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谓词逻辑练习及答案讲课稿
谓词逻辑练习及答案
第二章谓词逻辑
练习一
1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域,指出各自由变元和约束变元,并回答它们是否是命题:
(1)∀x(P(x)∨Q(x))∧R(R为命题常元)
(2)∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)
(3)∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))
(4)P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))
解
(1)全称量词∀,辖域P(x)∨Q(x),其中x为约束变元,∀x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。
(2)全称量词∀,辖域P(x)∨Q(x),其中x为约束变元。
存在量词∃,辖域S(x),其中x为约束变元。
T(x)中x为自由变元。
∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)不是命题。
(3)全称量词∀,辖域P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y),其中x为约束变元,T(y)中y为自由变元。
存在量词∃,辖域B(x,y)∧Q(y),其中y为约束变元。
∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。
(4)全称量词∀,辖域∃x(P(x)∧B(x,y)),其中y为约束变元。
存在量词∃,辖域P(x)∧B(x,y),其中x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。
P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。
2、对个体域{0,1}判定下列公式的真值,E(x)表示“x是偶数”:
(1)∀x(E(x)→┐x=1)
(2)∀x(E(x)∧┐x=1)
(3)∃x(E(x)∧x=1)
(4)∃x(E(x)→x=1)
再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式,鉴别你所确定的真值是否正确。
解
(1)∀x(E(x)→┐x=1)真
∀x(E(x)→┐x=1)可表示成命题公式(E(0)→┐0=1)∧(E
(1)→┐1=1)
其中E(0)→┐0=1真,E
(1)→┐1=1也真,故(E(0)→┐0=1)∧(E
(1)→┐1=1)真。
(2)∀x(E(x)∧┐x=1)假
∀x(E(x)∧┐x=1)可表示成命题公式(E(0)∧┐0=1)∧(E
(1)∧┐1=1)
其中E(0)∧┐0=1真,但E
(1)∧┐1=1假,故(E(0)∧┐0=1)∧(E
(1)∧┐1=1)假。
(3)∃x(E(x)∧x=1)假
∃x(E(x)∧x=1)可表示成命题公式(E(0)∧0=1)∨(E
(1)∧1=1)
其中E(0)∧0=1假,E
(1)∧1=1也假,故(E(0)∧0=1)∨(E
(1)∧1=1)假。
(4)∃x(E(x)→x=1)真
∃x(E(x)→x=1)可表示成命题公式(E(0)→0=1)∨(E
(1)→1=1)
其中E(0)→0=1假,但E
(1)→1=1真,故(E(0)→0=1)∨(E
(1)→1=1)真。
3、设整数集为个体域,判定下列公式的真值(*表示数乘运算):
(1)∀x∃y(x*y=x)
(2)∀x∃y(x*y=1)
(3)∀x∃y(x+y=1)
(4)∃y∀x(x*y=x)
(5)∃y∀x(x+y=0)
(6)∀x∃y(x+y=0)
解
(1)∀x∃y(x*y=x)真
(2)∀x∃y(x*y=1)假
(3)∀x∃y(x+y=1)真
(4)∃y∀x(x*y=x)真
(5)∃y∀x(x+y=0)假
(6)∀x∃y(x+y=0)真
4、量词∃!
表示“有且仅有”,∃!
xP(x)表示有且仅有一个个体满足谓词P(x)。
试用量词,∀,∃,等号“=”及谓词P(x),表示∃!
P(x),即写出一个通常的谓词公式使之与∃!
xP(x)具有相同的意义。
解∃!
xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示
∃x(P(x)∧∀y(P(y)→y=x))
5、设个体域为整数集,试确定两个谓词P(x,y),分别使得下列两个蕴涵式假:
(1)∀x∃!
yP(x,y)→∃!
y∀xP(x,y)
(2)∃!
y∀xP(x,y)→∀x∃!
yP(x,y)
解
(1)当P(x,y)表示x+y=0时∀x∃!
yP(x,y)→∃!
y∀xP(x,y)为假。
(2)当P(x,y)表示x*y=0时∃!
y∀xP(x,y)→∀x∃!
