坐标系与参数方程联系题真题含答案.docx
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坐标系与参数方程联系题真题含答案
1、在极坐标系下,圆O:
ρ=θ+θ和直线l:
ρ=(ρ≥0,0≤θ<2π).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.
解:
(1)圆O:
ρ=θ+θ,即ρ2=ρθ+ρθ,
故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,
直线l:
ρ=,即ρθ-ρθ=1,
那么直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.
(2)由
(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,
将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),
将(0,1)转化为极坐标为即为所求.
2、圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·=2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解:
(1)由ρ=2知ρ2=4,
所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.
因为ρ2-2ρ=2,
所以ρ2-2ρ=2,
所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,
得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρθ+ρθ=1,
即ρ=.
3、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρθ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段上,且满足·=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△面积的最大值.
解:
(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知=ρ,=ρ1=.
由·=16,得C2的极坐标方程ρ=4θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
由题设知=2,ρB=4α,于是△的面积
S=·ρB·∠=4α·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△面积的最大值为2+.
4、(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系中,直线C1:
x=-2,圆C2:
(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)假设直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2的面积.
解:
(1)因为x=ρθ,y=ρθ,
所以C1的极坐标方程为ρθ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρθ-4ρθ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρθ-4ρθ+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即=.
由于C2的半径为1,
所以△C2的面积为.
5.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
ρ=4θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足α0=2,假设曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解:
(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,那么C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρθ,y=ρθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρθ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
假设ρ≠0,由方程组得162θ-8θθ+1-a2=0,
由θ=2,可得162θ-8θθ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.
所以a=1.
6.(2018·洛阳模拟)在直角坐标系中,圆C的方程为x2+(y-2)2=4.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρ=5,射线:
θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段的长.
解:
(1)将x=ρθ,y=ρθ代入x2+(y-2)2=4,
得圆C的极坐标方程为ρ=4θ.
(2)设P(ρ1,θ1),那么由
解得ρ1=2,θ1=.
设Q(ρ2,θ2),那么由
解得ρ2=5,θ2=.
所以=ρ2-ρ1=3.
7.在直角坐标系中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)求C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设的中点为P,求直线的极坐标方程.
解:
(1)由ρ=1得ρ=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1,即x+y=2.
当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
当θ=时,ρ=,所以.
(2)由
(1)知M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为,那么P点的极坐标为,所以直线的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
8.(2018·福建质检)在直角坐标系中,曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
ρ=2θ,曲线C3:
θ=(ρ>0),A(2,0).
(1)把C1的普通方程化为极坐标方程;
(2)设C3分别交C1,C2于点P,Q,求△的面积.
解:
(1)因为C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,
所以C1的极坐标方程为ρ2-4ρθ=0,即ρ=4θ.
(2)依题意,设点P,Q的极坐标分别为,.
将θ=代入ρ=4θ,得ρ1=2,
将θ=代入ρ=2θ,得ρ2=1,
所以=|ρ1-ρ2|=2-1.
依题意,点A(2,0)到曲线θ=(ρ>0)的距离
d==1,
所以S△=·d=×(2-1)×1=-.
9.(2018·贵州适应性考试)在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为ρ=4θ,曲线C2的极坐标方程为ρ2θ=θ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)过原点且倾斜角为α的射线l与曲线C1,C2分别相交于A,B两点(A,B异于原点),求·的取值范围.
解:
(1)由曲线C2的极坐标方程为ρ2θ=θ,
两边同乘以ρ,得ρ22θ=ρθ,
故曲线C2的直角坐标方程为x2=y.
(2)射线l的极坐标方程为θ=α,<α≤,
把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得=ρ=4α,
把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得=ρ=,
∴·=4α·=4α.
∵<α≤,
∴·的取值范围是.
(1)过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).
(2)圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数).
(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数).
(4)双曲线-=1(a>0,b>0)的参数方程为(θ为参数).
10、(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)假设a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)假设C上的点到l距离的最大值为,求a.
解:
(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0,
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0),.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,
故C上的点(3θ,θ)到l的距离为
d=.
当a≥-4时,d的最大值为.
由题设得=,解得a=8;
当a<-4时,d的最大值为.
由题设得=,解得a=-16.
综上,a=8或a=-16.
2.结论要记
根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论:
过定点M0的直线与圆锥曲线相交,交点为M1,M2,所对应的参数分别为t1,t2.
(1)弦长l=1-t2|;
(2)弦M1M2的中点⇒t1+t2=0;
(3)0M10M2|=1t2|.
11.(2018·湖南五市十校联考)在直角坐标系中,设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C:
(θ为参数)相交于不同的两点A,B.
(1)假设α=,求线段的中点的直角坐标;
(2)假设直线l的斜率为2,且过点P(3,0),求·的值.
解:
(1)由曲线C:
(θ为参数),可得曲线C的普通方程是x2-y2=1.
当α=时,直线l的参数方程为(t为参数),
代入曲线C的普通方程,得t2-6t-16=0,
得t1+t2=6,所以线段的中点对应的t==3,
故线段的中点的直角坐标为.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得(2α-2α)t2+6αt+8=0,
那么·=1t2|==,
由得α=2,故·=.
12.(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρ=-.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)设直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P是圆C上任意一点,求A,B两点的极坐标和△面积的最小值.
解:
(1)由消去参数t,
得(x+5)2+(y-3)2=2,
所以圆C的普通方程为(x+5)2+(y-3)2=2.
由ρ=-,得ρθ-ρθ=-2,
所以直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.
(2)直线l与x轴,y轴的交点分别为A(-2,0),B(0,2),
化为极坐标为A(2,π),,
设点P的坐标为(-5+t,3+t),
那么点P到直线l的距离为
d==.
所以==2,又=2.
所以△面积的最小值是S=×2×2=4.
13、在平面直角坐标系中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.点P的极坐标为,曲线C的参数方程为(α为参数).
(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;
(2)假设Q为曲线C上的动点,求中点M到直线l:
ρθ+2ρθ+1=0距离的最小值.
解:
(1)由x=ρθ,y=ρθ,
可得点P的直角坐标为(3,),
由得x2+(y+)2=4,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+(y+)2=4.
(2)直线l的普通方程为x+2y+1=0,
曲线C的参数方程为(α为参数),
设Q(2α,-+2α),
那么,
故点M到直线l的距离
d==≥=-1,
∴点M到直线l的距离的最小值为-1.
14、.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:
ρ(θ+θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解:
(1)消去参数t,得l1的普通方程l1:
y=k(x-2),
消去参数m,得l2的普通方程l2:
y=(x+2).
设P(x,y),由题设得
消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(2θ-2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立
得θ-θ=2(θ+θ).
故θ=-,从而2θ=,2θ=.
代入ρ2(2θ-2θ)=4得ρ2=5,
所以交点M的极径为.
15.(2018·武昌调研)在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(t为参数,a>0).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ=-2.
(1)设P是曲线C上的一个动点,当a=2时,求点P到直线l的距离的最小值;
(2)假设曲线C上的所有点均在直线l的右下方,求a的取值范围.
解:
(1)由ρ=-2,
得(ρθ-ρθ)=-2,
化成直角坐标方程,得(x-y)=-2,
即直线l的方程为x-y+4=0.
依题意,设P(2t,2t),
那么点P到直线l的距离
d==
=2+2.
当=-1时,=2-2.
故点P到直线l的距离的最小值为2-2.
(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方,
∴对∀t∈R,有t-2t+4>0恒成立,
即(t+φ)>-4恒成立,
∴<4,
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