(¹)如图,当a=4◇˚时,延长BE交AD于点¹,求证:
B¹†AD,A¹=D¹·
44中考数学压轴题破解策略
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˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
(²)在旋转的过程中,过点D作D*†AB于点*,连结³E·当²DA*=²A³B,且线段D*与线段
AE无公共点时,求BE+³E·
解(¹)由旋转的性质可得AB=AD,AE=DE,²BAD=a=4◇˚·
所以AABD为等边三角形,所以AB=DB,
从而得到BE为AD的垂直平分线,所以B¹†AD,A¹=D¹·
(²)如图,按照题意画出图形,令³E与AB的交点为H·
由旋转的性质可得³A=³B=EA=ED,²³AB=²³BA=²EAD=
²EDA·
因为²DA*+²DAE+²EAB=²A³B+²³AB+²³BA=¹8◇˚,且已知²DA*=²A³B,
所以²³AB=²EAB·
所以AB,³E互相垂直平分,则A³=³B=BE=EA·
所以BE+³E=’+²×槡’²¯³²=¹³·
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
例*如图,已知AAB³是等边三角形,点E在线段AB上,点D在直线B³上,且ED=E³,将
AB³E绕点³顺时针旋转4◇˚至AA³¹,连结E¹·
(¹)求证:
AB=DB+A¹;
(²)若点E在线段AB的延长线上,其他条件不变,线段AB,DB,A¹
之间有怎样的数量关系?
请说明理由;
(³)若点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,线段AB,DB,A¹
之间有怎样的数量关系?
请说明理由·
证明(¹)如图,过点E作E*KA³,交B³于点*,则AEB*为等边三角形·
易证AEBD÷AE*³,所以DB=³*=AE·
由旋转的性质可得A¹=BE,
所以AB=BE+AE=A¹+DB·
(²)AB=DB¯A¹·理由如下:
如图,过点E作E*KA³,交³D于点*,则AEB*为等边三角形·
易证AE*D÷AEB³,所以D*=B³=AB·
由旋转的性质可得A¹=BE=B*,
所以AB=D*=DB¯B*=DB¯A¹·
第七章旋转4’
(³)AB=A¹¯DB·理由如下:
如图,过点E作E*KA³,交B³延长线于点*,则AEB*为等边三角形·
易证AEBD÷AE*³,
所以DB=³*=AE·
由旋转的性质可得A¹=BE,
所以AB=BE¯AE=A¹¯DB·
¹·如图,将正五边形AB³DE绕点A顺时针旋转4◇˚后,旋转前后两图形有另一交点O,连结AO;再将AO所在的直线绕点A逆时针旋转4◇˚后,交旋转前的图形于点P,连结PO·判断AAOP的形状,并说明理由·
²·如图,在菱形AB³D中,A³=²,BD=²槡³,A³,BD相交于点O·将一个足够大的直角三角板4◇˚角的顶点放在菱形AB³D的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板4◇˚角的两边分别与边B³,³D相交于点E,¹,连结E¹,与
A³相交于点*·
(¹)判断AAE¹是哪一种特殊三角形,并说明理由;
(²)旋转过程中,当点E为边B³的四等分点时(BE>³E),求³*的长·
第二节“T”形模型
当图形具有邻边相等这一特征时,可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置,将分散的条件相对集中起来,从而解决问题·
因为正方形¸正三角形的边长相等,所以在这两种图形中常常应用旋转变换·
(¹)如图,等边AAB³内有一点P,连结AP,BP,³P,将ABP³绕点B逆时针旋转4◇˚得到ABP'A,则ABPP'是等边三角形;AAPP'的形状由AP,BP,³P的长度决定·
4Ð中考数学压轴题破解策略
(²)如图,正方形AB³D内有一点P,连结AP,BP,³P,将ABP³绕点B逆时针旋转9◇˚得到ABP'
A,则ABPP'是等腰直角三角形;AAPP'的形状由AP,BP,³P的长度决定·
这类题目中不提旋转,而是通过旋转添加辅助线,从而解决问题·
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˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
例¹在AAB³中,²BA³=4◇˚·
(¹)如图¹,若AB=A³,点P在AAB³内,且PA=³,P³=4,²AP³=¹’◇˚,求PB的长;
(²)如图²,若AB=A³,点P在AAB³外,且PA=³,PB=’,P³=4,求²AP³的度数;
(³)如图³,若AB=²A³,点P在AAB³内,且PA=槡³,PB=’,²AP³=¹²◇˚,求P³的长·
解(¹)如图,将AAP³绕点A顺时针旋转4◇˚,得到AA8B,连结P8·易证APA8是等边三角形·
从而在AP8B中,有²P8B=9◇˚,P8=³,B8=4,
所以PB=’·
(²)如图,将AAP³绕点A顺时针旋转4◇˚,得到AA8B,连结P8·易证APA8是等边三角形·
从而在AP8B中,有P8=³,B8=4,PB=’,
所以²P8B=9◇˚,从而²AP³=²A8B=³◇˚·
(³)如图,作AA8³,使得A8=¹
=¹
连结P8·
易证AA³B*AA8P·
AP³8BP
²²
³’
从而在A8P³中,有²8P³=9◇˚,P8=²,8³=²,
所以P³=²·
第七章旋转4’
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
例*如图,正方形AB³D外有一点E,满足ED=E³,且²DEA=¹’˚,求证:
ADE³为等边三角形·
证明如图,过点D作D¹†DE,且D¹=DE,连结³¹交AE于点*,连结E¹·
易证AADE÷A³D¹,
所以²D¹³=²DEA=¹’˚,
从而²¹*E=²¹DE=9◇˚,²*¹E=³◇˚·
¹
所以³E=
=槡²
=槡²,
²
E¹D¹³E
²²
