等差数列前n项和教案公开课教案.docx
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等差数列前n项和教案公开课教案
精品文档项和”教案“等差数列的前n
教学环节
动活教师
动生活学现实模型:
图片欣赏①
动活明说
新课引入
首先让学生欣赏一幅美丽的图片创设情境:
模型——泰姬陵。
泰姬陵是印度著名的旅游景传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有点,观直同时提出第100层,大小相同的宝石,共有用实际你能计算出这个图案一共花了多一个问题:
..+100=?
少颗宝石吗?
也即计算生活引1+2+3+…新入万何老师按揭买房,向银行贷款25问题2:
课。
即每月还款采取等额本金的还款方式,元,
生活实例②
月,年1额比上月减少一定的数额。
2007以后每月比元,我第一次向银行还款2348月年20071上月的还款额减少5元,若以年那么到2026银行贷款利率为基准利率,月最后一次还款为止,何老师连本带利12一共还款多少万元?
,:
1+100=101首先认识一位伟大的数学家——高斯,学生高斯求,..50+51=101然后提出问题:
高斯是如何快速计算1+2+32+99=101,…和众所?
)(所以原式=501+101+4+…..+100?
=5050
周知,Sa,则设等差数列{}前n项和为nn第学生:
将首末两项配对,aa?
?
Sa?
a?
?
?
学生能n2n1n1?
以二项与倒数第二项配对,问题1快速解
n利用高斯算法如何求等差数列的前老师:
此类推,每一对的和都相答。
项和公式?
aa?
这里。
等,并且都等于探n1:
但是否刚好配对成功呢?
老师用到了为偶数时:
(1)n等差数取n学生:
不一定,需要对a?
?
?
?
Sa?
aa?
?
?
nn1nn列脚标值的奇偶进行讨论。
1?
22索和性质高从为偶数时刚好配当n斯算法对成功。
n出发,公)(?
aa?
S?
进对nn1n2
精品文档式
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探索公式
)n为奇数时:
(2aS?
a?
a?
a?
?
a?
?
nn?
11nnn?
1?
111?
?
222那么该如何解决落单的呢?
老师:
a1n?
1n?
2a)?
a?
aS?
(nn?
11n22aa?
1nn?
1?
1n?
22?
?
?
a)(an122n)aa?
?
(n12n取值的讨论,得到了前n同过对n项和求和公式:
)aaS?
?
(n1n2但是对n讨论麻烦了,能否有更好的方法求前n项和公式呢?
接下来给出实际问题:
伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢?
2问题:
如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢?
方法一:
aa?
?
?
aS?
?
an1nn1?
2a?
a?
?
?
Sa?
a11n2n?
n两式相加得:
)?
2Sn(a?
an1nn)a?
S?
(a?
n1n2方法二同样利用倒序相加求和法,教材做了如下处理:
]?
?
d(S?
a?
a?
)?
...[a(n?
d1)11n1]?
)?
(aS?
?
ad...)1?
(?
a?
[ndnnnn
当n为奇数时,中间的落单了。
一项a1n?
2(可能部分学生在此会遇到困难,老师做适当的引导。
)学生:
观察的脚标与a1n?
2aa?
脚标的关系,即:
n1aa?
1n?
1?
naa?
n122?
?
a1n?
222学生观察动画演示,不难发现用倒置的思想来解决此问题。
(由上一问题的解决,学生容易想求和序相加到倒)法。
学生:
利用倒序相加求和法。
S中的每一项用等将n差数列的通项公式进行巧在倒序相加求和妙的改写,时,d每一组中的都被正负
行讨论寻找求和公式思路自然,学生容易想到。
中对项间a1n?
的2解决办法的过程中,进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。
倒序相加求和法是重要的数学思想,为以后数列求和的学习做好了铺垫。
在等差数列前项和n公式的推导过程中,通过问
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议练活动
)?
aS?
n(a2两式相加得:
nn1n)公式1:
S?
(aa?
n1n2引导学生带入等差数列的通项公式,换a。
掉2整理得到公式n)?
n(n1d?
?
na公式2:
S1n21:
计算例…+n
(1)1+2+3+
(2)1+3+5+…+(2n-1)(3)2+4+6+…+2n(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n教师通过动画演示给
(1),
(2)问一个直观的解释。
变式练习:
课前提出的房贷问题。
设为,解:
由已知每月还款数成等差数列240?
?
a?
2348,d?
5,n?
?
a:
1n)1(n?
n?
