初三数学复习试题阅读理解型问题归类复习试题.docx
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初三数学复习试题阅读理解型问题归类复习试题
初三数学复习试题:
阅读理解型问题归类复习试题
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初三数学复习试题:
阅读理解型问题归类复习试题
21.(2012四川达州,21,8分)(8分)问题背景
若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为,面积为,则与的函数关系式为:
﹥0),利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.
提出新问题
若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?
若有,最大(小)值是多少?
分析问题
若设该矩形的一边长为,周长为,则与的函数关系式为:
(﹥0),问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.
解决问题
借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数(﹥0)的最大(小)值.
(1)实践操作:
填写下表,并用描点法画出函数(﹥0)的图象:
(2)观察猜想:
观察该函数的图象,猜想当
=时,函数(﹥0)
有最值(填“大”或“小”),是.
(3)推理论证:
问题背景中提到,通过配方可求二次函数﹥0)的最
大值,请你尝试通过配方求函数(﹥0)的最大(小)值,以证明你的
猜想.〔提示:
当>0时,〕
解析:
对于
(1)按照画函数图象的列表、描点、连线三步骤进行即可;对于
(2),由结合图表可知有最小值为4;对于(3),可按照提示,用配方法来求出。
答案:
(1)
…………………………………………..(1分)
………………………………………….(3分)
(2)1、小、4………………………………………………………………………..(5分)
(3)证明:
………………………………………………(7分)
当时,的最小值是4
即=1时,的最小值是4………………………………………………………..(8分)
点评:
本题以阅读理解型的形式,考查学生画函数图象的基本步骤及结合图表求函数最值的观察力,考察了学生的模仿能力、配方思想和类比的能力。
28.(2012江苏省淮安市,28,12分)阅读理解
如题28-1图,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合.无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.
情形一:
如题28-2图,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;
情形二:
如题28-3图,沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?
.(填:
“是”或“不是”).
(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.
根据以上内容猜想:
若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之问的等量
关系为.
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15º,60º,l05º,发现60º和l05º的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4º,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
【解析】
(1)利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决;
(2)根据第
(1)问的结论继续探索;(3)利用“好角”的定义和三角形内角和列出方程解之.具体过程见以下解答.
【答案】解:
(1)由折叠的性质知,∠B=∠AA1B1.因为∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,而∠B=2∠C,所以∠A1B1C=∠C,就是说第二次折叠后∠A1B1C与∠C重合,因此∠BAC是△ABC的好角.
(2)因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角,所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C.如图12-4所示.
图12-4
因为∠ABB1=∠AA1B1,∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,又∠A1B1C=∠A1A2B2,∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C,所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C.
由上面的探索发现,若∠BAC是△ABC的好角,折叠一次重合,有∠B=∠C;折叠二次重合,有∠B=2∠C;折叠三次重合,有∠B=3∠C;…;由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B=n∠C.
(3)因为最小角是4º是△ABC的好角,根据好角定义,则可设另两角分别为4mº,4mnº(其中m、n都是正整数).
由题意,得4m+4mn+4=180,所以m(n+1)=44.
因为m、n都是正整数,所以m与n+1是44的整数因子,因此有:
m=1,n+1=44;m=2,n+1=22;m=4,n+1=11;m=11,n+1=4;m=22,n+1=2.所以m=1,n=43;m=2,n=21;m=4,n=10;m=11,n=3;m=22,n=1.
所以4m=4,4mn=172;4m=8,4mn=168;4m=16,4mn=160;4m=44,4mn=132;4m=88,4mn=88.
所以该三角形的另外两个角的度数分别为:
4º,172º;8º,168º;16º,160º;44º,132º;88º,88º.
【点评】本题主要考查轴对称图形、等腰三角形、三角形形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握,本题是阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定的区分度.
23.(2012湖北咸宁,23,10分)如图1,矩形MNPQ中,点E,F,G,H分别在NP,PQ,QM,MN上,若,则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2,图3,图4中,四边形ABCD为矩形,且,.
理解与作图:
(1)在图2、图3中,点E,F分别在BC,CD边上,试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH.
计算与猜想:
(2)求图2,图3中反射四边形EFGH的周长,并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?
启发与证明:
(3)如图4,为了证明上述猜想,小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M,试利用小华同学给我们的启发证明
(2)中的猜想.