所以²*E³=4’˚,²DE³=4◇˚,
即ADE³为等边三角形·
¹·如图,点P在等边AAB³中内,PA=²,PB=²槡³,P³=4,则AAB³的边长是·
²·(¹)如图¹,在正方形AB³D内有一点P,PA=槡’,PB=槡²,P³=¹,则²BP³的度数为;
(²)如图²,在正六边形AB³DE¹内有一点P,PA=²槡¹³,PB=4,P³=²,则²BP³的度数为,正六边形AB³DE¹的边长为·
³·如图,在AAB³中,AB=A³=¹◇,²BA³=4’˚,B³=³D,²B³D=9◇˚,求AD
的长·
48中考数学压轴题破解策略
第三节中心对称模型
通常情况下,遇到线段中点时,可将图形绕该点旋转¹8◇˚,构造中心对称·通常所说的倍长中线,实际上就是作中心对称·
中心对称模型的基本图形有:
(¹)倍长中线,构造全等三角形·
如图,T为B³中点,延长AT至点D,使得DT=AT,连结³D,则AABT÷AD³T;
(²)倍长类中线(与中点有关的线段),构造全等三角形·
如图,T为B³中点,延长DT至点E,使得ET=DT,连结BE,则A³DT÷
ABET·
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
例¹正方形AB³D的边长为²,点P是射线³B上一个动点,连结PA,PD,点T,’分别为B³,AP
的中点,连结T’交PD于点8,点P'与点P关于直线AB对称,且点P'在线段B³上,连结AP',若点
8恰好在直线AP'上,求BP的长·
解如图,延长T’,DA交于点E·
则AAE’÷APT’,
所以AE=PT=BP+¹·
易证AA8D*AP'8P,AE8D*AT8P,
PP'P8PT
D8
DE
所以DA==,
²BPBP+¹
从而²=·
BP+³
解得BP=槡²¯¹·
第七章旋转49
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
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˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
例*在R’AA³B和R’AAE¹中,²A³B=²AE¹=9◇˚,若P是B¹的中点,连结P³,PE·
(¹)如图¹,若点E,¹分别落在边AB,A³上,请直接写出此时线段P³与PE的数量关系;
(²)如图²,把图¹中的AAE¹绕着点A顺时针旋转,当点E落在边³A的延长线上时,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(³)如图³,若点¹落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由·
解(¹)易得P³=PE=
¹
B¹P³PE·
即与相等
²
(²)结论成立·理由如下:
如图,延长³P交E¹的延长线于点D,则B³K¹D·
易证ABP³÷A¹PD,所以P³=PD·
¹
而²³ED=9◇˚,所以PE=
³D=P³·
²
(³)结论仍然成立·理由如下:
如图,过点¹作¹DKB³,交³P延长线于点D·
易得PD=P³,¹D=B³·
AEE¹E¹
所以A³
==·
B³¹D
而²A¹E=²PB³=²P¹D,
所以²EA³=¹8◇˚¯²²A¹E=²E¹D·
如图,连结³E,ED·
则AEA³*AE¹D,
所以²AE³=²¹ED,²³ED=²AE¹=9◇˚·
¹
所以PE=
³D=P³·
²
’0中考数学压轴题破解策略
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
¹
例³已知AAB³是等腰三角形,²BA³=9◇˚,³D=
AE的中点·
B³,DE†³E,DE=³E,连结AE,点T是
²
(¹)如图¹,若点D在AAB³的内部,连结BD,点’是BD中点,连结T’,’E,求证:
T’†AE;
(²)如图²,将图¹中的A³DE绕点³逆时针旋转,使²B³D=³◇˚,连结BD,点’是BD中点,连
T’
结T’,探索A³的值·
解(¹)如图,延长E’至点¹,使得’¹=’E,连结¹B·易证ADE’÷AB¹’,
从而可得B¹KDE,B¹=DE·
延长¹B,³E交于点*,则²*=9◇˚,从而A,B,*,³四点共圆,
所以²AB¹=²A³E·
连结A¹,所以AAB¹÷AA³E(*A*)·
所以A¹=AE,且A¹†AE·
¹
而T’KA¹,所以T’=
AE,且T’†AE·
²
(²)如图,同(¹)可得T’=¹
且T’†AE·
AE
²
由题意可得A³=²³E,
作EH†A³于点H,则²E³H=4◇˚,
¹¹槡³
所以³H==,=,
E³A³EH
²4
4A³
从而AE=槡AH²+EH²=槡’,
²A³
所以T’=槡’
A³4·
¹·已知AAB³和AADE是等腰直角三角形,²A³B=²ADE=9◇˚,点¹为BE中点,连结
D¹,³¹·
(¹)如图¹,当点D在AB上,点E在A³上,请直接写出此时线段D¹,³¹的数量关系和位置关系
(不用证明);
(²)如图²,在(¹)的条件下将AADE绕点A顺时针旋转4’˚时,请你判断此时(¹)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
第七章旋转’¹
(³)如图³,在(¹)的条件下将AADE绕点A顺时针旋转a时,请你判断此时(¹)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断·
²·如图¹,在菱形AB³D和BE¹*中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段D¹的中点,连结P*,
P³·若²AB³=²BE¹=4◇˚·
(¹)请写出线段P*与P³的位置关系及P*的值;
P³
(²)将图¹中的菱形BE¹*绕点B顺时针旋转,使菱形BE¹*的对角线B¹恰好与菱形AB³D的边
AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图²)·你在(¹)中得到的两个结论是否发生变化?