yP(x,y)为假(*表示数乘运算)。
因为只有数0对一切整数x,有x*0=0,从而前件真;但对数0,可有众多y,使0*y=0,从而后件假。
6、指定整数集的一个尽可能大的子集(如果存在)为个体域,使得下列公式为真:
(1)∀x(x>0)
(2)∀x(x=5∨x=6)
(3)∀x∃y(x+y=3)
(4)∃y∀x(x+y<0)
解
(1)对正整数集个体域,∀x(x>0)为真
(2)对{5,6},∀x(x=5∨x=6)为真
(3)对整数集,∀x∃y(x+y=3)为真
(4)使得∃y∀x(x+y<0)为真的整数集的尽可能大的子集不存在。
7、以实数集为个体域,用谓词公式将下列语句形式化:
(1)如果两实数的平方和为零,那么这两个实数均为零。
(2)f(x)为一实函数当且仅当对每一实数x都有且只有一个实数y满足y=f(x)(不得使用量词∃!
。
“f(x)为实函数”可译为RF(f))。
解
(1)∀x∀y(x2+y2=0→x=0y=0)。
(2)RF(f)↔∀x∃y(y=f(x)∧┐∃z(z≠y∧z=f(x)))
8、用谓词公式将下列语句形式化:
(1)高斯是数学家,但不是文学家。
(2)没有一个奇数是偶数。
(3)一个数既是偶数又是质数,当且仅当该数为2。
(4)有的猫不捉耗子,会捉耗子的猫便是好猫。
(5)发亮的东西不都是金子。
(6)不是所有的男人都至少比一个女人高,但至少有一个男人比所有的女人高。
(7)一个人如果不相信所有其他人,那么他也就不可能得到其他人的信任。
(8)如果别的星球上有人,天文学家是不会感到惊讶的。
(9)党指向哪里,我们就奔向那里。
(10)谁要是游戏人生,他就一事无成;谁不能主宰自己,他就是一个奴隶。
(歌德)
解
(1)M(x)表示“x是数学家”,A(x)表示“x是天文学家”,g表示“高斯”,原句可表示为
M(g)∧┐A(g)
(2)O(x)表示“x是奇数”,E(x)表示“x是偶数”,原句可表示为
┐∃x(O(x)∧E(x))
(3)O(x)表示“x是奇数”,E(x)表示“x是偶数”,原句可表示为
∀x(O(x)∧E(x)↔x=2)
(4)C(x)表示“x是猫”,M(x)表示“x是老鼠”,G(x)表示“x是好的”,K(x,y)表示“x会捉y”,原句可表示为
∃x(C(x)∧∀y(M(y)→┐K(x,y))∧∀x(C(x)∧∀y(M(y)→K(x,y))→G(x))
(5)G(x)表示“x是金子”,L(x)表示“x是发亮的”,原句可表示为
┐∀x(L(x)→G(x))
(6)M(x)表示“x是男人”,F(x)表示“x是女人”,H(x,y)表示“x比y高”,原句可表示为
┐∀x(M(x)→∃y(F(y)∧H(x,y)))∧∃x(M(x)∧∀y(F(y)→H(x,y)))
(7)M(x)表示“x是人”,B(x,y)表示“x相信y”,原句可表示为
∀x(M(x)∧┐∃y(M(y)∧x≠y∧B(x,y))→┐∃y(M(y)∧x≠y∧B(y,x)))
(8)C(x)表示“x是星球”,M(x)表示“x是人”,A(x)表示“x是天文学家”,e表示“地球”,H(x,y)表示“x有y”,S(x)表示“x惊讶”,原句可表示为
∃x(C(x)∧x≠e∧∃y(M(y)∧H(x,y)))→∀x(A(x)→┐S(x))
(9)Q(x,y)表示“x指向y”,J(x,y)表示“x奔向y”,party表示“党”,we表示“我们”,原句可表示为
∀x(Q(party,x)→J(we,x))
(10)M(x)表示“x是人”,K(x)表示“x游戏人生”,L(x)表示“x一事无成”,H(x,y)表示“x主宰y”,N(x)表示“x是奴隶”,原句可表示为
∀x(M(x)∧K(x)→L(x))∧∀x(┐H(x,x)→N(x))
练习二
