高中数学安徽省黄山市学年高二下学期期末考试理.docx
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高中数学安徽省黄山市学年高二下学期期末考试理
安徽省黄山市2016-2017学年高二下学期期末考试(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.若复数z的共轭复数,则复数z的模长为()
A.2
B.-1
C.5
D.
2.下列命题正确的是()
A.命题“,使得x2-1<0”的否定是:
,均有x2-1<0.
B.命题“若x=3,则x2-2x-3=0”的否命题是:
若x≠3,则x2-2x-3≠0.
C.“(k∈Z)”是“”的必要而不充分条件.
D.命题“cosx=cosy,则x=y”的逆否命题是真命题.
3.下列说法:
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,均值与方差都不变;
②设有一个回归方程,变量x增加一个单位时,y平均增加3个单位;
③线性回归方程必经过点(,);
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说现有100人吸烟,那么其中有99人患肺病.
其中错误的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
4.已知,,且,则x的值是()
A.6
B.5
C.4
D.3
5.过点O(1,0)作函数f(x)=ex的切线,则切线方程为()
A.y=e2(x-1)
B.y=e(x-1)
C.y=e2(x-1)或y=e(x-1)
D.y=x-1
6.随机变量ξ服从二项分布ξ~B(n,P),且E(ξ)=300,D(ξ)=200,则等于()
A.3200
B.2700
C.1350
D.1200
7.直线y=-x与函数f(x)=-x3围成封闭图形的面积为()
A.1
B.
C.
D.0
8.如图,AB∩α=B,直线AB与平面α所成的角为75°,点A是直线AB上一定点,动直线AP与平面α交于点P,且满足∠PAB=45°,则点P在平面α内的轨迹是()
A.双曲线的一支
B.抛物线的一部分
C.圆
D.椭圆
9.双曲线(mn≠0)离心率为,其中一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则mn的值为()
A.
B.
C.18
D.27
10.我市某学校组织学生前往南京研学旅行,途中4位男生和3位女生站成一排合影留念,男生甲和乙要求站在一起,3位女生不全站在一起,则不同的站法种数是()
A.964
B,1080
C.1296
D.1152
11.设矩形ABCD,以A、B为左右焦点,并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为()
A.
B.2
C.1
D.条件不够,不能确定
12.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象如图,则函数的单调递减区间是()
A.(-∞,-2)
B.(-∞,1)
C.(-2,4)
D.(1,+∞)
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题.把答案直接填在题中的相应横线上.)
13.已知(1-x)n展开式中x2项的系数等于28,则n的值为________.
14.连续掷一枚质地均匀的骰子4次,设事件A=“恰有2次正面朝上的点数为3的倍数”,则P(A)=________.
15.在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若直线AB1与直线A1C的夹角的余弦值是,则棱AB的长度是________.
16.设F1,F2分别是椭圆的两个焦点,P是第一象限内该椭圆上一点,且,则正数m的值为________.
三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(Ⅰ)已知复数,其共轭复数为,求;
(Ⅱ)设集合A={y|},B={x|m+x2≤1,m<1}.命题p:
x∈A;命题q:
x∈B.若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
18.随着网络的发展,人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等,所以人们对上网流量的需求越来越大.某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐.为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐,随机抽取50个用户,按年龄分组进行访谈,统计结果如表.
组号
年龄
访谈人数
愿意使用
1
[18,28)
4
4
2
[28,38)
9
9
3
[38,48)
16
15
4
[48,58)
15
12
5
[58,68)
6
2
(Ⅰ)若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中,用分层抽样的方法抽取12人,则各组应分别抽取多少人?
(Ⅱ)若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查,求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率.
(Ⅲ)按以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断以48岁为分界点,能否在犯错误不超过1%的前提下认为,是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关?
年龄不低于48岁的人数
年龄低于48岁的人数
合计
愿意使用的人数
不愿意使用的人数
合计
参考公式:
,其中:
n=a+b+c+d.
P(k2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析,两班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于90分为及格.
(Ⅰ)设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为、,比较、的大小(直接写出结果,不写过程);
(Ⅱ)从甲班10人任取2人,设这2人中及格的人数为X,求X的分布列和期望;
(Ⅲ)从两班这20名同学中各抽取一人,在已知有人及格的条件下,求抽到乙班同学不及格的概率.
20.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E是棱PD的中点,点F是PC的中点.
(Ⅰ)证明:
PB∥平面AEC;
(Ⅱ)若底面ABCD为正方形,,求二面角C—AF—D大小.
