二次函数经典练习题.docx
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二次函数经典练习题
第十四讲二次函数的同象和性质
【重点考点例析】
考点一:
二次函数图象上点的坐标特点
例1已知二次函数y=a(x-2)2+c(a>0),当自变量x分别取
、3、0时,对应的函数值分别:
y1,y2,y3,,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y3<y2<y1B.y1<y2<y3C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2
对应训练
1.已知二次函数y=
x2-7x+
,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y3>y1D.y2<y3<y1
考点二:
二次函数的图象和性质
例2对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:
①它的图象与x轴有两个公共点;
②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1;
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3.
其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)考点:
二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.
对应训练
2.如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=
(x-3)²+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC;
其中正确结论是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
考点三:
抛物线的特征与a、b、c的关系
例3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论:
①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2,
则正确的结论是( )
A.①②B.①③C.②④D.③④
对应训练
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为x=
.下列结论中,正确的是( )
A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b
考点四:
抛物线的平移
例4如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移
个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线解析式是( )
A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1C.y=(x-1)2+1D.y=(x-1)2-1
对应训练
4.已知下列函数①y=x2;②y=-x2;③y=(x-1)2+2.其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有(填写所有正确选项的序号).
【聚焦中考】
1.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过( )
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
2.如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是( )
A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1
C.当x=-1时,y的值大于1D.当x=-3时,y的值小于0
3.(2015•菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+c和反比例函数
在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
4.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y3>y1>y2
5.已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:
①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象顶点坐标为(3,-1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:
①b2-4ac>0;②2a+b<0;③4a-2b+c=0;④abc<0.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
7.将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )
A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3
【备考真题过关】
一、选择题
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数值y<0时x的取值范围是( )
A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3
2.已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为( )
A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,1)
3.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a、b为常数)的图象如图,则a的值为( )
A.1B.
C.-
D.-2
4.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过(﹣1,1)、(2,﹣1)两点,下列关于这个二次函数的叙述正确的是( )
A.
当x=0时,y的值大于1
B.
当x=3时,y的值小于0
C.
当x=1时,y的值大于1
D.
y的最大值小于0
5.对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是( )
A.图象的开口向下B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.当x<1时,y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-1
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).对于下列命题:
①b-2a=0;②abc<0;③a-2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
7.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是( )
A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2-2
8.在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( )
A.(-2,3)B.(-1,4)C.(1,4)D.(4,3)
9.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为( )
A.1B.2C.3D.6
二、填空题
10平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为.
11二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法:
①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c<0;④当-1<x<3时,y>0.
其中正确的是(把正确的序号都填上).
12将抛物线y=x2+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是.
13.函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为.
14如图,把抛物线y=
x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=
x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为.
三、解答题
15知:
抛物线y=
(x-1)2-3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;
(2)函数y有最大值还是最小值?
并求出这个最大(小)值;
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
第十五讲二次函数的综合题及应用
【重点考点例析】
考点一:
确定二次函数关系式
例1如图,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,-3)
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
对应训练
1.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标.
考点二:
二次函数与x轴的交点问题
例2已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=3
对应训练
2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是( )
A.-8B.8C.±8D.6
考点三:
二次函数的实际应用
例3为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:
y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式.
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元?
考点四:
二次函数综合性题目
例4如图,已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA=
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值;
(3)在
(2)中四边形BMCA面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?
若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.
对应训练
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.
(1)求直线CD的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:
△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:
在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
【聚焦中考】
1.如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为( )
A.(
,
)B.(2,2)C.(
,2)D.(2,
)
2如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?
求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
3如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(-
,0),以0C为直径作半圆,圆心为D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:
直线BE是⊙D的切线;
(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?
若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
7.如图,抛物线y=
x2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.
(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.
8.如图,抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称,与坐标轴交与A,B,C三点,且AB=4,点D(2,
)在抛物线上,直线l是一次函数y=kx-2(k≠0)的图象,点O是坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线l平分四边形OBDC的面积,求k的值;
(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线l交于M,N两点,问在y轴正半轴上是否存在一定点P,使得不论k取何值,直线PM与PN总是关于y轴对称?
若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【备考真题过关】
一、选择题
1.已知函数y=x2+2x-3,当x=m时,y<0,则m的值可能是( )
A.-4B.0C.2D.3
2.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,则下列判断正确的是( )
A.a>0B.b2-4ac≥0
C.x1<x0<x2D.a(x0-x1)(x0-x2)<0
二、填空题
3若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是0或1
.
4如图,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,⊙P恒过点F(0,n),且与直线y=-n始终保持相切,则n=(用含a的代数式表示).
三、解答题
5如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系,并给出证明;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=-x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积.
(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?
若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由.
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