中考解答题归类例析9三角形和四边形.docx
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中考解答题归类例析9三角形和四边形
中考解答题归类例析9
-----三角形和四边形
原创题1:
(来源:
沪科版九(上)P84页练习第1题)
在ΔABC中,若点E、F在边AB、AC上,BE、CF相交于点O,D是BC边上的中点。
(1)如图1,若BE⊥AC,CF⊥AB,连接EF。
求证:
SΔAEF∽ΔABC
若∠BAC=600求ΔAEF与ΔABC的面积比;
(2)如图1,连接DE、DF,若点M是EF的中点。
求证:
DE=DF;
(3)如图3,若∠ABE=∠ACF,过点O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q为垂足。
求证:
DP=DQ
原创题2:
如图1,点P是ΔABC所在平面上的一点,如果∠APB=∠BPC=∠CPA,则点P就叫做ΔABC的费马点。
(1)如图2中,ΔABC是等边三角形,请找出ΔABC的费马点。
(不写作法,保留作图痕迹。
)
(2)如图3,已知ΔABC是等腰直角三角形,∠C=900,AC=BC=
,四边形CDEF是正方形,CD在AC上,CF在BC上,点P是ΔABC的费马点。
求点P到AB的距离。
(3)如图4,以锐角ΔABC的AB、AC两边向形外作正三角形ABE和正三角形ACD,BD、CE相交于点P。
求证:
点P是ΔABC的费马点。
解析
(1)分别作两边的垂直平分线,两线的交点就是ΔABC的费马点。
(2)连接AP、BP、CP,并延长CP交AB于Q点。
∵P是ΔABC的费马点∴∠APC=∠BPC=1200
∵四边形CDPE是正方形∴∠PCD=∴PCE=450
∵CP=CP∴ΔACP≌ΔBCP∴AP=BP
又∵AC=BC∴CQ⊥AB且AQ=BQ=
∵∠APC=∠BPC=1200∴∠APQ=60∴tan600=
即P到AB的距离PQ=1
(3)∵AD=AC,AE=AB,∠EAB-∠BAC=∠CAD-∠BAC
∴ΔACEΔ≌ABD∴∠CPD=∠CAD=600
连接AP,在PD上截取PC=PF,则ΔPCF是正三角形。
∴∠CPF=∠CFP=600,CP=CF∴∠CFD=1200
又∵∠ACP=∠CF=600,AC=CD
∴ΔACP≌ΔDCF∴∠APC=∠DFC=1200
又∵∠BPC=1800-∠DPC=1200∴∠APB=1200
∴∠APB=3600-∠BPC-∠APC=1200
∴P点就是ΔABC的费马点。
原创题3:
如图1,点P是ΔABC所在平面上的一点,如果∠APB=∠BPC=∠CPA,则点P就叫做ΔABC的费马点。
(1)在图1中,若点P是ΔABC的费马点,且∠ACB=600,PA=6,PB=8,求PC的值;
(2)如图3,在锐角ΔABC外侧作等边ΔACD,连接BD。
求证:
BD过ΔABC的费马点P;
BD=PA+PB+PC
(3)在如图1,若∠BAC=900,AB=
,AC=1。
求PA+PB+PC的值。
解析
(1)
∴ΔACP∽ΔΔPBC
(2)作正ΔACD的外接圆交BD于点P,
则易得∠APC=1800-∠ADC=1200,∠APD=∠ACD=600
∴∠APB=600
同理∠BPC=600
∴点PΔABC的费马点。
把ΔAPD绕点A顺时针旋转600到ΔAEC的位置。
则有ΔAPD≌ΔAEC,∴PD=CE,AP=AE,∠PAE=600
∴ΔAEP是正三角形,∴∠APE=600
∴∠APE+∠APC=600+1200=1800,
即E、P、C三点共线。
又∵ΔEAC≌ΔPAD
∴CE=PD
∴BD=BP+PD=BP+CE=BP+PD=BP+PA+PC
(3)如图,作等边ΔABD,连接PD。
则DB=AB=
,∠ABD=600
又∵∠BAC=900,AC=1,AB=
∴BC=2,∠ABC=300
∴∠DBC=900
在RtΔDBC中
由(2)可知
PA+PB+PC=CD=
原创题4:
请阅读下列材料:
问题如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC。
若∠ABC=∠BEF=600,探究PG与PC的位置关系及
的值。
小聪同学的思路是:
延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决。
请你参照小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及
的值;
(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其它条件不变(如图2).你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明;
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