正反比例比例尺与解比例.docx

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正反比例比例尺与解比例

第4讲正反比例、比例尺与解比例

第一部分旧知回顾

1.比的含义、各部分名称、读写及求比值化简比的方法。

2.比与分数、除法的关系

3.按一定的比进行分配的应用。

（1）按一定的比进行分配的问题的解决方法。

（2）用按一定的比进行分配的方法计算；

（2）用比的意义进行计算。

（3）基本题型：

①已知总量及部分量的比，求部分量。

②已知其中一个部分量及两个部分量间的比的关系，求另一个部分量和总量。

③已知两个部分量的差及这两个部分量的比，求这两个部分量及总量。

（4）较复杂的题型：

①把间接的分配量转化为直接的分配量。

②把隐蔽的分配量转化成明显的分配量。

③把比转化成分率。

④将部分分量的比转化为所有分量的比。

第二部分新知梳理

1.生活中存在的变量问题

2.正、反比例的异同点

相同点

不同点

特征

关系式

正比例关系

都有两种相关联的量，都是一种量随着另一种量的变化而变化

相对应的两个量的比值（商）一定

=К（一定）

反比例关系

相对应的两个量的乘积一定

x×y=К（一定）

3.判断两种量成正比例、反比例或不成比例的方法

不是相关联的量不成比例

两种量相对应的量的比值一定成正比例

是相关联的量相对应的量的乘积一定成反比例

相对应的量的乘积和商都不是一个定值不成比例

4.图形的放大与缩小

（1）保持物体的图像（或图形）原来的形状不变而使物体的图像（或图形）变小/变大，叫做缩小/放大。

（2）图像（或图形）缩小/放大后所得到的图像（或图形）与原来图像（或图形）相比，形状相同，图像（或图形）变小/变大。

5.比例尺

意义：

图上距离和实际距离的比叫做比例尺。

类型：

分类标准

类别

说明

举例

按功能分类

缩小比例尺

把实际距离按一定的比缩小

1:

100，图上距离1厘米表示实际距离100厘米。

放大比例尺

把实际距离按一定的比扩大

10:

1，图上10厘米代表实际距离1厘米。

按表现形式分类

数值比例尺

用数字形式表示比例尺

1:

2000，图上1厘米代表实际距离2000厘米。

线段比例尺

用标注有数量关系的线段表示实际距离

03060km

图上1厘米代表实际距离60km。

6.比例与解比例

（1）比例的意义：

表示两个比相等的式子。

如：

a:

b=c:

d，其中a与d叫做比例的外项，b与c叫做比例的内项。

（2）比例的性质：

比例的外项之积等于比例的内项之积。

（3）解比例：

运用比例的性质求出比例中的未知数x的值叫做解比例。

第三部分能力点拨

能力1认识生活中相互依存的变量问题

例题1.下表是小明的体重随年龄的变化情况，回答各题。

年龄

出生时

6个月

1周岁

2周岁

6周岁

10周岁

体重/千克

3.5

7.0

10.0

14.0

21.0

31.5

（1）上表中哪些量在发生变化？

（2）说一说小明10周岁前的体重是如何随着年龄的增长而变化的？

例题2.笑笑有一本故事书，在看书之前，她做了一个计划，如下表所示：

看的天数

1

2

3

4

...

看的页数

30

60

90

120

...

（1）看所列的表格中，（）和（）是相关联的量，看的页数的多少是随着（）的变化而变化的。

（2）看的天数与看的页数两种量中相当应的两个数的比值都是（）。

能力2巧用路程比解决行程问题

例题：

甲、乙、丙进行200米赛跑（他们的速度保持不变），甲到终点时，乙还差20米，丙离终点还有25米，问乙到达终点时，丙还差多少米才到达终点？

能力3正比例的意义

例题：

一辆汽车行驶的速度是每小时90千米，汽车的行驶时间和路程如下表所示，把下表填写完整。

从表中你发现什么规律？

时间/时

1

2

3

4

5

6

7

8

路程/千米

90

180

270

我发现的规律是：

。

能力4判断两种量是否成正比例的方法

例题：

判断下面各题中的两种量是否成正比例，并说明理由。

（1）每袋大米的质量一定，大米的总质量与袋数。

（2）一个人的身高和年龄。

（3）宽一定，长方形的周长与长。

（4）正方形的边长与周长。

能力5用设数法判断两种量是否成正比例

例题：

圆的面积和半径是否成正比例？

能力6认识正比例的图像问题

例题：

已知一辆汽车每小时行驶70千米，完成下表：

时间/时

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

...