21.设点O为坐标原点,椭圆E:
(a≥b>0)的右顶点为A,上顶点为B,过点O且斜率为的直线与直线AB相交M,且.
(Ⅰ)求椭圆E的离心率e;
(Ⅱ)PQ是圆C:
(x-2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过P,Q两点,求椭圆E的方程.
22.已知函数(a<0).
(Ⅰ)当a=-3时,求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若函数f(x)有且仅有一个零点,求实数a的取值范围;
参考答案
一、选择题(本大题共12小题.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
D
A
A
B
C
D
C
D
C
A
二、填空题(本大题共4小题.)
13.8
14.
15.2
16.4或
三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.解:
(Ⅰ)因为,所以
所以原式
(Ⅱ)由题可知,
由于p是q的必要条件,所以,
所以,解得.
综上所述:
.
18.解:
(Ⅰ)因为,,,所以第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中,用分层抽样的方法抽取12人,各组分别为3人,5人,4人.
(Ⅱ)第5组的6人中,不愿意选择此款“流量包”套餐的4人分别记作:
A、B、C、D,愿意选择此款“流量包”套餐2人分别记作x、y.
由题可知.
(Ⅲ)2×2列联表:
年龄不低于48岁的人数
年龄低于48岁的人数
合计
愿意使用的人数
14
28
42
不愿意使用的人数
7
1
8
合计
21
29
50
∴.
∴在犯错误不超过1%的前提下可以认为,是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关.
19.解:
(Ⅰ)由茎叶图可得.
(Ⅱ)由题可知X取值为0,1,2.,
,,
所以X的分布列为:
X
0
1
2
P(X)
所以.
(Ⅲ)由茎叶图可得,甲班有4人及格,乙班有5人及格.设事件A=“从两班这20名同学中各抽取一人,已知有人及格”,事件B=“从两班这20名同学中各抽取一人,乙班同学不及格”.
则.
20.解:
(Ⅰ)连接BD,设AC∩BD=O,连结OE,
∵四边形ABCD为矩形,∴O是BD的中点,
∵点E是棱PD的中点,∴PB∥EO,
又PB平面AEC,EO平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
(Ⅱ)由题可知AB,AD,AP两两垂直,则分别以、、的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系.
设由可得AP=AB,
于是可令AP=AB=AD=2,则
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(1,1,1)
设平面CAF的一个法向量为.由于,
所以,解得x=-1,所以.
因为y轴平面DAF,所以可设平面DAF的一个法向量为.
由于,所以,解得z=-1,
所以.
故.所以二面角C—AF—D的大小为60°.
21.解:
(Ⅰ)∵A(a,0),B(0,b),,所以M(,).
∴,解得a=2b,
于是,∴椭圆E的离心率e为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2b,∴椭圆E的方程为即x2+4y2=4b2
(1)
依题意,圆心C(2,1)是线段PQ的中点,且.
由对称性可知,PQ与x轴不垂直,设其直线方程为y=k(x-2)+1,代入
(1)得:
(1+4k2)x2-8k(2k-1)x+4(2k-1)2-4b2=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,,
由得,解得.
从而x1x2=8-2b2.于是
.
解得:
b2=4,a2=16,∴椭圆E的方程为.
22.解:
(Ⅰ)∵a=-3,∴,故
令f′(x)<0,解得-3<x<-2或x>0,
即所求的单调递减区间为(-3,-2)和(0,+∞)
(Ⅱ)∵(x>a)
令f′(x)=0,得x=0或x=a+1
(1)当a+1>0,即-1<a<0时,f(x)在(a,0)和(a+1,+∞)上为减函数,在(0,a+1)上为增函数.
由于f(0)=aln(-a)>0,当x→a时,f(x)→+∞.
当x→+∞时,f(x)→-∞,于是可得函数f(x)图像的草图如图,
此时函数f(x)有且仅有一个零点.
即当-1<a<0对,f(x)有且仅有一个零点;
(2)当a=-1时,,
∵,∴f(x)在(a,+∞)单调递减,
又当x→-1时,f(x)→+∞.当x→+∞时,f(x)→-∞,
故函数f(x)有且仅有一个零点;
(3)当a+1<0即a<-1时,f(x)在(a,a+1)和(0,+∞)上为减函数,在(a+1,0)上为增函数.又f(0)=aln(-a)<0,当x→a时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→-∞,于是可得函数f(x)图像的草图如图,此时函数f(x)有且仅有一个零点;
综上所述,所求的范围是a<0.
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