神奇的斐波那契兔子----黄金分割率.docx
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神奇的斐波那契兔子----黄金分割率
同学们,假设学校的数学兴趣小组在校园围墙里饲养了一对兔子,如果它们每个月生一对小兔子,新生的小兔子在第二个月后长大了,也开始每个月生一对小兔子,你知道一年后校园中一共有多少对兔子吗?
下面,我们先用穷举法先来尝试一下吧:
第一个月是最初的一对兔子生下一对小兔子,校园中共有2对兔子。
第二个月最初的一对兔子又生下一对小兔子,上个月刚出生的小兔子还没有长大,所以校园中共有3对兔子。
第三个月除最初的兔子新生一对兔子外,第一个月生的兔子也开始生兔子,因此共有5对兔子。
继续推下去,第12个月时最终共有377对兔子。
我们把这一年中,兔子数量填入下表,不难看出,每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得。
经历月份
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
幼仔对数
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
成兔对数
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
总体对数
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
该问题记载于公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》(1202-1228年修订本)中,感兴趣的同学可以接着计算一下第24个月、第36个月校园中兔子的数量,看看什么时候校园里会挤满了兔子,呵呵……
同学们,千万不要小看这个数列,它不仅仅只是用来做数学游戏的,它的作用可大咧!
这个数列后来被命名为“斐波那契级数”,它是一种特殊的线性递归数列,在数学的许多分支中有着广泛的应用。
美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊,用来专门研究斐波那契数列。
这个级数与大自然动植物的关系极为密切。
科学家发现,一些植物的花瓣、萼片、果实的数目以及排列的方式上,都非常符合著名的斐波那契数列这一个神奇的规律,几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字:
蓟的头部几乎呈球状。
在下图中,你可以看到两条不同方向的螺旋。
我们可以数一下,顺时针旋转的(和左边那条旋转方向相同)螺旋一共有13条,而逆时针旋转的则有21条。
此外还有菊花、向日葵、松果、菠萝等都是按这种方式生长的。
仔细观察向日葵花盘,你会发现2组螺旋线,一组顺时针方向盘绕,另一组则逆时针方向盘绕,并且彼此相嵌。
虽然不同的向日葵品种中,种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同,但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字,这每组数字都是斐波那契数列中相邻的2个数。
前一个数字是顺时针盘绕的线数,后一个数字是逆时针盘绕的线数。
蓟向日葵
菠萝果实上的菱形鳞片,一行行排列起来,8行向左倾斜,13行向右倾斜。
挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片,在另一个方向上有5行鳞片。
常见的落叶松是一种针叶树,其松果上的鳞片在2个方向上各排成5行和8行,美国松的松果鳞片则在2个方向上各排成3行和5行……。
菠萝果实挪威云杉的球果落叶松的松果
许多某物花朵的花瓣,也符合斐波那契数,例如:
百合和蝴蝶花有3个花瓣、蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花有5个花瓣、翠雀花有8个花瓣、金盏花和玫瑰花有13个花瓣、紫宛花有21个花瓣、雏菊有34、55或89个花瓣
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子的数量,直至到达与那片叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回,叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序比.多数的叶序比呈现为斐波那契数的比
大自然里一些花草长出的枝条也会出现斐波那契数,有一种叫着“喷嚏麦”的花草,新的一枝从叶腋长出,而另外的新枝又从旧枝长出来,老枝条和新枝条的数目的和就像那兔子问题一样。
下面,让我们再来看看神奇的斐波那契螺旋线。
斐波那契螺旋线,以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形,然后在正方里面画一个90度的扇形,连起来的弧线就是斐波那契螺旋线,也称“黄金螺旋”。
自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案,鹦鹉螺身上也包含斐波那契螺旋线。
同学们,直到1993年,人们才对这个神奇的数列给出令人满意的解释:
此级数中任何相邻的两个数,次第相除,其比率都最为接近0.618034……。
这个数值有些眼熟吧,对了,你没有看错,它就是著名的“黄金分割率”。
呵呵,神奇的斐波那契数列,你的秘密就在这里呀!
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