路程/千米

（1）根据上表的数据完善下图，并在图中描出各点，说出各点的含义（纵轴表示路程，每格代表70千米，横轴表示时间，每格代表1小时）。

（2）根据表中的数据判断时间与路程成什么比例？

并说明理由。

（3）连接表中的各点，你发现了什么？

能力7用正比例关系解决实际问题

例题：

小明用弹簧秤称量物体的体重，一次称3千克的黄瓜时，弹簧长12.75厘米，称5千克的西红柿时，弹簧长13.25厘米。

在没有称物体时，弹簧长多少厘米？

能力8反比例的意义

例题：

一个平行四边形的面积是128cm2，请把下面的表格填写完整。

从表中的数据来看，你发现什么规律？

平行四边形的底/cm

128

64

32

16

8

4

2

1

平行四边形的高/cm

1

我发现的规律是：

。

能力9判断两种量是否成反比例的方法

例题：

判断下面各题中的两种量是否成反比例，并说明理由。

（1）三角形的面积一定，它的底和高。

（2）比值一定，比的前项和后项。

（3）比赛的路程一定，比赛所用的时间与速度。

能力10用推理的方法解决判断是否成比例的问题

例题：

当行驶的路程一定时，车轮的直径和它转动的圈数是否成比例？

成什么比例？

能力11认识反比例的图像问题

例题：

用X,Y表示面积为24平方厘米的长方形相邻的两条边长，完成下表：

X/cm

1

2

3

4

6

8

12

24

...

Y/cm

（1）根据上表的数据完善下图，并在图中描出各点，说出各点的含义（纵轴表示Y，，横轴表示X，每个正方形的边长为1厘米）。

（2）根据表中的数据判断X与Y成什么比例？

并说明理由。

（3）连接表中的各点，你发现了什么？

能力12用列表法解决图形放缩后周长与面积的变化问题

例题：

把一个长5厘米、宽3厘米的长方形各边放大到原来的3倍，它的周长和面积各发生了怎样的变化？

能力13比例尺的应用

1.已知比例尺和图上距离，求实际距离

例题：

在比例尺是1:

6000000的地图上，量得南京到北京的距离约是15厘米。

南京到北京的实际距离大约是多少千米？

2.已知比例尺和实际距离，求图上距离

例题：

一个长方形的操场，长110米，宽90米。

将它按比例尺

画在图纸上，长和宽各应画多少厘米？

能力14利用线段比例尺求实际距离

03060千米

例题：

在比例尺为的地图上，量得上海和广州相距约38厘米，两个城市的实际距离是多少千米？

能力15用抓住不变量的方法解比例尺的变换问题

例题：

在比例尺是1:

3000000的地图上，量得甲、乙两个城市间的图上距离是7厘米，如果画在比例尺1:

5000000的地图上，甲、乙两个城市之间的图上距离是多少厘米？

能力16运用比例的性质求未知数x

例题：

求下列各题的未知数x。

（1）

：

（x-6）=

：

6

（2）

=4:

15（3）2:

（5-x）=3:

（x+5）

一、填空题

1.圆柱的高一定，体积和底面积成（）。

2.单价一定，总价和数量成（）。

3.长方形的长一定，（）和（）成正比例。

4.除数不变，（）和（）成正比例。

（没有余数）

5.圆的周长和（）成（）比例。

6.总价一定，购买练习本的本数和单价成（）比例。

7.用油的总量一定，每天的用油量和用油的天数成（）比例。

8.a:

b=c（a,b,c均不为0），如果c一定，a与b成（）比例；如果a一定，b与c成（）比例；如果b一定，a与c成（）比例。

9.