1、利用量词意义或利用已经证明了的永真式及几个基本原理,证明永真式。
解:
(1)A(x)⇒∃xA(x)
设U,I,s分别是使A(x)真的个体域、解释和指派,s(x)=d∈U,那么A(d)真,因此对个体域U、解释I,∃xA(x)也真。
(2)∀xA(x)⇒∃xA(x)
由∀xA(x)⇒A(x)和∀xA(x)⇒∃xA(x)立即可得。
(3)┐∀x┐A(x)⇔∃xA(x)
设U,I是使┐∀x┐A(x)真的个体域和解释,那么并非U中的所有个体都使得解释I下的谓词A(x)假,,因此U中有个体使得解释I下的谓词A(x)真,故个体域U和解释I下∃xA(x)真。
上述证明是可逆的,所以┐∀x┐A(x)⇔∃xA(x)得证。
(4)∃xA(x)∧B⇔∃x(A(x)∧B)
∃xA(x)∧B⇔┐(┐(∃xA(x)∧B))
⇔┐(┐∃xA(x)∨┐B)
⇔┐(∀x┐A(x)∨┐B)
⇔┐∀x(┐A(x)∨┐B)
⇔∃x┐(┐A(x)∨┐B))
⇔∃x(A(x)∧B)
(5)∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
设U,I是使∀x(A(x)∧B(x))真的个体域和解释,那么对任意d∈U,A(d)∧B(d)真。
因此,对任意d∈U,A(d)真,对任意d∈U,B(d)真。
故U,I是使∀xA(x)∧∀xB(x))真。
∀x(A(x)∧B(x))⇒∀xA(x)∧∀xB(x)得证。
上述证明是可逆的,所以∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)得证。
(6)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
∃x(A(x)∨B(x))⇔┐(┐∃x(A(x)∨B(x)))
⇔┐(∀x(┐A(x)∧┐B(x)))
⇔┐(∀x┐A(x)∧∀x┐B(x))
⇔┐(┐∃xA(x)∧┐∃xB(x))
⇔∃xA(x)∨∃xB(x))
(7)∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)
个体域和解释U,I使∀x∀yA(x,y)真的意义,与个体域和解释U,I使∀y∀xA(x,y)真的意义相同,因此∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)。
(8)∀x∀yA(x,y)⇒∃y∀xA(x,y)
由∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)和∀y∀xA(x,y)⇒∃y∀xA(x,y)立即可得。
(9)∃y∀xA(x,y)⇒∀x∃yA(x,y)
设U,I是使∃y∀xA(x,y)真的个体域和解释,那么有c∈U,使得对任意d∈U,A(c,d)真。
因此,对任以d∈U,总可取c∈U,使得A(c,d)真。
故U,I也使∀x∃yA(x,y)真。
∃y∀xA(x,y)┝∀x∃yA(x,y)得证。
(10)∀x∃yA(x,y)⇒∃y∃xA(x,y)
由∀x∃yA(x,y)⇒∃x∃yA(x,y)和∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)((7)之e,下面给出证明)立即可得。
(11)∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)
∃x∃yA(x,y)⇔┐(┐∃x∃yA(x,y))
⇔┐(∀x∀y┐A(x,y))
⇔┐(∀y∀x┐A(x,y))
⇔∃y∃xA(x,y)
2、证明下列逻辑蕴涵式及逻辑等价式(方法不限):
(1)∃xP(x)→∀xQ(x)⇒∀x(P(x)→Q(x))