【解析】
(1)根据网格结构,作出相等的角得到反射四边形;
(2)图2中,利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度,然后可得周长;图3中利用勾股定理求出EF=GH,FG=HE的长度,然后求出周长,得知四边形EFGH的周长是定值;
(3)证法一:
延长GH交CB的延长线于点N,再利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM,根据全等三角形对应边相等可得EF=MF,EC=MC,同理求出NH=EH,NB=EB,从而得到MN=2BC,再证明GM=GN,过点G作GK⊥BC于K,根据等腰三角形三线合一的性质求出MK=MN=8,再利用勾股定理求出GM的长度,然后可求出四边形EFGH的周长;
证法二:
利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM,根据全等三角形对应边相等可得EF=MF,EC=MC,再根据角的关系推出∠M=∠HEB,根据同位角相等,两直线平行可得HE∥GF,同理可证GH∥EF,所以四边形EFGH是平行四边形,过点G作GK⊥BC于K,根据边的关系推出MK=BC,再利用勾股定理列式求出GM的长度,然后可求出四边形EFGH的周长.
【答案】
(1)作图如下:
2分
(2)解:
在图2中,,
∴四边形EFGH的周长为.3分
在图3中,,.
∴四边形EFGH的周长为.4分
猜想:
矩形ABCD的反射四边形的周长为定值.5分
(3)如图4,证法一:
延长GH交CB的延长线于点N.
∵,,
∴.
而,
∴Rt△FCE≌Rt△FCM.
∴,.6分
同理:
,.
∴.7分
∵,,
∴.∴.8分
过点G作GK⊥BC于K,则.9分
∴.
∴四边形EFGH的周长为.10分
证法二:
∵,,∴.
而,∴Rt△FCE≌Rt△FCM.
∴,.6分
∵,,
而,∴.
∴HE∥GF.同理:
GH∥EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴.而,
∴Rt△FDG≌Rt△HBE.∴.
过点G作GK⊥BC于K,则
∴.
∴四边形EFGH的周长为.
【点评】本题主要考查了应用与设计作图,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,矩形的性质,读懂题意理解“反射四边形EFGH”特征是解题的关键.
25.(2012贵州黔西南州,25,14分)问题:
已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:
设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=y2.
把x=y2代入已知方程,得(y2)2+y2-1=0.
化简,得:
y2+2y-4=0.
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:
把所求方程化成一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数.
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
【解析】按照题目给出的范例,对于
(1)的“根相反”,用“y=-x”作替换;对于
(2)的“根是倒数”,用“y=1x”作替换,并且注意有“不等于零的实数根”的限制,要进行讨论.
【答案】
(1)设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=-y.………………(2分)
把x=-y代入已知方程x2+x-2=0,
得(-y)2+(-y)-2=0.………………(4分)
化简,得:
y2-y-2=0.………………(6分)
(2)设所求方程的根为y,则y=1x,所以x=1y.………………(8分)
把x=1y代如方程ax2+bx+c=0得.
a(1y)2+b•1y+c=0,………………(10分)
去分母,得,a+by+cy2=0.……………………(12分)
若c=0,有ax2+bx=0,于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0,不符合题意.
∴c≠0,故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).……………………(14分)
【点评】本题属于阅读理解题,读懂题意,理解题目讲述的方法的基础;在实际解题时,还要灵活运用题目提供的方法进行解题,实际上是数学中“转化”思想的运用.
八、(本大题16分)
26.(2012贵州黔西南州,26,16分)如图11,在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0)抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴.
(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数.请你直接写出点P的坐标.
(3)连接AC,探索:
在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?
若存在,请你求出N的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)已知抛物线上三点,用“待定系数法”确定解析式;
(2)四边形AOMP中,AO=4,OM=3,过A作x轴的平行线交抛物线于P点,这个P点符合要求“四条边的长度为四个连续的正整数”;(3)使△NAC的面积最大,AC确定,需要N点离AC的距离最大,一种方法可以作平行于AC的直线,计算这条直线与抛物线只有一个交点时,这个交点即为N;另一种方法,过AC上任意一点作y轴的平行线交抛物线于N点,这样△NAC被分成两个三角形,建立函数解析式求最大值.
