥位向虽与零向址;③向虽的共线与共面;④向虽的模,方向角,以及投影等.
2.向虽的加法运算与数乘运算的定义
三•向虽的线性运算在空间直角坐标系下的表达
借助干空间直角坐标系.向量间的线性运算可以转化为它们坐标之间的线性运算.
§2向虽的数址积向址枳混合积
一•两个向量的数量积
1.数虽积的定义a-b=\a\-\b\cos0.(其中8为向虽方/之间的夹角)
2.数址积与投影之间的关系ab=1aIPrj./?
=1bIPr
3・数址积的运算规律
二•两个向虽:
的向址积
1.向址积的定义axb=\a\-\b\sin0,(其中&为向虽0,乙之间的夹角)
2.向址枳的模的几何总义:
它表示以向:
sN乙为邻边所成的平行四边形的面枳.
3.三个向虽的混合枳
1・混合枳的定义[adc]仝(“xZ?
)・c
2・三个混合积的模的几何意义:
它表示以向虽a.b.c为邻边所成的平行六面体的"有向体积11・
即[a,b9c]=sV;(i)当N恥呈右手系时,£=1:
(ii)当a.b.c呈左手系时,£=-\.
§3曲面及其方程
一.曲面方程的概念
1.如果某曲而s上的点的坐标=v与某个三元方程F(x,y,z)=0的解之间能构成一一对应,那么称
这个三元方程F(x,y,z)=0为此曲面s的方程;
2.建立曲面方程的一般方法:
首先在所求曲倆上任取一点M.记其坐标为M(x,y,z),然后利用该曲面的特征并将其等价地表
达为点M(x,>\z)的坐标应满足的条件式即可!
例如:
试求球心在点MoCxdy。
,%),半径为R的球面方程?
解:
设M(匕”z)为所求球血上任意一点,那么由I1=R
即IM()M1=y/ix-x^y+(y-y0)2+(z-z0)2=R
所以(x-x0)2+(y-y())2+(z-Zo)2=R2
二•旋转曲面
1.旋转曲面的定义(参见P312)
2.坐标平面内的平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲倆的方程及其特点:
例如:
将)%坐标平而内的曲线C:
/(>\Z)=0绕Z轴旋转所成旋转曲而亠的方程只
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