=

（x,y不为0），x和y成（）比例。

10.在一个比例式中。

两个外项都质数，它们的积是22，一个内项是这个积的

，这个比例式可以是（　　　　　　　　　）。

11.一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是

，另一个外项是（　　　　　　）。

12.比例尺=（）：

（）。

13.在比例尺是1:

200000的地图上，图上距离1厘米表示实际距离（）千米，甲、乙两地的实际距离是60千米，在这幅地图上的图上距离为（）厘米。

14.一个机器零件长6毫米，按10:

1的比画在图纸上，要画（）毫米。

15.如果学校平面图的比例尺是1:

1000，在图上量得操场长30厘米，操场的实际距离长是（）米。

16.如图是一幅地图的比例尺，图上1厘米代表实际距离（）千米，改写成数值比例尺是（）。

080160千米

17.一个精密零件，实际长5毫米，在一幅设计图上量得它的长是10厘米，这幅地图的比例尺是（）。

二、选择题

1.表示x和y成正比例关系的是（）。

A.x-y=4B.x+y=10C.x=3y

2.甲数是乙数的

，甲数与乙数（）。

A.成正比例B.不成比例C.成反比例

3.走路的速度一定，（）和所用的时间成正比例。

A.总路程B.时间C.每小时走的路程

4.表示不是正比例关系的式子是（）。

A.

=k（k一定）B.x•y=k（k一定）C.x=y•k（k一定）

5.圆锥的体积一定，底面积和高（）。

A.成正比例B.成反比例C.不成比例

6.方砖的面积一定，用砖的块数和铺地的面积（）。

A.成正比例B.成反比例C.不成比例

7.飞机的速度一定，飞行的时间与路程（）。

A.成正比例B.成反比例C.不成比例

8.表示c和a成反比例的式子是（）。

A.c+a=0B.c•a=15C.c=

a

9.比例尺1:

500000表示实际距离是图上距离的（）。

A.

B.500000倍C.5倍

10.在一幅地图上量得北京与莫斯科相距20厘米，两个城市的实际为5800千米，这幅地图的比例尺是（）。

A.1：

290B.20厘米：

5800千米C.1:

29000000

三、判断题

1.已知3x=5y,则x和y成正比例。

（）

2.三角形的底一定，三角形的面积和它的高成正比例。

（）

3.成正比例的两种量，一种量扩大，另一种量也随着扩大。

（）

4.一堆货物，运走的与剩下的成正比例。

（）

5.实际距离一定，比例尺越大，图上距离越长。

（）

6.在一幅平面图上，用4厘米表示40千米的距离，这幅平面图的比例尺是1:

10000。

（）。

7.比例尺中，图上距离与实际距离的比一定小于1。

（）

四、求未知数

（1）6.5：

x＝3.25：

4　　

（2）

（3）

五、解答题

1.淘气购买苹果的质量和应付的钱数如下表所示。

质量/千克

5

4

3

2

0.5

应付的钱数/元

10

8

6

4

1

（1）表中的质量和应付的钱数是如何变化的？

（2）用x表示购买苹果的质量，用y表示应付的钱数，你能用式子表示出购买苹果的质量x和应付的钱数y之间的关系吗？

2.右面方格纸上的“点”表示轮船的航行速度。

（1）观察右图中的数据把下表填写完整。

时间/小时

0

1

2

3

4

5

6

7

8

路程/千米

（2）时间和路程成什么比例关系？

为什么？

（3）不计算，看图回答：

这艘轮船2.5小时行驶了多少千米？

8小时能行驶多少千米？

3.学校新建一座大楼，长是150米，画在平面设计图上的长是25厘米，宽是15厘米。

（1）学校新建大楼平面设计图的比例尺是多少？

（2）新建大楼占地多少平方米？

六、解答下列各题

1.甲、乙两地相距8000米，小刚和小强同时从甲地出发到乙地，小刚和小强的速度比是4:

3，小刚到达乙地时，小强离乙地还有多少米？

2.有甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，当甲齿轮转2圈时，乙齿轮转3圈，丙齿轮转4圈，这三个齿轮的齿数之比是多少？

3.甲、乙两人同时从A地到B地，若两人都匀速行进，甲用4时走完全程，乙用6时走完全程。

则当乙所剩路程是甲所剩路程的4倍时，它们已经出发了多少小时？

4.公路边上有一块直角三角形的草坪，草坪的平面图如下，直角边AB实际长16米，这块草坪的实际面积是多少平方米？

A

4cm

B6cmC

5.在比例尺是1:

20000000的地图上，量得北京到南京的图上距离是4.5厘米，如果画在比例尺1:

30000000的地图上，北京到南京的图上距离是多少厘米？

6.一个长方形，被两条线段分成四个小长方形（如下图），其中三个小长方形的面积分别是20m2、24m2和30cm2。

求另一个长方形（图中阴影部分）的面积是多少平方米？

24

20

30

7.甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产个数之和的

，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的

，丙生产了50个。

这批玩具共有多少个？