【答案】
(1)根据已知条件可设抛物线对应的函数解析式为y=a(x―1)•(x―5),………………(1分)
把点A(0,4)代入上式,得a=45.………………(2分)
∴y=45(x―1)(x―5)=45x2―245x+4=―45(x―3)2―165.………………(3分)
∴抛物线的对称轴是x=3.…………(4分)
(2)点P的坐标为(6,4).………………(8分)
(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N,使△NAC的面积最大,由题意可设点N的坐标为(t,45t2―245t+4)(0<t<5).………………(9分)
如图,过点N作NG∥y轴交AC于点G,连接AN、CN.由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:
y=―45x+4.………………(10分)
把x=t代入y=―45x+4得y=―45t+4,
则G(t,―45t+4).………………(11分)
此时NG=―45t+4―(45t2―245t+4)=―45t2+205t.………………(12分)
∴S△NAC=12NG•OC=12(-45t2+205t)×5
=―2t2+10t=―2(t-52)2+252.………………(13分)
又∵0<t<5,
∴当t=52时,△CAN的面积最大,最大值为252.………………(14分)
t=52时,45t2-245t+4=-3.………………(15分)
∴点N的坐标为(52,-3).……………………(16分)
【点评】本题是一道二次函数、一次函数、三角形的综合题,其中第(3)问也是一道具有难度的“存在性”探究问题.本题主要考查二次函数、一次函数的图象与性质的应用.
专项十阅读理解题
19.(2012山东省临沂市,19,3分)读一读:
式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于式子比较长,书写不方便,为了简便起见,我们将其表示为,这里“”是求和符号,通过以上材料的阅读,计算=.
【解析】式子“1+2+3+4+……+100”的结果是,即=;
又∵,,………,
∴=++…+=1-,
∴==++…+=1-=.
【答案】
【点评】本题是一道找规律的题目,要求学生的通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.此题重点除首位两项外,其余各项相互抵消的规律.
23.(2012浙江省嘉兴市,23,12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′,即如图①,∠BAB′=θ,,我们将这种变换记为[θ,n].
(1)如图①,对△ABC作变换[60°,]得△AB′C′,则:
=_______;直线BC与
直线B′C′所夹的锐角为_______度;
(2)如图②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使
点B、C、在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;
(3)如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,
使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.
【解析】
(1)由题意知,θ为旋转角,n为位似比.由变换[60°,]和相似三角形的面积比等于相似比的平方,得:
=3,直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60°;
(2)由已知条件得θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=60°.由直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半得n==2.
(3)由已知条件得θ=∠CAC′=∠ACB=72°.再由两角对应相等,证得△ABC∽△B′BA,由相似三角形的性质求得n==.
【答案】
(1)3;60°.
(2)∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′=90°.
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°.
在Rt△ABB′中,∠ABB′=90°,∠BAB′=60°,
∴n==2.
(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC=36°
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°
∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°,而∠B=∠B,
∴△ABC∽△B′BA,∴AB2=CB•B′B=CB•(BC+CB′),
而CB′=AC=AB=B′C′,BC=1,∴AB2=1•(1+AB)
∴AB=,∵AB>0,
∴n==.
【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题.读懂定义是解题的关键所在.
本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.
27.(2011江苏省无锡市,27,8′)
对于平面直角坐标系中的任意两点,我们把叫做两点间的直角距离,记作.
(1)已知O为坐标原点,动点满足=1,请写出之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点P所组成的图形;
(2)设是一定点,是直线上的动点,我们把的最小值叫做到直线的直角距离,试求点M(2,1)到直线的直角距离。
【解析】本题是信息给予题,题目中已经把相关概念进行阐述,按照给出的定义题就可以。
(1)已知O(0,0)和利用定义可知
=;
(2)由=,
则利用绝对值的几何意义可以求出点M(2,1)到直线的直角距离为3.
【答案】解:
(1)有题意,得,
所有符合条件的点P组成的图形如图所示。
(2)∵
∴x可取一切实数,表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和,其最小值为3.
∴M(2,1)到直线的直角距离为3.
【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力和现学现用的及时应用能力。
这是中考的发展的大趋势。
27.(2012江苏盐城,27,12分)知识迁移
当a>0且x>0时,因为()2≥0,所以x-2+≥0,从而x+≥2(当x=2时取等号).记函数y=x+(a>0,x>0),由上述结论可知:
当x=2时,该函数有最小值为2.
