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完整高中数学讲义圆锥曲线
圆锥曲线
圆锥曲线
定义
标准方程
抛物线
几何性质
【方法点拨】
解析几何是高中数学的重要内容之一,也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲
线是解析几何的重要内容,因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线,无外乎抓住其方程和
曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性,而它的图像具有典型的几何特性,因此,它
是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类:
椭圆、双曲线
和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰,解题方法的规律性比较强,
但是运算过程往往比较复杂,对学生运算能力,恒等变形能力,数形结合能力及综合运用各
种数学知识和方法的能力要求较高。
1.一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程
组理论,又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关,提高运算与变形的能力,解析几何问题一般涉及的变量多,计算量大,
解决问题的思路分析出来以后,往往因为运算不过关导致半途而废,因此要寻求合理的运算
方案,探究简化运算的基本途径与方法,并在克服困难的过程中,增强解决复杂问题的信心,
提高运算能力.
3.突出主体内容,要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习:
一是根据已知条件求曲线方程,
其中待定系数法是重要方法,二是通过方程研究圆锥曲线的性质,往往通过数形结合来体现,
应引起重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼,达到优化解题思维、
简化解题过程
第1课椭圆A
【考点导读】
1.掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆
简单的几何性质;
2.了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法;能运用椭圆的标准方程和几何性质处
理一些简单的实际问题.
【基础练习】
2
x2
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆y1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另
3
外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是
2.椭圆x24y21的离心率为
3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为
F(-23,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆
1
,则k的值为
2
2
x
4.已知椭圆
k8
2
y1的离心率e
9
例1.
(1)求经过点
352
(,),且9x2
22
4y2
45与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的3倍,点P(3,0)在该椭圆上,求
椭圆的方程。
分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:
①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上;
②定量,即根据条件列出基本量a、b、c的方程组,解方程组求得
22
解:
(1)∵椭圆焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为yx
a2b2
由椭圆的定义知,
2a
(32)2
52
(22)2
(32)2
52
(22)2
310110
22
a
10,又∵
c2,∴
22ba
c210
46,
a、b的值;③写出方程
1(ab0),
210,
22
所以,椭圆的标准方程为yx1。
106
2)方法一:
①若焦点在
22
x轴上,设方程为x2y21ab
ab
9
点P(3,0)在该椭圆上∴21即
a
2
a9又a
3b,∴b21∴椭圆的方程为
2
x2
9y1.
2
②若焦点在y轴上,设方程为y2
a
2
x
1a
b2
b0,
P(3,0)在该椭圆
上∴9
b2
2
1即b2
2
9又a3b,∴a281∴椭圆的方程为
2y
81
2x1
9
方法二:
设椭圆方程为Ax2
By2
A0,B
0,AB.∵点
(P3,0)在该椭圆上∴9A=1,
1
即A,又a3b∴B9
1
1或
81
2
2x
a281∴椭圆的方程为x
9
2
1或y
81
2
x1.
9
点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法,若焦点在
x轴上,
设方程为
22
xy
221a
ab
b0
若焦点在
y轴上,设方程为
2
x1aa
b2
b0,有时为了运
算方便,也可设为
Ax2
By2
1,其中
A0,B0,A
B.
例2.点A、B分别是椭圆
2x
36
2y
20
1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭
x轴上方,
1)求点P的坐标;
PA
PF。
2)设M是椭圆长轴AB上的一点,
M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点
M的距离d的最小值。
【分析】①列方程组求得P坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解,
要注意椭圆上点坐标的范围.
解:
(1)由已知可得点
uuur
设点P(x,y),则AP=
A(-6,0),F(0,4)
uuur
x+6,y),FP=(x-4,y),由已知可得
22xy13620
(x6)(x4)
23
则2x+9x-18=0,x=或x=-6.
y>0,只能
x=3,于是
2
y=523.∴点P的坐标是(32,523)
m6
2
(2)直线AP的方程是x-3y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是
d2
m6
=m
2
2
(x2)2
6,又-6≤m≤6解得,m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有
22524
yx4x420x(x
99
92
92)215,
由于-6≤m≤6,∴当x=时,d取得最小值15
2
通常转化为二次函数值域问题
点拨:
本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题,【反馈练习】
1.如果x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是
2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等
腰直角三角形,则椭圆的离心率是
22
xy
3.椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|
123
是|PF2|的倍
1的离心率e10,则m的值为
5
22
4.若椭圆xy
5m
22
5..椭圆xy1的右焦点到直线y3x的距离为
43
x2
6.与椭圆x
4
1具有相同的离心率且过点(
2,-3)的椭圆的标准方程是
2
7.椭圆x
16
2
y1上的点到直线x2y20的最大距离是
4
4525
8.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为5和5,过
33
P点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
第2课椭圆B
【考点导读】
1.掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题
2.能解决椭圆有关的综合性问题.