证∃xP(x)→∀xQ(x)⇒┐∃xP(x)∨∀xQ(x)
⇒∀x┐P(x)∨∀xQ(x)
⇒∀x(┐P(x)∨Q(x))
⇒∀x(P(x)→Q(x))
(2)P(x)∧∀xQ(x)⇒∃x(P(x)∧Q(x))
证P(x)∧∀xQ(x)⇒P(x)∧Q(x)
⇒∃x(P(x)∧Q(x))
(3)∀x∀y(P(x)∨Q(y))⇔∀xP(x)∨∀yQ(y)
证∀x∀y(P(x)∨Q(y))⇔∀x(P(x)∨∀yQ(y))
⇔∀xP(x)∨∀yQ(y)
(4)∃x∃y(P(x)∧Q(y))⇔∃xP(x)∧∃yQ(y)
证∃x∃y(P(x)∧Q(y))⇔∃x(P(x)∧∃yQ(y))
⇔∃xP(x)∧∃yQ(y)
(5)∃x∃y(P(x)→Q(y))⇔∀xP(x)→∃yQ(y)
证∃x∃y(P(x)→Q(y))⇔∃x∃y(┐P(x)∨Q(y))
⇔∃x(┐P(x)∨∃yQ(y))
⇔∃x┐P(x)∨∃yQ(y)
⇔┐∀xP(x)∨∃yQ(y)
⇔∀xP(x)→∃yQ(y)
(6)∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
证∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∀x∀y(┐P(x)∨Q(y))
⇔∀x(┐P(x)∨∀yQ(y))
⇔∀x┐P(x)∨∀yQ(y)
⇔┐∃xP(x)∨∀yQ(y)
⇔∃xP(x)→∀yQ(y)
3、试举出一个个体域及两种解释,分别证明第2题之
(1)
(2)的逆不能成立。
解第2题之
(1):
取个体域为自然数集合,P(x)表示:
x为不等于2的质数,Q(x)表示:
x为奇数,那么∀x(P(x)→Q(x))真,∃xP(x)→∀xQ(x)假(∃xP(x)假,而∀xQ(x)真)。
故∀x(P(x)→Q(x))┝∃xP(x)→∀xQ(x)不能成立。
第2题之
(2):
取个体域为自然数集合,P(x)表示:
x等于2,Q(x)表示:
x为偶数,指派P(x)中自由变元x=3,那么∃x(P(x)∧Q(x))真,P(x)∧∀xQ(x)假。
∃x(P(x)∧Q(x))⇒P(x)∧∀xQ(x)不能成立。
4、设个体域D={d1,…,dn},试用消去量词的方法证明下列基本逻辑等价式:
(1)┐∀xA(x)⇔∃x┐A(x)
解┐∀xA(x)⇔┐(A(d1)∧…∧A(dn))
⇔┐A(d1)∨…∨┐A(dn)
⇔∃x┐A(x)
(2)∀xA(x)∧P⇔∀x(A(x)∧P)(P为命题常元)
解∀xA(x)∧P⇔(A(d1)∧…∧A(dn))∧P
⇔(A(d1)∧P)∧…∧(A(dn)∧P)
⇔∀x(A(x)∧P)
(3)∀xA(x)∨∀xB(x)┝∀x(A(x)∨B(x))
解∀xA(x)∨∀xB(x)⇔(A(d1)∧…∧A(dn))∨(B(d1)∧…∧B(dn))
⇒(A(d1)∨(B(d1))∧…∧(A(dn))∨(B(dn))
⇒∀x(A(x)∨B(x))
(4)∃xA(x)∨∃xB(x)⇔∃x(A(x)∨B(x))
解∃xA(x)∨∃xB(x)⇔(A(d1)∨…∨A(dn))∨(B(d1)∨…∨B(dn))
⇔(A(d1)∨B(d1))∨…∨(A(dn))∨…∨B(dn))
⇔∃x(A(x)∨B(x))
练习三
1、设个体域D={d1,d2,d3},试用消去量词的方式证明:
当A(x)中无自由变元y,B(y)中无自由变元x时,
∀x∃y(A(x)∧B(y))⇔∃y∀x(A(x)∧B(y))
解∀x∃y(A(x)∧B(y))⇔∀x((A(x)∧B(d1))∨(A(x)∧B(d2))∨(A(x)∧B(d3)))
⇔((A(d1)∧B(d1))∨(A(d1)∧B(d2))∨(A(d1)∧B(d3)))∧
