届河北省衡水中学押题卷II卷 数学理Word版含答案.docx
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届河北省衡水中学押题卷II卷数学理Word版含答案
2019届河北省衡水中学押题卷(II卷)数学(理)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则集合=()
A.B.C.D.
2.设复数满足,则=()
A.B.C.D.
3.若,,则的值为()
A.B.C.D.
4.已知直角坐标原点为椭圆的中心,,为左、右焦点,在区间任取一个数,则事件“以为离心率的椭圆与圆:
没有交点”的概率为()
A.B.C.D.
5.定义平面上两条相交直线的夹角为:
两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线:
,当其离心率时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为()
A.B.C.D.
6.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则它的表面积是()
A.B.
C.D.
7.函数在区间的图象大致为()
A.B.C.D.
8.二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大,且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍,则的值为()
A.4B.8C.12D.16
9.执行下图的程序框图,若输入的,,,则输出的的值为()
A.81B.C.D.
10.已知数列,,且,,则的值为()
A.B.C.D.
11.已知函数的图象如图所示,令,则下列关于函数的说法中不正确的是()
A.函数图象的对称轴方程为
B.函数的最大值为
C.函数的图象上存在点,使得在点处的切线与直线平行
D.方程的两个不同的解分别为,,则最小值为
12.已知函数,若存在三个零点,则的取值范围是()
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.向量,,若向量,共线,且,则的值为.
14.设点是椭圆上的点,以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点,圆与轴相交于不同的两点、,若为锐角三角形,则椭圆的离心率的取值范围为.
15.设,满足约束条件则的取值范围为.
16.在平面五边形中,已知,,,,,,当五边形的面积时,则的取值范围为.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记求的前项和.
18.如图所示的几何体中,底面为菱形,,,与相交于点,四边形为直角梯形,,,,平面底面.
(1)证明:
平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
19.某校为缓解高三学生的高考压力,经常举行一些心理素质综合能力训练活动,经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试,并将其成绩分为、、、、五个等级,统计数据如图所示(视频率为概率),根据以上抽样调查数据,回答下列问题:
(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数;
(2)若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分,学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”,请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关?
(3)为了解心理健康状态稳定学生的特点,现从、两种级别中,用分层抽样的方法抽取11个学生样本,再从中任意选取3个学生样本分析,求这3个样本为级的个数的分布列与数学期望.
20.已知椭圆:
的离心率为,且过点,动直线:
交椭圆于不同的两点,,且(为坐标原点)
(1)求椭圆的方程.
(2)讨论是否为定值?
若为定值,求出该定值,若不是请说明理由.
21.设函数.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)设,记,当时,若方程有两个不相等的实根,,证明.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线:
(为参数,),在以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线:
.
(1)试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程,并指出两曲线有公共点时的取值范围;
(2)当时,两曲线相交于,两点,求.
23.选修4-5:
不等式选讲.
已知函数.
(1)在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象,并由图象找出满足不等式的解集;
(2)若函数的最小值记为,设,且有,试证明:
.
2019届河北省衡水中学押题卷(II卷)数学(理)
参考答案及解析
一、选择题
1-5:
BCAAD6-10:
AABCC11、12:
CD
二、填空题
13.-814.15.16.
三、解答题
17.解:
(1)当时,由及,
得,即,解得.
又由,①
可知,②
②-①得,即.
且时,适合上式,因此数列是以为首项,为公比的等比数列,故
(2)由
(1)及,
可知,
所以,
故.
18.解:
(1)因为底面为菱形,所以,
又平面底面,平面平面,
因此平面,从而.
又,所以平面,
由,,,
可知,,
,,
从而,故.
又,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(2)取中点,由题可知,所以平面,又在菱形中,,所以分别以,,的方向为,,轴正方向建立空间直角坐标系(如图示),
则,,,,,
所以,,.
由
(1)可知平面,所以平面的法向量可取为.
设平面的法向量为,
则即即令,得,
所以.
从而.
故所求的二面角的余弦值为.
19.解:
(1)从条形图中可知这100人中,有56名学生成绩等级为,
所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为,
则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.
(2)这100名学生成绩的平均分为,
因为,所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.
(3)由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本,其中级4个,级7个,从而任意选取3个,这3个为级的个数的可能值为0,1,2,3.
则,,
,.
因此可得的分布列为:
则.
20.解:
(1)由题意可知,所以,即,①
又点在椭圆上,所以有,②
由①②联立,解得,,
故所求的椭圆方程为.
(2)设,由,
可知.
联立方程组
消去化简整理得,
由,得,所以,,③
又由题知,
即,
整理为.
将③代入上式,得.
化简整理得,从而得到.
21.解:
(1)由,可知.
因为函数的定义域为,所以,
①若时,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增;
②若时,当在内恒成立,函数单调递增;
③若时,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增.
(2)证明:
由题可知,
所以.
所以当时,;当时,;当时,.
欲证,只需证,又,即单调递增,故只需证明.
设,是方程的两个不相等的实根,不妨设为,
则
两式相减并整理得,
从而,
故只需证明,
即.
因为,
所以(*)式可化为,
即.
因为,所以,
不妨令,所以得到,.
记,,所以,当且仅当时,等号成立,因此在单调递增.
又,
因此,,
故,得证,
从而得证.
22.解:
(1)曲线:
消去参数可得普通方程为.
曲线:
,两边同乘.可得普通方程为.
把代入曲线的普通方程得:
,
而对有,即,所以故当两曲线有公共点时,的取值范围为.
(2)当时,曲线:
,
两曲线交点,所在直线方程为.
曲线的圆心到直线的距离为,
所以.
23.解:
(1)因为
所以作出图象如图所示,并从图可知满足不等式的解集为.
(2)证明:
由图可知函数的最小值为,即.
所以,从而,
从而.
当且仅当时,等号成立,
即,时,有最小值,
所以得证.
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