【基础练习】
2
1.曲线x
22
y1m6与曲线
6m5n
2
y15n9的()
9n
A焦点相同
B离心率相等
C准线相同
距相等
2.如果椭圆
2x
25
2
y1上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A到两条准线的距离分别
16
3离心率
5
e,一条准线为x3的椭圆的标准方程是
3
2x
例1.椭圆x2a
2
y21(a>b>0)的二个焦点F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上一点,且
b2
F1MF2M0。
求离心率e的取值范围.
分析:
离心率与椭圆的基本量a、b、c有关,所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标,
再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式,从而确定离心率的范围.
解:
设点M的坐标为(x,y),则F1M(xc,y),F2M
(x
c,y)。
由F1MF2M0,
又由点M在椭圆上,得y2=b2
222
0≤x≤a,∴0≤a
b222xa
22ab
2≤
c
代入①,得x2-c2
22
2ac
a,即0≤2
c
b22
2xa
≤1,
222
b2,即x2a2
1
0≤21≤1,解得
e
22ab
2≤e
得x2-c2+y2=0,即x2-c2=-y2。
≤1。
又∵0 例2.如图,已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件: |F2A|、|F2B|、 |F2C|成等差数列 (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦AC中点的横坐标. 分析: 第一问直接可有第一定义得出基本量a,从而写出方程;第二问涉及到焦半 径问题,可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式,结合等差数列的定义解决.y 例2 解: (1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=a2c2=3. 22 故椭圆方程为xy=1. 259 B' 4,根据椭 5 x1+x2=8. 925 (2)由点B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|=5.因为椭圆右准线方程为x=4,离心率为 |F2A|=4(-x1),|F2C|=4(-x2), 5454 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得4(25-x1)+4(25-x2)=2×9,由此得出: x12x2=4. 54545 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0= 【反馈练习】 1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭 圆的离心率为 2 2.已知F1、F2为椭圆xy21的两个焦点,过F1作倾斜角为的弦AB,则△F2AB的 24 面积为 3 D两点的椭圆的离心率为 10,那么点P到它的右焦点的距离是 Cx2,y2与焦点F4,0的距离成等 .已知正方形ABCD,则以A,B为焦点,且过C, 22 4.椭圆xy1上的点P到它的左准线的距离是 10036 22 xy9 5.椭圆1上不同三点Ax1,y1,B4, 259115 差数列. 求证: x1x28; 第3课双曲线 【考点导读】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2.能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】 221 1.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m 4 22 2.方程xy1表示双曲线,则k的范围是 k3k3 1 3.已知中心在原点,焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为yx,则此双曲线的离心率 2 为 4.已知焦点F1(5,0),F2(5,0),双曲线上的一点 P到F1,F2的距离差的绝对值等于6,则 双曲线的标准方程为 例1. (1)已知双曲线的焦点在y轴上, 并且双曲线上两点P1,P2坐标分别为 (3,42),(9,5),求双曲线的标准方程 4 22 2)求与双曲线xy1共渐近线且过A23,3点的双曲线方程及离心率. 169 分析: 由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是: ①定位 即确定双曲线的焦点在哪轴 上;②定量,即根据条件列出基本量 a、b、c的方程组,解方程组求得a、b的值;③写出方 程. 解: 2 y 2a ∵点 1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以设所求双曲线的标准方程为 2 x x21(a0,b0)①; b P1,P2在双曲线上,∴点P1,P2的坐标适合方程①。 (42)2 将(3,42),(9,5)分别代入方程①中,得方程组: 4 25 2 a 2 a (94)2 b2 b3221 11将12和1看着整体,解得 1 2a 1 b2 2a b2 16即双曲线的标准方程为 9 1 16 1 9 2y 16 1。 点评: 本题只要解得a2,b2即可得到双曲线的方程,没有必要求出a,b的值;在求解的 过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚。 x2 2)解法一: 双曲线x 16 2 y1的渐近线方程为: 9 a3 b4 2x x轴时,设所求双曲线方程为x2 a 2 by21 0,b0 b3a 4 A23, 在双曲线上 129 22 ab 22 y轴时,设双曲线方程为y2x2 ab 1a0,b0 ,∴baa43 912 A23,3在双曲线上,∴921221 a2b2 a29,b24 4 2y 9 4 5 1且离心率e5 3 解法二: 设与双曲线 16 1共渐近线的双曲线方程为: 16 A23,3在双曲线上,∴ 22xy 169 1291 169 2y 9 4 1. 点评: 一般地,在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下,利用双曲线系方 22 程x2y20求双曲线方程较为方便.通常是根据题设中的另一条件确定参数. ab 例2.