直接应用
已知函数y1=x(x>0)与函数y2=(x>0),则当x=时,y1+y2取得最小值为.
变形应用
已知函数y1=x+1(x>-1)与函数y2=(x+1)2+4(x>-1),求的最小值,并指出取得该最小值时相应的x的值.
实际应用
已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分:
一是固定费用,共360元;二是燃油费,每千米元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为,设汽车一次运输路程为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?
最低是多少元?
【解析】本题考查了函数等知识.掌握和理解阅读材料是解题的关键.
(1)通过阅读发现x+≥2(当x=2时取等号).然后运用结论解决问题;
(2)构造x+≥2,运用结论解决.
(3)解决实际问题.
【答案】直接应用1,2
变形应用=≥4,所以的最小值是4,此时x+1=,(x+1)2=4,
x=1.
实际应用
设该汽车平均每千米的运输成本为y,则y=360++,当x=8时,y有最小值,最低运输成本是424(元).
【点评】数学的建模思想是一种重要的思想,能体现学生综合应用能力,具有一定的挑战性,特别是运用函数来确定最大(小)值时,要运用配方法得到函数的最小值.
24.(2012四川省资阳市,24,9分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点,连结DE,过点B作BP平行于DE,交⊙O于点P,连结EP、CP、OP.
(1)(3分)BD=DC吗?
说明理由;
(2)(3分)求∠BOP的度数;
(3)(3分)求证:
CP是⊙O的切线;
如果你解答这个问题有困难,可以参考如下信息:
为了解答这个问题,小明和小强做了认真的探究,然后分别用不同的思路完成了这个题目.在进行小组交流的时候,小明说:
“设OP交AC于点G,证△AOG∽△CPG”;小强说:
“过点C作CH⊥AB于点H,证四边形CHOP是矩形”.
【解析】
(1)连接AD,由∵AB是直径得∠ADB=90°及等腰三角形的三线合一性质得出BD=DC
(2)由∠BAD=∠CAD得弧BD=弧DE,得BD=DE,得出∠DEC=∠DCE=75°,所以∠EDC=30°,BP∥DE,∴∠PBD=∠EDC=300,∴∠OBP=∠OPB=75°-30°=45°,∴∠BOP=90°
(3)要证CP是⊙O的切线即证OP⊥CP,在Rt△AOG中,∵∠OAG=30°,∴又∵,∴,∴又∵∠AGO=∠CGP
m]∴△AOG∽△CPG得∠GPC=∠AOG=90°得证结论成立.
【答案】
(1)BD=DC……………………………………1分
连结AD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°……………………………………………2分
∵AB=AC,∴BD=DC……………………………………………………………3分
(2)∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线∴∠BAD=∠CAD∴弧BD与弧DE是等弧,
∴BD=DE……………4分
∴BD=DE=DC,∴∠DEC=∠DCE∵△ABC中,AB=AC,∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC=(180°-30°)=75°,∴∠DEC=75°
∴∠EDC=180°-75°-75°=30°
∵BP∥DE,∴∠PBC=∠EDC=30°……………………………5分
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°-30°=45°
∵OB=OP,∴∠OBP=∠OPB=45°,∴∠BOP=90°…………6分
(3)证法一:
设OP交AC于点G,则∠AOG=∠BOP=90°
在Rt△AOG中,∵∠OAG=30°,∴………………7分
又∵,∴,∴
又∵∠AGO=∠CGP[w&@%ww︿.zzst~]
∴△AOG∽△CPG…………………………………8分
∴∠GPC=∠AOG=90°∴CP是⊙的切线………………………9分
证法二:
过点C作CH⊥AB于点H,则∠BOP=∠BHC=90°,∴PO∥CH
在Rt△AHC中,∵∠HAC=30°,∴………………7分
又∵,∴PO=CH,∴四边形CHOP是平行四边形
∴四边形CHOP是矩形……………………………8分
∴∠OPC=90°,∴CP是⊙的切线………………………9分[来@源#:
︿%中*教网]
【点评】本题属于几何知识综合运用题,主要考查了等腰三角形的三线合一性质及常用辅助线、三角形相似判定、圆的性质及圆切线的判定等知识.解答此类题应具备综合运用能力
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