请写出你的猜想并加以证明;
(³)若图¹中²AB³=²BE¹=²a(◇P*
中的其他条件不变,请你直接写出P³的值(用含a的式子表示)·
’²中考数学压轴题破解策略
³·已知点P是平行四边形AB³D对角线A³所在直线上的一个动点(点P不与点A,³重合),分别过点A,³向直线BP作垂线,垂足分别为点E,¹,点O为A³的中点·将直线BP绕点B逆时针方向旋转,当²O¹E=³◇˚时,如图¹¸图²所示的位置,请你猜想线段³¹,AE,OE之间有怎样的数量关系,并给予证明·
第四节手拉手模型
¹•等边三角形手拉手
等边AAB³与等边AD³E,B,³,E三点共线·
连结BD,AE交于点¹,BD交A³于点*,AE交D³于点H,连结³¹,*H·则:
(¹)AB³D÷AA³E;
(²)AE=BD;
(³)²A¹B=²D¹E=4◇˚;
(4)¹³平分²B¹E;
(’)B¹=A¹+¹³,E¹=D¹+³¹;(4)A³*H为等边三角形·
‘³A=³B,
证明(¹)由已知条件可得<²A³E=²B³D,
LE³=D³·
则AA³E÷AB³D·
(²)由(¹)可得AE=BD;(³)由(¹)可得²*A¹=²*B³,而²A*¹=²B*³,所以²D¹E=²A¹B=²A³B=4◇˚·
(4)方法一:
如图,过点³分别作BD,AE的垂线,垂足分别为T,’·
由(¹)知*=*
即¹•
=¹•,
AA³E
AB³D
BD³T
²
AE³’
²
所以³T=³’,故¹³平分²B¹E·
第七章旋转’*
方法二:
由²³A¹=²³B¹,可得A,B,³,¹四点共圆,
所以²B¹³=²BA³=4◇˚·同理²³¹E=²³DE=4◇˚·所以¹³平分²B¹E·
(’)作²¹³I=4◇˚,交BD于点I,则A³¹I为等边三角形·
易证AB³I÷AA³¹,
所以BI=A¹,I¹=³I=¹³·从而B¹=BI+I¹=A¹+¹³·同理E¹=D¹+¹³·
(4)易证AA³H÷AB³*(A*A),
可得³*=³H,
而²*³H=4◇˚,所以A³*H为等边三角形·
*•等腰直角三角形手拉手
等腰R’AA³B与等腰R’AD³E中,²A³B=²D³E=9◇˚·
如图¹,连结BD,AE交于点¹,连结¹³,AD,BE,则:
(¹)AB³D÷AA³E;
(²)AE=BD;
(³)AE†BD;
(4)¹³平分²B¹E;
(’)AB²+DE²=AD²+BE²;
(4)B¹=A¹+槡²¹³,E¹=D¹+槡²¹³;
(’)如图²,若*,I分别为BE,AD的中点,则*³†AD,I³†BE(反之亦然);
(8)*AA³D=*AB³E·
证明(¹)(²)(³)(4)证明见“等边三角形手拉手”;
(’)因为AE†BD,由勾股定理可得
AB²+DE²=(A¹²+B¹²)+(D¹²+E¹²),
AD²+BE²=(A¹²+D¹²)+(B¹²+E¹²),
所以AB²+DE²=AD²+BE²·
(4)过点³作³¹†¹³,交BD于点¹,则A³¹¹为等腰直角三角形·
易证AB³¹÷AA³¹,
所以B¹=A¹·
从而B¹=B¹+¹¹=A¹+槡²¹³·
同理E¹=D¹+槡²¹³·
’4中考数学压轴题破解策略
(’)©延长*³,交AD延长线于点