?
na?
dS1n2239?
240)?
5?
?
240?
2348?
(2)(420120元?
抵消了。
学生类比方法一与方法二的联系与区别。
学生自己阅读教材,体会教材的解法是如何运用求和公式。
观察多媒体课件演示。
学生:
要求总还款额实际就是对一个等差数列求和。
题获得知识,让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活,同时又服务于生活
认识公
能否给求和公式一个几何解释呢?
3:
问题教师提示将求和公式与梯形建立联系。
)?
aa(nn1?
公式1:
Sn2aan1
将求和公式与梯形面学生:
积公式建立联系,而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。
与梯同样将公式学生:
2形面积公式建立联系。
用的思想将梯形分做一“割”个平行四边形和一个三角而梯形面积就是这两部形,分面积之和。
.
利用数形结合的思想,使学生对两个公式有直观的认
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式认识公式
aan1n(n?
1)d?
na?
公式2:
S1n2a1nad)(n?
11dn?
1)?
a?
a(1n
公式中一共含有学生讨论:
根据三个公式之间五个量,知由方程的思想,的联系,三可求二。
识,体会数学的图形语言。
例2在解决了
议练活动
剖析公式:
)an(a?
n1?
公式1Sn21)?
(nn?
S?
na公式d21n2da?
通项公式:
a?
()?
1n1n教师提示,从方程中量的关系入手。
…前多-10等差数列,-6,2,-2,例2少项的和为54?
?
?
a项和n解:
设题中的等差数列是,前n?
?
S为:
na10-(-6d10=-则,=-)=41?
?
S项和公式,54=,由等差数列前n令nn(n?
1)
学生讨论分析题目所含的已知量,选取了公式2进行运算,利用了方程的思想。
需要注意的是学生可能会把公差认为是-4,以及解得n的值后未把n=-3舍去。
学生进行了分组讨论,然后每组派学生代表进行分析。
不少小组首先对已知条件作转化,希望能通过解方程求出首项和公差,但
例1的基础上,由浅入深,深化了对公式的理解,体现了方程的思想。
紧扣教材,让学生体会整体应用公式,类比化归的思
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10n?
?
4?
54.
2.
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课堂总结
得:
=-3(舍去)解得=9,nn12等差数列的前因此,9项和是54例3:
}a{中在等差数列nS36,?
a1):
?
a?
aa?
(求已知16215125S20,?
(2)a求已知:
116a?
a?
a?
aa?
a?
)(解:
116152121518a?
?
?
?
aaa?
15161216(a?
a)161144?
S?
?
162(a?
a)?
11111?
S
(2)11211a?
26?
?
2202本小题主要考察了对公式一的整体应用。
根据课堂剩余时间,本题作为机动练习,
(2)小问留给学生课后完成。
1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容.
2、课后作业:
教材118页:
1、2、3、5、6、7课后思考:
等差数列的前n项和的求和方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?
3、对求和史的了解我国数列求和的概念起源很早,在北朝时,张丘建始创等差数列求和解法。
他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题:
例如:
今有女子不善织布,每天所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,共织三十日,问共织几何?
原书的解法是:
“并初、末日织布数,半之再乘以织日数,即得。
”
发现条件不够,不能解出这些基本量,教师做适当的引导。
本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容,教师加以补充说明.
(1)回顾从特殊到一般,一般到特殊的研究方法.
(2)体会等差数列的基本元表示方法,倒序相加的算法,及数形结合的数学思想.(3)掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。
了解我国古代研究等差数列求和的情况。
想方法,同时,为以后综合问题的解答设下伏笔。
通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。
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二、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息,笔者对本课有如下五点反思:
(1)根据实际教学情况,学生比较容易掌握本课知识。
在教学过程中,我重点突出了学生活动,设计了四个活动环节:
(1)公式的探究活动;
(2)公式的认识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习。
(2)本课特别强调了几何直观,我不仅对求和公式给出了几何解释,也对部分习题给出了几何解释,体现了数形结合的思想方法。
(3)由于高斯求和法众所周知,于是我补充了我国古代研究数列求和的情况,但由于时间关系不能展开讲解,所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。
(4)本节课充分利用了多媒体技术的强大功能,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
(5)目标达成
本课注重在课堂教学活动中实现目标。
1知识与技能目标提出实际问题
2
知识与技能目标例题讲解
3知识与技能目标深化理解
过程与方法目标活动参与
感悟数学史情感与价值目标
应为培养出创新人才——新型的高斯而努力。
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