北京高考数学真题及答案理科.docx
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北京高考数学真题及答案理科
绝密★启封前机密★使用完毕前
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要
求的一项。
(1)
已知集合A{1,0,1},B{x|1wx1},则AIB
(5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线yex关于y轴对称,则f(x)
(A)e(B)e
(C)ex1(D)ex1
22
(6)若双曲线与与1的离心率为,3,则其渐近线方程为
满足
(A)y2x
1
(C)y-x
2
(7)直线l过抛物线C:
x24y的焦点且与
4
(A)4
3
(C)8
3
2xy1
(8)设关于x,y的不等式组xm0,
ym0x02y°2.求得m的取值范围是
(A)(,4)
(C)―t)
(B)y2x
(D)y—x
2
y轴垂直,则I与C所围成的图形的面积等于
(B)2
(D)专
3
0,
表示的平面区域内存在点P(x0,y0),
(B)(d
5
(D)(,-)
3
第二部分(非选择题共110分)
、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)在极坐标系中,点(2,_)到直线sin2的距离等于
6
(10)
(11)
(12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给
4人,每人至少
1张•如果分给同
人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是
(13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若
(14)
(,R),则一
如图,在棱长为2的正方体
中点,点P在线段D!
E上.
为.
ABCDA1B1C1D1中,E为BC的
点P到直线cg的距离的最小值
b
I
I
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)
在厶ABC中,a3,b2.6,B2A.
(I)求cosA的值;
(n)求c的值.
(16)(本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图•空气质量指数小于100表示空气质量
优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(I)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(n)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;
(川)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?
(结论不要求证明)
(17)(本小题共14分)
如图,在三棱柱ABCABQ!
中,AAGC是边长为4的正方形,平面ABC平面AAQQ,AB3,BC5.
(I)求证:
AA1平面ABC;
(n)求二面角A!
BGB!
的余弦值;
(川)证明:
在线段BC1上存在点D,使得ADA1B•并求
BC1
(18)(本小题共13分)
设L为曲线C:
y—在点(1,0)处的切线.
x
(I)求L的方程;
(n)证明:
除切点(i,o)之外,曲线c在直线L的下方.
(19)(本小题共14分)
2
已知A,B,C是椭圆W:
-y21上的三个点,O是坐标原点.
4
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(n)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
(20)(本小题共13分)
已知{aj是由非负整数组成的无穷数列•该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各
项an!
an2,L的最小值记为B.,dnA.B..
(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,L,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,an4an),写出d1,d2da的值;
(n)设d是非负整数.证明:
dnd(n1,2,3,L)的充分必要条件为{务}是公差为d的等差数列;
(川)证明:
若a!
2,dn1(n1,2,3,L),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项
为1.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
绝密★考试结束前
2013年普通高等学校招生全国统一考试
、选择题(共
数学(理)
8小题,每小题
(北京卷)参考答案
40分)
(4)C
解:
(I)因为a3,b2・.6,
所以2sinAcosAsinA
故cosA6.
3
所以sinB
asinC所以c5.
sinA
(16)(共13分)
解:
设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i1,2,L,13).
1
根据题意,P(A),且AiIAj(ij).
13
(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则BA5UA8.
所以P(B)P(AsUA8)P(A5)P(A8)—.
13
(n)由题意可知,x的所有可能取值为0,1,2,且
P(X
1)
P(A3UA6UA7UA11)
P(A3)P(A6)P(A7)
P(An)
4
13,
P(X
2)
P(A1UA2UA12UA13)
P(AdP(A2)P(A12)
Pg)
4
13,
P(X
0)
1P(X1)P(X2)
5
13.
所以X的分布列为:
X
0
1
2
P
5
4
4
13
13
13
故X的期望EX0—1—2—12.
13131313
(川)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
(17)(共14分)
解:
(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1AC.
所以AAi平面ABC.
所以cosn,m
nm16
1不恳125'
由题知二面角A1BC1B1为锐角,
25
由ADA1B
解得25
此时,-BD9
BC125
(18)(共13分)
解:
(I)设仆)叭,则f(x)屮.
xx
所以f⑴1.
所以L的方程为yX1•
(H)令g(x)x1f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于
g(x)0(x0,x1)•
g(x)满足g
(1)
0,且
g(x)1
2
x1Inxf(x)2
x
当0 x1<0,Inx<0,所以g(x)<0,故g(x)单调递减; 当x>1时,x21>0,lnx>0,所以g(x)>0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)g (1)0(x0,x1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. (19)(共14分) 2解: (I)椭圆W: —y21的右顶点B的坐标为(2,0). 4 因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得丄m21,即m乜. 42 11 所以菱形OABC的面积是-|OB||AC|-22|m|3. (H)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为 ykxm(k0,m0). 222 (14k)x8kmx4m40. 设A(X! yj,C(X2,y2),则 所以AC的中点为M( 4kmm、 2) 14k14k 1 因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为丄. 4k 1 因为k()1,所以AC与OB不垂直. 4k 所以OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 20)(共13分) 解: (I)d1d21,d3d43. (n)(充分性)因为{a.}是公差为d的等差数列,且d>0,所以 ai 因此Anan,Bnan1,dnanan1d(n1,2,3,L). 假设{a.}(n>2)中存在大于2的项. 设m为满足am2的最小正整数, 则m>2,并且对任意1wkm,akw2. 又因为a12,所以Am12,且Amam2. 于是,BmAmdm211,Bm1min{am,Bm}>2. 故dm1Am1Bm1W220,与dm11矛盾. 所以对于任意n>1,有anW2,即非负整数列{an}的各项只能为1或2.因为对任意n>1,anw2a1, 所以An2. 故BnAndn211. 因此对于任意正整数n,存在m满足mn,且am1,即数列{an}有无穷多项为1.
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