((A(d2)∧B(d1))∨(A(d2)∧B(d2))∨(A(d2)∧B(d3)))∧
((A(d3)∧B(d1))∨(A(d3)∧B(d2))∨(A(d3)∧B(d3)))
⇔(A(d1)∧(B(d1)∨B(d2)∨B(d3)))∧
(A(d2)∧(B(d1)∨B(d2)∨B(d3)))∧
(A(d3)∧(B(d1)∨B(d2)∨B(d3)))
⇔(A(d1)∧A(d2)∧A(d3))∧(B(d1)∨B(d2)∨B(d3))
∃y∀x(A(x)∧B(y))⇔∃y((A(d1)∧B(y))∧(A(d2)∧B(y))∧(A(d3)∧B(y)))
⇔((A(d1)∧B(d1))∧(A(d2)∧B(d1))∧(A(d3)∧B(d1)))∨
((A(d1)∧B(d2))∧(A(d2)∧B(d2))∧(A(d3)∧B(d2)))∨
((A(d1)∧B(d3))∧(A(d2)∧B(d3))∧(A(d3)∧B(d3)))
⇔(A(d1)∧A(d2)∧A(d3))∧B(d1))∨
⇔(A(d1)∧A(d2)∧A(d3))∧B(d2))∨
⇔(A(d1)∧A(d2)∧A(d3))∧B(d3))
⇔(A(d1)∧A(d2)∧A(d3))∧(B(d1)∨B(d2)∨B(d3))
故∀x∃y(A(x)∧B(y))⇔∃y∀x(A(x)∧B(y))
2、求下列各式的前束合取范式:
(1)┐∀x(A(x)→∃yB(y))
(2)∀x(A(x)→∃yB(x,y))
(3)∀x∀y(∃zA(x,y,z)↔∃zB(x,y,z))
(4)∃x(┐∃yA(x,y)→(∃zB(z)→C(x)))
(5)┐∀x(∃yA(x,y)→∃x∀y(B(x,y)∧∀y(A(y,x)→B(x,y))))
解
(1)┐∀x(A(x)→∃yB(y))⇔∃x(A(x)∧∀y┐B(y))
⇔∃x∀y(A(x)∧┐B(y))
(2)∀x(A(x)→∃yB(x,y))⇔∀x(┐A(x)∨∃yB(x,y))
⇔∀x∃y(┐A(x)∨B(x,y))
(3)∀x∀y(∃zA(x,y,z)↔∃zB(x,y,z))⇔∀x∀y((∃zA(x,y,z)→∃zB(x,y,z))∧(∃zB(x,y,z)→∃zA(x,y,z)))
⇔∀x∀y((┐∃zA(x,y,z)∨∃zB(x,y,z))∧(┐∃zB(x,y,z)∨∃zA(x,y,z)))
⇔∀x∀y((∀z┐A(x,y,z)∨∃zB(x,y,z))∧(∀z┐B(x,y,z)∨∃zA(x,y,z)))
⇔∀x∀y((∀z┐A(x,y,z)∨∃uB(x,y,u))∧(∀v┐B(x,y,v)∨∃wA(x,y,w)))
⇔∀x∀y∀z∃u∀v∃w((┐A(x,y,z)∨B(x,y,u))∧(┐B(x,y,v)∨A(x,y,w)))
(4)∃x(┐∃yA(x,y)→(∃zB(z)→C(x)))⇔∃x(∃yA(x,y)∨(┐∃zB(z)∨C(x)))
⇔∃x(∃yA(x,y)∨(∀z┐B(z)∨C(x)))
⇔∃x(∃yA(x,y)∨∀z(┐B(z)∨C(x)))
⇔∃x∃y∀z(A(x,y)∨┐B(z)∨C(x))
(5)┐∀x(∃yA(x,y)→∃x∀y(B(x,y)∧∀y(A(y,x)→B(x,y))))
⇔∃x(∃yA(x,y)∧∃x∀y(B(x,y)∧∀u(┐A(u,x)∨B(x,u))))
⇔∃x(∃yA(x,y)∧∃x∀y∀u(B(x,y)∧(┐A(u,x)∨B(x,u))))
⇔∃x(∃yA(x,y)∧∃v∀w∀u(B(v,w)∧(┐A(u,v)∨B(v,u))))
⇔∃x∃y∃v∀w∀u(A(x,y)∧B(v,w)∧(┐A(u,v)∨B(v,u)))
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