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告: 正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的 距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s: 相关各点 均在同一平面上) 解: 如图: 以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分 别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020) 设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分 线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360 P点在以A、B为焦点的双曲线 x2 y2 b2 1上, 依题意得a=680,c=1020, 故双曲线方程为 222 bca 2 10202 2 x 2 6802 2 6802 2 y 2 53402 2 53402 用y=-x代入上式,得x 6805,∵|PB|>|PA|, x6805,y6805,即P(6805,6805),故PO68010 例2 答: 巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心68010m处. 22 例3.双曲线xy a2b2 1(a 1,b 0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1, 0)到直线l的距离与点(- 1,0)到直线 4 l的距离之和sc.求双曲线的离心率e的取值 5 范围. 解: 直线l的方程为x a 1,即bx ayab 0. a1,得到点( 1,0)到直线 l的距离d1 b(a1), a2b2 sd1d2 4 sc,得 5 1,0)到直线l的距离d2 2ab 2ab b2 2ab 4 c,5 5e21 5 解不等式,得5 4 5. 点拨: 本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力 【反馈练习】 22 1.双曲线xy1的渐近线方程为 24 b(a a2 1) b2 即5ac2a22c2. 4e425e2250. 5 e10,所以e的取值范围是 2 e5. 2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0),(4,0),则双曲线方程为 3.已知双曲线的两个焦点为F1(5,0),F2(5,0),P是此双曲线上的一点,且PF1PF2, |PF1|? |PF2|2,则该双曲线的方程是 22 4.设P是双曲线x2-y=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1、F2分 a2912 别是双曲线左右焦点,若PF1=3,则PF2= 22 5.与椭圆xy1共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程 255 6. (1)求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点P1,3且离心率为2的双曲线标准方程. (2)求以曲线2x2y24x100和y22x2的交点与原点的连线为渐近线,且实轴 长为12的双曲线的标准方程. 22 7.设双曲线x2y21(0ab)的半焦距为c,直线l过(a,0)、(0,b)两点,且原点到 ab 3 直线l的距离为3c,求双曲线的离心率. 4 分析: 由两点式得直线l的方程,再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建 c 立等式,从而解出c的值. a 8 uuuuruuuur MF1MF20; .已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点4,10 1)求双曲线方程; (2)若点M3,m在双曲线上,求证: 3)对于 (2)中的点M,求F1MF2的面积. 第4课抛物线 【考点导读】 1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质. 2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题. 【基础练习】 1.焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是 22 2xy 2.若抛物线y22px的焦点与椭圆xy1的右焦点重合,则p的值为 62 3.抛物线y24ax(a0)的焦点坐标是 4.抛物线y212x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 2 5.点P是抛物线y24x上一动点,则点P到点A(0,1)的距离与P到直线x1的距 离和的最小值 【范例导析】 例1.给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d 的最小值. 解: 设P(x0,y0)(x0≥0),则y02=2x0, ∴d=|PA|=(x0a)2y02 =(x0a)22x0=[x0(1a)]22a1. ∵a>0,x0≥0, ∴ (1)当00, 此时有x0=0时,dmin=(1a)22a1=a. (2)当a≥1时,1-a≤0, 此时有x0=a-1时,dmin=2a1. l1,以A、B为端点的曲线段C上 例2.如图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N l2的距离与到点N的距离相等, 若△AMN为锐角三角形,AM 7,AN3, 且BN6,建立适当的坐标系,求曲线段 C的方程. 分析: 因为曲线段C上的任一点是以点N 为焦点,以l2为准线的抛物线的 C所满足的抛物线方程. 解: 以l1为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系. C是N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中 A、B分别为曲线段的两 例2 端点. ∴设曲线段C满足的抛物线方程为: y22px(p0)(xAxxB,y0),其中xA、xB为 A、B的横坐标 令MNp,则M(p,0),N(p,0),AM17,AN3 (xA 2pxA 2p)2 17 解得 (xA 2pxA p4或p2 xA1xA2 AMN为锐角三角形,∴pxA,则p4,xA1 2AA 又B在曲线段C上,xBBNp624 B2 则曲线段C的方程为y28x(1x4,y0). 【反馈练习】 2 1.抛物线xy的准线方程是 8 2.抛物线y2ax(a0)的焦点到其准线的距离是 3.设O为坐标原点,F为抛物线y24x的焦点,A为抛物线上的一点,若OAAF4, 则点A的坐标为 2 4.抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是 2 5.若直线l过抛物线yax2(a>0)的焦点,并且与y轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为 4,则a= 6.某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长 7.已知抛物线的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴,且过点P(2,2),过F的直线交抛物 线于A,B两点. (1)求抛物线的方程; (2)设直线l是抛物线的准线,求证: 以AB为直径的圆与直线l相切. 分析: 可设抛物线方程为y22px(p0).用待定系数法求得方程,对于第二问的证明只 AB 须
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