二次函数与一元二次方程导学案解读.docx

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二次函数与一元二次方程导学案解读

x

y

（,

（,

O

x

y

（,

O

x

y

O

二次函数与一元二次方程关系

探究（一二次函数与一元二次方程之间的关系

如图26-2-2,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h（单位:

m与飞行时间t（单位:

s之间具有关系:

2

205htt=-。

考虑以下问题:

⑴球的飞行高度能否达到15m?

如能,需要多少飞行时间?

⑵球的飞行高度能否达到20m?

如能,需要多少飞行时间?

⑶球的飞行高度能否达到20.5m?

为什么?

⑷球从飞出到落地需要多少时间?

通过以上问题的解决,我知道了二次函数与一元二次方程有如下关系:

一般地:

已知二次函数y=ax2

+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程

__________________.反之,解一元二次方程ax2

+bx+c=m又可以看作已知二次函数___________________的值为______时自变量x的值。

探究（二二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系2.

观察二次函数的图象,写出它们与x轴的交点坐标:

函数322--

=x

xy962+-=xxy322+-=xxy图象

交点

与x轴交点坐标是与x轴交点坐标是与x轴交点坐标是

3.对比第1题各方程的解,你发现了什么?

于是,我知道了:

⑴如果抛物线2

yaxbxc=++与x轴有公共点（x0,0,那么就是方程

20axbxc++=的一个根。

⑵抛物线与x轴的三种位置关系:

_____公共点,有______公共点,有______公共点。

这对应着一元二次方程根的三种情况:

_____实数根,有________的实数根,有______的实数根。

（3二次函数与一元二次方程的关系如下:

（一元二次方程的实数根记为21xx、

二次函数cbxaxy++=2

与一元二次方程02=++cbxax

与x轴有个交点

⇔

acb42-0,方程有

的实数根

与x轴有个交点;这个交点是点

⇔

acb42-0,方程有

实数根

与x轴有个交点

⇔

acb42-0,方程

实数根.

（4二次函数cbxaxy++=2与y轴交点坐标是.例题1.（2011年襄阳已知函数y=（k﹣3x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是（A、k<4B、k≤4C、k<4且k≠3D、k≤4且k≠3

例题2.关于x的二次函数y=（k-1x2-3x-1的图像全部位于x轴的下方,则k的取值范围是;

例题3.抛物线y=x2+x-6与x轴交于（-3,0、（2,0两点,当x为何值时,y>0?

当x为何值时,y<0?

活动三,运用新知

1.二次函数232+-=xxy,当x=1时,y=______;当y=0时,x=______.

2.抛物线342+-=xxy与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标是;

3.二次函数642+-=xxy,当x=________时,y=3.

4.如图,一元二次方程02=++cbxax的解为。

5.如图,一元二次方程32

=++cbxax的解为。

6.已知抛物线922

+-=kxxy的顶点在x轴上,则k=

7.已知抛物线122-+=xkxy与x轴有两个交点,则k的取值范围是多少?

.

8.抛物线y=a（x-2（x+5与x轴的交点坐标为.

9.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m,0,则代数式m2

-m+2011值为

10已知抛物线y=x2

-2x+m与x轴有两个交点,其中一个交点是（-2,0,

则方程x2

-2x+m=0的两个根分别是x1=,x2=

11.如图为二次函数y=ax2

+bx+c的图象,在下列说法中:

①ac<0;②方程ax2

+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3;③a+b+c>0;④当x>1时,y随x的增大而增大.正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上.

12.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式

（1方程ax2

+bx+c=0的根为___________;

（2方程ax2

+bx+c=-3的根为__________;

（3方程ax2

+bx+c=-4的根为__________;

（4不等式ax2

+bx+c>0的解集为________;

（5不等式ax2

+bx+c<0的解集为________;

5.根据二次函数y=x2

+3x-4的图象回答:

（1方程x2

+3x-4=0的解是什么?

（2当x取什么值时,y>0?

（3当x取什么值时,y<0?

11

10

1012

x

y

y=x2-6x+9

O

-1-2

-3

-4

-5

-2

1012

x

y

y=x2-2x-3

O

1110-1

-2

1012

x

y

y=x2-2x+3

O

（4

（5

【能力提升】

1.已知二次函数y=（k-3x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是.

2.二次函数22yxxm=-++的部分图象如下图3,则关于x的一元二次方程220xxm-++=的解

为.

3.如下图4,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2

+bx+c<0的解集是.4.已知二次函数cbxaxy++=2

1（0≠a与一次函数0（2≠+=kmkxy的图象相交于点A（-2,4,B（8,2（如下图5所示,则能使21yy>成立的x的取值范围是.

5.（15宁波已知抛物线y=（x﹣m

2﹣（x﹣m

其中m

是常数.（1求证:

不论m

为何值,该抛物线与

x轴一定有两个公共点;

（2若该抛物线的对称轴为直线x=.①求该抛物线的函数解析式;

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.

6.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0、B（3,0、C（0,3三点,直线l是抛物线的对称轴.（1求抛物线的函数关系式;

（2设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;

（3在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?

若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

7.如图,抛物线cbxxy++-=2

与x轴交与A（1,0,B（-3,0两点,（1求该抛物线的解析式;

（2设（1中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?

若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

（3在（1中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?

若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有,请说明理由.

1

2

3

-1

-2

-1

-2

-3

-4

1

x

y

O

A

By

1

y2

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